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推荐语：举世闻名的大家小书，关于对称的开拓性杰作

作者：赫尔曼·外尔,李红杰译

出版社：湖南科学技术出版社有限责任公司

出版时间：2020-04-01

书籍编号：30612373

ISBN：9787571000080

正文语种：中文

字数：67200

版次：1

所属分类：科学新知-数学

总序

欢迎你来数学圈

欢迎你来数学圈，一块我们熟悉也陌生的园地。

我们熟悉它，因为几乎每个人都走过多年的数学路，从123走到6月6（或7月7），从课堂走进考场，把它留给最后一张考卷。然后，我们解放了头脑，不再为它留一点儿空间，于是它越来越陌生，我们模糊的记忆里，只有残缺的公式和零乱的图形。去吧，那课堂的催眠曲，考场的蒙汗药；去吧，那被课本和考卷异化和扭曲的数学……忘记那一朵朵恶之花，我们会迎来新的百花园。

“数学圈丛书”请大家走进数学圈，也走近数学圈里的人。这是一套新视角下的数学读物，它不为专门传达具体的数学知识和解题技巧，而以非数学的形式来普及数学，着重宣扬数学和数学人的思想和精神。它的目的不是教人学数学，而是改变人们对数学的看法，让数学融入大众文化，回归日常生活。读这些书不需要智力竞赛的紧张，却要一点儿文艺的活泼。你可以怀着360样心情来享受数学，感悟公式符号背后的理趣和生气。

没有人怀疑数学是文化的一部分，但偌大的“文化”，却往往将数学排除在外。当然，数学人在文化人中只占一个测度为零的空间，但是，数学的每一点进步都影响着整个文明的根基。借一个历史学家的话说，“有谁知道，在微积分和路易十四时期的政治的朝代原则之间，在古典的城邦和欧几里得几何之间，在西方油画的空间透视和以铁路、电话、远距离武器制胜空间之间，在对位音乐和信用经济之间，原有深刻的一致关系呢？”（斯宾格勒《西方的没落·导言》）所以，数学从来不在象牙塔，而就在我们的身边。上帝用混乱的语言摧毁了石头的巴比塔，而人类用同一种语言建造了精神的巴比塔，那就是数学。它是艺术，也是生活；是态度，也是信仰；它呈现多样的面目，却有着单纯的完美。

数学是生活。不单是生活离不开算术，技术离不开微积分，更因为数学本身就能成为大众的生活态度和生活方式。大家都向往“诗意的栖居”，也不妨想象“数学的生活”，因为数学最亲的伙伴就是诗歌和音乐。我们可以试着从一个小公式去发现它如小诗般的多情，慢慢找回诗意的数学。

数学的生活很简单。如今流行深藏“大道理”的小故事，却多半取决于讲道理的人，它们是多变的，因多变而被随意扭曲，因扭曲而成为多样选择的理由。在所谓“后现代”的今天，似乎一切东西都成为多样的，人们像浮萍一样漂荡在多样选择的迷雾里，起码的追求也失落在“和谐”的“中庸”里。数学能告诉我们，多样的背后存在统一，极致才是和谐的源泉和基础。从某种意义上说，数学的精神就是追求极致，它永远选择最简的、最美的，当然也是最好的。数学不讲圆滑的道理，也绝不为模糊的借口留一点空间。

数学是明澈的思维。在数学里没有偶然和巧合，生活里的许多巧合—那些常被有心或无心地异化为玄妙或骗术法宝的巧合，可能只是数学自然而简单的结果。以数学的眼光来看生活，不会有那么多的模糊。有数学精神的人多了，骗子（特别是那些套着科学外衣的骗子）的空间就小了。无限的虚幻能在数学里找到最踏实的归宿，它们“如龙涎香和麝香，如安息香和乳香，对精神和感观的激动都一一颂扬。”（波德莱尔《恶之花·感应》）

数学是浪漫的生活。很多人怕数学抽象，却喜欢抽象的绘画和怪诞的文学，可见抽象不是数学的罪过。艺术家的想象力令人羡慕，而数学家的想象力更多更强。希尔伯特说过，如果哪个数学家一旦改行做了小说家（真的有），我们不要惊奇—因为那人缺乏足够的想象力做数学家，却足够做一个小说家。略懂数学的伏尔泰也感觉，阿基米德头脑的想象力比荷马的多。认为艺术家最有想象力的，是因为自己太缺乏想象力。

数学是纯美的艺术。数学家像艺术家一样创造“模式”，不过是在用符号来创造，数学公式就是符号生成的图画和雕像。在比那石头还坚硬的数学的逻辑里，藏着数学人的美的追求。

数学是自由的化身，只有在数学中，人们才可以通过完全自由的思想达到自我的满足。不论王摩诘的“雪中芭蕉”还是皮格马利翁的加拉提亚，都能在数学中找到精神和生命。数学没有任何外在的约束，约束数学的还是数学。

数学是奇异的旅行。数学的理想总在某个永恒而朦胧的地方，在那片朦胧的视界，我们已经看到了三角形的内角和等于180度，三条中线总是交于一点且三分每一条中线；但在更远的地方，还有更令人惊奇的图景和数字的奇妙，等着我们去相遇。

数学是永不停歇的人生。学数学的感觉就像在爬山，为了寻找新的山峰不停地去攀爬。当我们对寻找新的山峰不再感兴趣时，生命也就结束了。

不论你知道多少数学，都可以进数学圈来看看。孔夫子说了，“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”只要“君子乐之”，就走进了一种高远的境界。王国维先生讲人生境界，是从“望极天涯”到“蓦然回首”，换一种眼光看，就是从无穷回到眼前，从无限回归有限，而真正圆满了这个过程的，就是数学。来数学圈走走，我们也许能唤回正在失去的灵魂，找回一个圆满的人生。

1939年12月，怀特海在哈佛大学演讲《数学与善》中说，“因为有无限的主题和内容，数学甚至现代数学，也还是处在婴儿时期的学问。如果文明继续发展，那么在今后两千年，人类思想的新特点就是数学理解占统治地位。”这个想法也许浪漫，但他期许的年代似乎太过久远—他自己曾估计，一个新的思想模式渗透进一个文化的核心，需要1000年—我们希望这个过程能更快一些。

最后，我们借从数学家成为最有想象力的作家的卡洛尔笔下的爱丽思和那只著名的“柴郡猫”的一段充满数学趣味的对话，来总结我们的数学圈旅行：

“你能告诉我，我从这儿该走哪条路吗？”

“那多半儿要看你想去哪儿。”猫说。

“我不在乎去哪儿—”爱丽思说。

“那么你走哪条路都没关系。”猫说。

“—只要能到个地方就行。”爱丽思解释。

“噢，当然，你总能到个地方的，”猫说，“只要你走得够远。”

我们的数学圈没有起点，也没有终点，不论怎么走，只要走得够远，你就总能到某个地方的。

李泳

2006年8月草稿

2019年1月修改

引言

本书共分为四讲，通过它们，我从对称等于比例之和谐这一模糊概念出发，先讲述各种对称形式的几何概念，即左右对称、平移对称、旋转对称、装饰对称和晶体对称等，再进一步介绍所有这些特殊形式下暗含的一般观念，亦即元素构型在自同构变换下的不变性。目的有两个：一是展示艺术和无机、有机自然界中广泛存在的对称性原则；二是一步步澄清对称概念的哲学数学意义。为达到第二个目的，我们需要理解对称和相对性理论的概念、理论，而书中的众多插图则能帮助我们达成第一个目的。

按照我的设想，本书的读者远远不局限于学者、专家。本书并不回避数学（否则将达不到目的），但我并没有对大多数数学问题作详细处理，特别是完全的数学解析。可以说，本书就是1951年2月我在普林斯顿大学瓦尼克桑讲座（Louis Clark Vanuxem Lectures）上所用的演讲稿，只不过稍加修改，并增添了附录中的两个数学证明。

本领域的其他著作，比如耶格（F.M.Jaeger）的经典著作《对称原理及其在自然科学中的应用讲座》（Lectures on the principle of symmetry and its applications in natural science，Amsterdam and London，1917），以及近期尼科勒（Jacque Nicolle）所撰的小册子《对称性及其应用》（La symétrie et ses applications，Paris, Albin Michel，1950），都只讨论了有关对称的一小部分内容，只不过更为详细。汤普森（D\'Arcy Thompson）在巨著《论生长和形式》（On growth and form，New edition, Cambridge, Engl.，and New York，1948）中也只是顺带提到了对称。施派泽（Andreas Speiser）的《有限阶群论》（Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung，3.Aufl.Berlin，1937）及其他著作从美学和数学的角度对对称作了简要概括。汉比奇（Jay Hambidge）的《动态对称》（Dynamic Symmetry，Yale University Press，1920）与本书也不过是名称有所相像而已。本书最近的亲戚或许是1949年7月号的德文期刊《大学》中讨论对称的那部分内容（Studium Generale，Vol.2，pp.203—278：引作《大学》）。

书尾附有插图来源列表。

这里我想向普林斯顿大学出版社及各位编辑致以诚挚的谢意，就这本小书的出版，无论是内部协调，还是对外沟通，他们都给予了关照；也向普林斯顿大学致以同样的谢意，是他们在我从高等研究院退休前夕给了我留下绝唱的机会。

赫尔曼·外尔

1951年12月于苏黎世

第一章
左右对称

如果没有弄错的话，我们日常所说的对称（symmetry）有两层含义：其一，“对称的”，指比例适当、平衡良好；其二，“对称性”，指多个部分构成整体所遵循的协调性。美与对称紧密相连，因此，雕塑的和谐完美为古人所称道；写下了关于比例的著作并流传后世的波利克里托斯（Polykleitos）采用了这个词；丢勒跟随他的脚步，定下了一套人体比例标准。[1]从这层意义上讲，这一概念绝不局限于空间物体；其同义词“和谐”（harmony）更多地指的是声学和音乐方面而非几何上的对称。Ebenmass是希腊语symmetry一个很好的德语同义词；因为它还有“居中程度”的含义。根据亚里士多德（Aristotle）的《尼各马可伦理学》（Nicomachean Ethics），有德之人应在行动中努力达到这一状态，而盖伦（Galen）在《论气质》（De temperamentis）一书中将其描述为到两个极端等距的一种思想状态：σύμμϵτρov Öπϵρ Éκατρoυ τώv äκρωv\'απÉχϵι。

天平的形象让人自然联想到现在日常所说的“对称”的第二层含义：左右对称（bilateral symmetry）。高等动物的身体结构显然具有这种对称性，特别是人体。左右对称完全是一种几何上的属性，与对称的第一层含义的模糊不清相反，这层含义是一种绝对精确的概念。一物体，一空间构型，如果在平面E的反射作用下回归自身，则称其相对于平面E是对称的。取垂直于E的任意直线l及l上的任意一点P，都存在唯一一点P\'到平面的距离与P相同但位于平面E的另一侧（图1）。只有当P位于平面E上时，P才与P\'重合。

图1

关于平面E的反射是空间到自身的映射（mapping）S：P→P\'，即将任意一点P变换为关于平面E的镜像P\'。建立起将任意一点P与镜像P\'关联起来的规则，就定义了一种映射。再举一例：绕竖直轴旋转30°，就把空间中的任意一点P变换到镜像P\'，定义了一种映射。如果一个构型绕轴l的任意旋转都回归自身的话，则称该构型具有旋转对称性（rotational symmetry）。像反射、旋转这样的操作都是对称的几何概念，左右对称就是其中第一种对称。平面上的圆、空间中的球，因为具有完全的旋转对称性，被毕达哥拉斯学派（Pythagoreans）视为最完美的几何构型；亚里士多德认为天体是球形的，因为任何其他形状都会有损它们的天赋完美性。正是基于这一理念，一首现代诗[2]才把上帝称为“伟大的对称”：

只因胡乱度过的

未加珍惜的日子

赋予了我完美的形骸，

上帝，您伟大的对称，

便赐我蚀骨欲望，

痛苦随之油然而生。

对称，狭义地定义它也好，宽泛地定义它也罢，千百年来它都是人们试图借以理解并创造秩序、美和完美的一种概念。

本讲我们将按如下顺序讲述：首先我会详细探讨一下左右对称，并探讨它在艺术、有机和无机自然界中所扮演的角色。然后我们将沿着前述旋转对称的方向逐步扩展这一概念，先是局限在几何学的范围，之后通过数学抽象的过程再突破这些局限。最终得到具有更一般性的数学概念——隐藏在对称中的所有表现和应用之后的柏拉图概念。从某种意义上说，这是探讨所有理论知识的典型程序：我们从一些普通但模糊的原则（对称的第一层含义）出发，然后找到一个可以赋予该概念具体而精确的意义的重要事例（左右对称），由此出发更多地在数学构造和抽象而非哲学臆想的指导下，再次进行一般性拓展；运气好的话我们会得到一个至少像最初那个一样普适的概念。此时它可能已

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