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作者：蒋诗泉,叶飞,钟志水

出版社：人民邮电出版社有限公司

出版时间：2019-08-01

书籍编号：30533058

ISBN：9787115513533

正文语种：中文

字数：58634

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

第四章 相似矩阵与二次型

相似矩阵的概念最早出现在瑞士数学家欧拉的著作中，著作中还证明了相似矩阵有相同的特征值.矩阵的特征值理论在现代数学、物理、工程技术、经济等领域都有着广泛的应用.

二次型理论起源于解析几何化二次曲线、二次曲面为标准形问题，现在在物理领域的势能与动能、微分几何领域的曲面法曲率、经济领域的效用函数、统计领域的置信椭圆方面都有应用.

本章首先定义了向量的内积，然后介绍了向量组的施密特正交化方法和正交矩阵，讨论了方阵的特征值与特征向量、相似矩阵、矩阵的对角化条件以及实对称矩阵的对角化问题，最后重点介绍了二次型化为标准形问题以及讨论了一类重要的二次型———正定二次型.

第一节 正交矩阵

【课前导读】

向量的内积实际上是定义在Rⁿ上的一个二元实函数，对这个函数规定了一些法则，就像二维与三维的数量积一样，然后定义了长度与夹角，而正交矩阵的行向量组(或列向量组)中的每个向量长度都为1，且每两个向量的夹角都是90°.

【学习要求】

1.掌握向量组内积的概念，会求向量的长度及两向量的夹角.

2.理解并掌握线性无关向量组的施密特正交化方法.

3.会判别正交矩阵，并了解它的一些简单性质.

在平面直角坐标系中，平面向量，定义了，称为α与β的数量积，平面向量α的长度为；在空间直角坐标系中，空间向量α＝，，定义了，称为α与β的数量积，空间向量α的长度为.

下面我们将数量积的概念推广到n维向量中，引入内积的概念.

一、向量内积

定义4－1 设n维向量，称为向量α与β的内积.

向量的内积是一种运算，是二维、三维向量的数量积的一种推广，其结果是一个实数.如果把向量看成列矩阵，那么.

由内积的定义，容易得到以下性质:

(1) (α，β)＝(β，α)；

(2) (kα，β)＝k(α，β)；

(3) (α＋β，γ)＝(α，γ)＋(β，γ)；

(4) (α；α)≥0，当且仅当α＝0时取等号.

注 以上α，β，γ为n维列向量，k为实数.

用以上性质可以证明著名的柯西－施瓦茨不等式.

二、n维向量的长度与夹角

利用内积的概念可以定义n维向量的长度与夹角.

定义4－2 设有n维向量，称为n维向量α的长度，记作(或称α的模或范数).

例如，α＝(1，－2，2)，α的长度.

向量的长度具有以下性质.

(1)非负性:，当且仅当α＝0时.

(2)齐次性:.

(3)三角不等式:

.

当时称α为单位向量，若，称为α的单位化向量.

在二维、三维向量的数量积中，，我们得到α与β的夹角余弦.把这个推广到n维向量的内积中，有如下定义.

定义4－3 当α≠0，β≠0时，称为n维向量α与β的夹角.当(α，β)＝0时，称α与β正交.易知，若α＝0，则α与任意向量都正交.

三、向量组的正交性

定义4－4 设都是非零向量，若它们两两正交，即，有，则称为正交向量组.

例如，向量组为正交向量组.

下面讨论正交向量组的性质.

定理4－1 正交向量组一定是线性无关向量组.

证明 设是正交向量组，并存在一组实数，使

以同时左乘(4－1)两端，得，因，故，从而.

同理，分别用同时左乘(4－1)两端，得，所以线性无关.

注中任一正交向量组含向量个数不会超过n，若向量组两两正交，且其中每个向量都是单位向量，则称该向量组为规范正交向量组.

定义4－5 设n维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称是V的一个规范正交基.

例如，是的一组规范正交基.

设是向量空间V的一个基，求V的一个规范正交基，就是找一组两两正交的单位向量，使与等价.这一过程称作把基规范正交化.过程如下.

第一步(正交化):分别令

第二步(单位化):令.

例1 设，求与等价的的一组规范正交基.

解 先正交化:令

再单位化:令

例2 已知，求一组非零向量，使得两两正交.

解应满足方程，即.它的基础解系为，，把基础解系正交化即可，即取，.

四、正交矩阵

定义4－6 如果n阶矩阵A满足，那么称A为正交矩阵.

正交矩阵有下述性质:

(1)，即；

(2)若A是正交矩阵，则(或)也是正交矩阵；

(3)两个正交矩阵之积是正交矩阵；

(4)若A为正交矩阵，则 1或－1.

定理4－2 A为正交矩阵的充分必要条件是A的列(行)向量组为规范正交向量组.

证明 设，其中为A的列向量组，则

即

所以A的列向量组为规范正交向量组.再由，可得A的行向量组为规范正交向量组.

定义4－7 若P为正交矩阵，则称线性变换y＝Px为正交变换.

注 正交变换保持向量的内积与长度不变.

习题4－1

1.把向量单位化.

2.求α与β的夹角.

(1)α＝(2，1，3，2) β＝(1，2，－2，1)；

(2)α＝(1，2，2，3) β＝(3，1，5，1).

3.设.求向量γ，使γ和α与β都正交.

4.设，求一个与等价的规范正交组.

5.设，求一组非零向量，使两两正交.

6.设A，B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.

第二节 方阵的特征值与特征向量

【课前导读】

方阵的特征值就是方阵的特征多项式的根，而属于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组(λE－A)X＝O的非零解.

【学习要求】

1.理解方阵的特征值与特征向量的概念，会求方阵的特征值与特征向量.

2.掌握方阵的特征值与特征向量的性质.

一、特征值与特征向量的概念及其求法

定义4－8 设A是n阶方阵，α是n维非零向量，若存在实数λ，使

则称λ为方阵A的特征值，α是A的属于特征值λ的特征向量.

一般来说，特征值和特征向量是成对出现的，若α是A的属于特征值λ的特征向量，则kα(k≠0)也是A的属于λ的特征向量.式(4－2)也可写成

这是含有n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式，即

式(4－4)称为方阵A的特征方程，它是以λ为未知数的一元n次方程，称f(λ)＝为A的特征多项式.我们知道一元n次方程在复数范围内有n个根(重根按重数计)，因此，n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.

上述内容告诉我们，方阵A的特征值就是A的特征方程的根，现设λ＝λ_i是方阵A的一个特征值，则由方程

可求得非零解.那么是A的属于特征值的特征向量，且A的属于特征值的特征向量全体是式(4－5)的全体非零解，即设为式(4－5)的基础解系，则A的属于特征值的全部特征向量为(其中不全为0).

例3 求矩阵的特征值和特征向量.

解 A的特征方程为，故A的特征值为，.

当时，属于它的特征向量应满足解得，所以取一个特征向量为，而就是A的属于的全部特征向量.

当时，属于它的特征向量应满足解得，所以取一个特征向量为，而就是A的属于的全部特征向量.

例4 求矩阵的特征值和特征向量.

解 A的特征方程为，故A的特征值为.

当时，属于的特征向量应满足(10E－A)X＝O，由得基础解系为，从而属于的全部特征向量为.

当时，属于的特征向量应满足(E－A)X＝O，由得基础解系为，从而属于的全部特征向量为(不全为0).

例5 已知A为n阶方程且，证明A的特征值只能是0或1.

证明 设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则有Aα＝λα，故

又由题知，，因此，.

由α为特征向量，则α≠0，故，因此λ＝0或1.

二、特征值与特征向量的性质

性质4－1 n阶矩阵A与它的转置矩阵有相同的特征值.

证明 因为，故与A有相同的特征多项式，因此有相同的特征值.

性质4－2 设n阶矩阵的特征值为，则:

(1)

(2)

性质4－3 若λ是n阶矩阵A的特征值，α为属于特征值λ的特征向量，则:

(1)为的特征值(k为非负整数)，α为的属于特征值的特征向量；

(2)kλ为kA的特征值(k为任意常数)，α为kA的属于特征值kλ的特征向量；

(3)当A可逆时，为的特征值，α为的属于特征值的特征向量；

(4)若矩阵A的多项式是，则φ(λ)是φ(A)的特征值，α是φ(A)的属于特征值φ(λ)的特征向量.

例6 设三阶矩阵A的特征值，求.

解 设，则的特征值为，，，故

性质4－4 属于不同特征值的特征向量线性无关.

性质4－5 设和是矩阵A的两个不同的特征值，和是分别属于特征值和的线性无关的特征向量，则仍线性无关.

例7 设和是矩阵A的两个不同的特征值.分别是属于特征值和的特征向量，试证明不是A的特征向量.

证明 按题设，，故.用反证法，假设是A的属于特征值λ的特征向量，即

于是

故

因，故和不全为0，故线性相关.由性质4－4知与线性无关，矛盾.因此不是A的特征向量.

习题4－2

1.求矩阵的特征值和特征向量.

2.求矩阵的特征值和特征向量.

3.已知三阶矩阵A的特征值为1，－2，3，求:

(1)2A的特征值；

(2)的特征值.

4.已知三阶矩阵A的特征值为1，－1，2，求.

5.已知A为n阶矩阵且，求A的特征值.

6.设n阶矩阵A，B满足R(A)＋R(A)<n，证明A与B有公共的特征值和特征向量.

第三节 相似矩阵

【课前导读】

矩阵分解经常能解决很多问题，我们要考虑一种特殊的矩阵分解:，其中Λ为对角阵.这种分解很有用，问题是对一般方阵，这种分解是否存在?若存在，如何求P和Λ?

【学习要求】

1.掌握相似矩阵的概念及性质.

2.了解矩阵对角化的条件，会用可逆变换将矩阵对角化.

3.会用正交变换将实对称矩阵对角化.

一、相似矩阵的概念及性质

定义4－9 设A、B都是n级矩阵，若有n级可逆矩阵X，使得

则称B是A的相似矩阵，或称A与B相似.记作A～B.

例如，

有，则A与B相似.

相似矩阵有以下性质.

性质4－6 (1)A～A(反身性).

(2)若A～B，则B～A(对称性).

(3)若A～B，B～C，则A～C(传递性).

证明留给读者.

性质4－7 相似矩阵的行列式的值相等.

证明 设A～B，即存在可逆矩阵X，使，于是

性质4－8 相似矩阵有相同的特征值.

证明 设A～B，即存在可逆矩阵X，使，于是

即A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.

注 设，易知A的全部特征值为.如果B～A，则也是B的全部特征值.

性质4－9 若A～B，则(k为任意正整数).

证明留给读者.

二、矩阵与对角矩阵相似的条件

若矩阵A能相似于一个对角矩阵，则称A可对角化.下面探讨矩阵可对角化的条件.

定理4－3 n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

证明 (充分性)设，即存在可逆矩阵X，使，故AX＝ΛX，令，则，且

于是，i＝1，2…n.因X可逆，所以是A的n个线性无关的特征向量.

(必要性)设是A的线性无关的特征向量.

分别设，i＝1，2…n，于是

令，由线性无关知X可逆，从而，即A可对角化.

结合上一节性质4－4，可得如下推论.

推论 若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A相似对角阵.

例8 设，判断A是否可对角化.

解 A的特征方程为，故A的特征值为.

当时，属于的特征向量应满足(E－A)X＝O，即，故A只有一个线性无关的特征向量，因此不能对角化.

注 这个A与E有相同的特征值，但A与E不相似.

例9 设，判断这个A是否可对角化.

解 由例3知，A有2个不同特征值－2和4，故A可对角化.取X＝＝，得.

例10 设，求矩阵X，使为对角阵.

解 由例4知A有三个特征值10，1，1.属于10的一个线性无关的特征向量为.属于1的两个线性无关的特征向量为.取X＝

三、实对称矩阵对角化

由前述内容可知，判断一个n阶矩阵A是否可对角化，关键在于判断这个矩阵是否有n个线性无关的特征向量，但这不是一件容易的事情.而当A是实对称矩阵时，下面有确定的结果:实对称矩阵总可以对角化.

定理4－4 实对称矩阵的特征值为实数.

证明 (略).

定理4－5 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交.

证明 设是实对称矩阵A的两个不同特征值，分别是属于的特征向量，即，又，于是

故，但，所以，即与正交.

定理4－6 设A为n阶实对称矩阵，λ是A的特征方程的r重根，则矩阵λE－A的秩为n－r，从而A的属于特征值λ的线性无关的特征向量恰有r个.

证明 (略).

定理4－7 设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵P，使，其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.

证明 设A的互不相同的特征值为，它们的重数分别为，则.

根据定理4－4和定理4－6知，对应特征值的线性无关的特征向量恰有个，将它们正交化，再单位化，即得含个向量的规范正交组，又由定理4－5，把这些规范正交组的向量合在一起，即得含n个向量的规范正交组，以它们为列向量构成正交矩阵P，则，且Λ的对角元素含有个，正是A的n个特征值.

根据以上定理，将实对称矩阵A对角化，具体步骤如下:

(1)求出A的全部特征

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