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推荐语：本书是穿过超空间的高能旅行剖析毕加索画作中的立体主义探寻艺术、数学、物理、计算机、哲学中的第四维内含作者创作的多维空间彩图

作者：（美）托尼·罗宾,潘可慧,潘涛等译

出版社：新星出版社

出版时间：2020-10-01

书籍编号：30686107

ISBN：9787513339155

正文语种：中文

字数：142404

版次：1

所属分类：艺术摄影-摄影

版权信息

书名：时空投影：第四维在科学和现代艺术中的表达

作者：【美】托尼·罗宾

译者：潘可慧　潘涛

出版社：新星出版社

出版日期：2020-10-01

ISBN：978-7-5133-3915-5

献给

琳达·亨德森（Linda Henderson）和

汤姆·班乔夫（Tom Banchoff），

他们率先攀缘，抛下绳索。

仿佛就在一闪念，我感受到、并给出了处理四维空间实际效用的证据。而且应该记住的是，表现四维空间的各种透视表征就是真实空间中的图形，哪怕这些图形性质还不完全，在很大程度上也是被允许研究的。

——詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）
1869年12月30日

中文版序

我在大学的时候，读过一些译本，中国哲学家庄子、老子和慧能，给我留下了深刻的印象。我感谢这些作家，因为总的来说，他们给了我信心，使我能够在很多年后写这本书。他们鼓励我用一种流动的体验感，去感受一种抽象的本质的存在，并对传统的现实持一种独立的看法。

自从我写这本书以来，物理学已经发生了变化。我们现在研究暗物质和暗能量，并谦逊地意识到我们几乎对宇宙的更大组成部分一无所知。随着弦理论的发展，数学和物理学之间的界线变得越来越薄，而“信息”已经被熵所识别。黑洞和引力波以其存在的直接证据，将过去的理论变为现实。

没有改变的是物理发生空间的形象化的价值和必要性。菲利克斯·克莱因、阿尔伯特·爱因斯坦、赫尔曼·闵可夫斯基、罗杰·彭罗斯和尼古拉斯·德布罗金丰富了物理学（和文化），因为他们认为物理实在（physical reality）是人们可以看到的东西，而不仅仅是写方程式。

不同的客观、物理空间，丰富了主观、体验空间。将高维几何、非欧几何、射影几何或准晶几何作为常规三维网格的选择，使绘画、电影、文学、舞蹈更加自由。

我对准晶的德布罗金算法、非定域现象以及这两部分物理之间的可能关系越来越感兴趣。因此，尽管近年来我专注于我的绘画，物理学的吸引力——物理学所能提供的灵感——从未离开过我。

托尼·罗宾
2019年4月16日

前言

我们此时此地在行走，但存在一个外部空间，一个影响我们自己无限空间的空间，或换个夸张说法，一个完全应用在我们空间或插入我们空间的空间吗？也许我们留存着从子宫中的记忆里突然进入的冰冷的无限空间中的记忆，这些记忆培养了我们的信念，即这样一个超越空间的空间是可能的。数学可以界定和征服那个额外空间，把四维几何（four-dimensional geometry）变成一个可感世界，或许甚至可能和三维世界一样可感。在19世纪，数学家和哲学家们用两种数学模型来探索和理解这种困难的思想：平面国模型（切片模型）和影子模型（投影模型）。

我们可以通过思考椅子不同的二维表现形式，来理解这两个四维空间的隐喻。平面国模型（Flatland model）假设观察者是漂浮在水面上的浮渣。当椅子滑进他们的表面世界时，椅子的连续切片会被湿润。首先，四条腿看起来像四个圆圈；然后，座椅看起来是一个正方形；然后，当椅背接近水的时候，又出现了两个圆圈；最后，椅子后部那薄薄的长方形出现在二维世界中。但是在影子模型（shadow model）中，如果太阳把椅子在一个光滑海滩的表面上投下影子，整个椅子就将出现在生活于那个海滩上的任何二维生物面前。的确，在阴影下，各部分之间的长度或角度可能被投影扭曲，但椅子的连续性得以保持，且保持了椅子各部件之间的关系。

切片模型（slicing model）的力量在于它以微积分为基础，它强化了这样一种观念，即切片代表实在（reality），捕捉无限薄片的空间，然后将它们叠加在一起来定义运动。此外，每个时刻所有空间的堆叠是时间的定义；人们经常听到时间是第四维度的说法。切片模型在数学上是自洽的，因此是正确的，它通常被认为是四维实在（fourdimensional reality）的精确、完整和专有性的表示。这似乎是故事的结尾，但“平面国”隐喻（Flatland metaphor）既能解放思想，同时又束缚了思想。

投影模型（projection model）是一种与切片模型同时发展起来的同样清晰、强大的结构直觉。与流行的论述相反，正是投影模型在20世纪初形成了革命性的理念。作为这一投影隐喻（projection mataphor）的一部分，那些发展起来的理念仍然是当代数学和物理学最先进思想的基础。与基于微积分的切片模型一样，投影模型也是自洽的和数学上正确的；它得到射影几何学的支持。射影几何学是一种优雅、强大的数学，它和微积分一样，在19世纪蓬勃发展。在射影几何学中，无穷远点位于射影直线上，是直线的一部分，这种使无穷远成为空间一部分的简单调整，极大地改变和丰富了几何学，使之更像空间的方式。投影图形是整体的，切片图形不是整体的，而平面国空间模型的不连通性更存在问题。即使是时间，也不能这么简单地描述成一系列的切片。

巴勃罗·毕加索（Pablo Picasso）发明立体主义（cubism）时，不仅研究了一本数学书中四维立方体的投影，而且阅读了诸多文本，既包括图像，还包括思想。赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）用四维几何学整理狭义相对论（special relativity）时，脑海中有投影模型；仔细阅读他的文本，就会发现这一点。尼古拉斯·德布罗金（Nicolaas de Bruijn）生成准晶的投影算法，革命性地改变了数学家对模式和晶格（包括使物质变得坚实的原子晶格）的思考方式。罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）指出，光线更像是投影直线，而不是空间中的规则线，由此产生的扭量纲领（twistor program）是自阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）的发现以来物理学中最具挑衅性、最深刻的结构调整。射影几何学如今正被应用于量子信息论（Quantum Information Theory）的佯谬中，而在量子物理学中，正四维几何图形的投影正以一种最令人惊讶的方式被观察到。为了研究量子泡沫，我们使用投影方法攀登维度阶梯，这是对量子世界空间的激动人心的最新尝试。这种新的投影模型，为我们提供了无法在不引发绝望佯谬的情况下被简化为平面国模型的一种理解。这些投影模型的新应用，发生在计算机图形学对高维对象全新的运动图像之时。高维图形可视化的计算机革命，将在第10章介绍。

射影几何学开始于艺术家们试图在二维表面上创造空间和三维形式的错觉。[1]数学家将这些透视法推广到任何方向，并最终在任意维数中研究那些对象，从而建立了广义投影。同时，透视演变为射影变换，在这种情况下，对象和空间有着视觉一致性，因为结构是通过一系列来来回回的投影操作（包括那些投影对象到自身）形成的。最后，射影表示由齐次坐标定义的系统，其中度量维、方向等概念失去了所有传统含义，但获得了与现代理解相关的丰富性。透视（perspective）、投影（projection）、射影变换（projectivity）、射影（projective）——这些微妙的概念相互促进，建立更高层次的抽象，直到它们定义了包含在高维框架中的自引、内聚的结构。这样的高维框架，随着它们变得越来越熟悉，随着文化稳定它们的外观，现在开始有越来越多的实在性。

我在这个旅程上行走了三十多年。在本书中，我愉快地回顾了第一次出现四维几何投影模型的时候。我更了解华盛顿·欧文·斯特林厄姆（Washington Irving Stringham），19世纪数学家，他的四维图形在欧洲和美国引起了轰动。我发现了奇人T.P.霍尔（T.P.Hall），他在75年前就预料到了计算机生成四维图形的行为。我看到了毕加索发明真正的立体主义那一刻，如果没有这种回顾目光，我就永远不会遇到在毕加索的四维空间中探索的缪斯——尤物爱丽丝·德兰（Alice Derain）。我一直想更好地了解闵可夫斯基的心态。很高兴能在哥伦比亚大学科学与数学图书馆、克拉克大学档案馆那布满灰尘的书库里发掘，我也对美国和欧洲新的电子邮件伙伴、档案管理员表示感谢。

更令人兴奋的是，与健在的数学家和物理学家交谈，加深了旧时的友谊，结交了新的朋友。本书后面章节中的许多人都是出于对我的艺术作品的尊重，我对第四维（the fourth dimension）的开创性计算机编程，以及我对四维几何可视化的承诺，从而为我留出了时间。他们对我的接受和对我的访问，使得这个漫长的写作项目值得一试。我得到，我付出。

注释

[1]参见：《现代世界中的数学》，M.克莱因主编，齐民友等译，上海教育出版社，2007年，261—276页。本书的脚注，皆为译者注。

致谢

数学家斯科特·卡特（Scott Carter）和查尔斯·斯特劳斯（Charles Straus）都应该得到特别的感谢。他们花了很多时间与我会面，教书，讨论，辩论。他们阅读并评论了早期的暂定草稿，以及后来更详细的草稿。他们发电子邮件给我解释和绘图，甚至研究我提出的问题。我非常感谢他们的耐心、知识和慷慨。没有他们的帮助，就不会有本书。

这部手稿的其他读者是P.K.阿拉文德（P.K.Avavind）、弗洛伦斯·法萨内利（Florence Fasanelli）、乔治·弗朗西斯（George Francis）、琳达·亨德森（Linda Henderson）、简·舒尔（Jan Schall）和马乔里·塞尼查尔（Marjorie Senechal）。他们每个人都花时间仔细阅读，每个人都把他们的专业判断带到了文本中，并提出了有益的建议，我将永远感谢这些建议。文本中的任何错误都是我自己的责任。

克拉克大学的档案学家莫特·林恩（Mott Lynn）和约翰斯·霍普金斯大学的詹姆斯·斯蒂姆珀特（James Stimpert）提供了一些模糊原始资料的拷贝，如同伯克利的数学家卡尔文·摩尔（Calvin Moore）和德国哈勒的埃德尔特鲁德·布赫斯泰纳-基斯林（Edeltraude Buchsteiner-Kiessling）所做的那样。画家加里·特南鲍姆（Gary Tenenbaum）在巴黎为我找到并购买了一本1903年茹弗雷（Jouffret）文本的珍本。

我在哥伦比亚大学使用了好几个图书馆：数学和科学图书馆、工程学图书馆、珍本手稿藏书馆，以及艾弗里建筑和美术图书馆。位于奥尼昂塔的纽约州立大学米尔恩图书馆对我帮助也很大，正如奥尼昂塔的哈特威克学院的史蒂文斯-德意志图书馆一样。位于奥尔巴尼的纽约州立图书馆也是文本的来源。纽约市的图书馆特别是科学、工业和商业图书馆，藏书丰富，对我非常有用。所有这些图书馆，都值得我们继续支持。

我应邀参加加州大学欧文分校数学行为科学研究所、伊利诺伊大学贝克曼研究院、明尼苏达大学数学及其应用研究所的学术会议。这些会议和实地访问非常有帮助。为了这本书，我采访了P.K.阿拉文德、约翰·贝兹（John Baez）、罗尼·布朗（Ronnie Brown）、斯科特·卡特、戴维·科菲尔德（David Corefield）、乔治·弗朗西斯、恩格尔伯特·舒金（Englebert Schucking）、马乔里·塞尼查尔，非常感谢他们的帮助。舒金还邀请我和彭罗斯（Penrose）共进晚餐，其间我有机会直接请教彭罗斯；这是一种款待，也非常有教益。我也很感激迪克·德布罗金（Dick de Bruijn）花时间发了长长的电子邮件，威廉·伍特斯（William Wootters）和杰夫·威克斯（Jeff Weeks）花时间跟我通话。我很高兴见到佩吉·基德维尔（Peggy Kidwell），他澄清了一些历史细节。

当我的法语或德语不够用时，我转向库尔特·鲍曼（Kurt Baumann）、道格拉斯·查卡（Douglas Chayka）、汤姆·克拉克（Tom Clack）、弗朗西斯·加布里埃尔（François Gabriel）、玛塞尔·科泽斯基（Marcelle Kosersky）和玛丽安娜·诺伊贝尔（Marianne Neuber）。特别感谢作曲家格里·斯托纳（Gerry Stoner）和埃伦·富克斯（Ellen Fuchs）在我准备手稿过程中的帮助。戴维德·塞沃恩（Davide Cervone）和乔治·弗朗西斯还为我制作了特别的插图，一图值千言。

在耶鲁大学出版社，高级科学编辑琼·汤姆森·布莱克（Jean Thomson Black）以极大的精力和洞察力投入这个项目中，我很感谢她的帮助。同样在耶鲁大学出版社，我感谢劳拉·达夫利斯（Laura Davulis）的帮助。对于杰茜·亨尼克特（Jessie Hunnicutt）最细致地编辑，我要特别感谢她。

没有我出色的经纪人罗宾·斯特劳斯（Robin Straus）一如既往的支持，什么都不会发生。

最后，我的妻子雷娜·科塞尔斯基（Rena Kosersky）和儿子马克斯·罗宾（Max Robbin）的坚定支持（和宽恕）是我一贯的动力。

第一部分 射影模型的过去运用

第1章 四维几何的起源

在数学家菲利克斯·克莱因（Felix Klein）去世后出版的回忆录《数学在19世纪的发展》（1926年）中，克莱因谈到赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann）时说他与“我们这些学者”不同，“我们这些学者生活在激烈的竞争中，就像树林里的树，一定要又细又长，只是为了要高出别的树，才能获得自己那一份阳光和空气，才能生存。但是如格拉斯曼这样孤独孑立的人，却可以向各个方面生长”[1]（161页）。格拉斯曼从未获得大学职位，只在德国几所中学教书，因此被允许成为一名多面手：哲学家、物理学家、博物学家和专门研究印度教经典之作《吠陀》的文体家。格拉斯曼的数学思想超出了主流思想的范畴；他的伟大著作《延伸理论》（1844年）很少有人读，甚至被克莱因描述为“无法卒读”[2]。然而，这本书中更多的是哲学，而不是数学，它首次提出了一个系统，其中空间及其几何成分和描述可以外推到其他维度。

格拉斯曼在他的哲学思考中，并不是完全孤独的。奥古斯特·莫比乌斯（August Möbius）推测，一个结构像左转圆形楼梯的左旋晶体，可以通过穿越第四维变成一个右旋晶体。阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）在1844年22岁时发表了一篇关于四维解析几何的论文，他和其他几个人研究了一般四维几何学的概念。但这些不同的思考既缺乏临界质量，也缺乏具体的几何解释。

然而，在19世纪下半叶，四维几何学随着正立体（空间的几何构件）的四维类比的发现和描述而迅速发展。在三维中有5个正立体：正四面体、立方体、正八面体、正二十面体和正十二面体（图1.1）。它们都是“柏拉图式的”，因为它们是正的：不仅每个二维边界面相同，而且每个顶点都相同。然而，在四维中，有6个正立体，也称为多胞体（图1.2）。

根据加拿大杰出的几何学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳·科克塞特（Harold Scott MacDonald Coxeter）的说法，在四维空间中发现正立体的功劳应该归于路德维希·施莱夫利（Ludwig Schläfli，1814—1895）。他的著作《连续流形理论》（1852年），有一个很像格拉斯曼的标题和精神，但有着强烈的分析方法，远远超出了以前所做的工作。在微积分中，积分计算曲线下的面积。通过讨论积分之积分之积分，施莱夫利计算了“多球”的四维体积。施莱夫利接着将欧拉理论（Euler\'s theory）推广到四维。这个由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在18世纪提出的非常有用的公式，常被表述为：在三维图形中，顶点数减去边数加上面数减去整个图形数等于1（即v-e+f-c=1）。也就是说，在立方体中，8个顶点减去12条棱加上6个面减去1整个立方体等于1。施莱夫利指出，减加、减加模式无限期地从顶点开始，直至达到整个图形。对于四维立方体，即超立方体，施莱夫利最终确定，16个顶点减去32条棱加上24个面减去8个立方体（即胞体）再加上1整个超立方体，等于1（即v-e+f-c+u=1）。了解正图形的欧拉规则，并能够计算高维正图形的体积，施莱夫利发现了哪些多胞体（polytope）可以容纳哪个多球，以及如何“解剖”多胞体，以揭示它们的低维胞体。尽管施莱夫利的书很艰深，但他的结果清晰且令人信服，且有立体对象可供使用，从而使工作从抽象和分析转向几何，最终转向视觉（专栏1.1）。

图1.1 三维空间的5个正立体。计算机绘图由宫崎兴二（Koji Miyazaki）和石井源九（Motonaga Ishii）所作，经许可使用

图1.2 四维空间的6个正立体。计算机绘图由宫崎兴二（Koji Miyazaki）和石井源久（Motonaga Ishii）所作，经许可使用

专栏1.1 多胞体与施莱夫利符号

施莱夫利的研究结果，以所谓的施莱夫利符号（Schläfli symbols）来精巧概括。三维正立体被标记为{3，3}，{4，3}，{3，4}，{3，5}和{5，3}，分别指：三条边的面围绕每个顶点吻合三次，形成四面体；四条边的正方形围绕每个角组装三次，形成立方体；三角形围绕每个顶点吻合四次，形成八面体；三角形依次相交五个，形成二十面体；五边形依次相交三个，形成十二面体。四维中的六个正凸多胞体是：{3，3，3}，四维四面体，其中三个四面体围绕每一条棱吻合；{4，3，3}，四维立方体（即超立方体hypercube、tesseract），其中三个立方体围绕每条棱吻合，形成正八胞体；{3，3，4}，四维八面体，正十六胞体，其中四个四面体围绕每一条棱吻合；{3，4，3}，四维立方八面体，在四维上是正的，但在三维中是半正的，围绕每条棱有24个八面体胞体吻合三次；{5，3，3}，四维十二面体，正一百二十胞体，其中三个十二面体围绕每条棱吻合；{3，3，5}，四维二十面体，正六百胞体，其中五个四面体围绕每条棱吻合。施莱夫利的著作，还描述了由科克塞特讨论的十种多胞体中的四种星状形式（图版1）。

1880年，华盛顿·欧文·斯特林厄姆（Washington Irving Stringham，1847—1909；专栏1.2），约翰斯·霍普金斯大学的一位研究员，在该大学的《美国数学杂志》上发表了16页论文《n维空间中的正图形》。尽管斯特林厄姆的论文在很大程度上重复了施莱夫利的发现，但它首次包含了四维图形的插图。这篇论文在艺术史学家琳达·亨德森（Linda Henderson）重新发现之前早已被人遗忘，它在后来的20年里被每一篇关于四维几何的重要数学文献所引用，席卷了整个欧洲。

专栏1.2 华盛顿·欧文·斯特林厄姆

直到艺术史学家琳达·亨德森重新发现了他的四维图形的有影响力的画，斯特林厄姆仍然是一个几乎不为人所知的人物。斯特林厄姆1847年12月10日出生于纽约西部的约克郡中心（现为德拉文）。即使在那时，当纽约西部人口更多的时候，它还是一个荒凉的地方：距布法罗100英里，距伊利100英里，距各地100英里。正如卡尔文·摩尔（Calvin Moore）在加州大学伯克利分校数学系的历史中所讲述的，内战后，斯特林厄姆的家搬到了堪萨斯州托皮卡的亲戚处。在那里，斯特林厄姆“建了一所房子，签了绘画交易，并在一家药店工作，同时在沃什伯恩学院兼职。他还在沃什伯恩担任图书管理员和书法老师。有了这种不同寻常的背景，斯特林厄姆申请并被哈佛学院录取”（摩尔，2004年2月4日给笔者的电子邮件）。

1877年，斯特林厄姆以最高荣誉从哈佛大学获得学士学位。1878年，他被约翰斯·霍普金斯大学的研究生项目录取。阅读他在数学系的手写申请时，我高兴地注意到，他不仅打算学习数学，而且打算“尽可能继续学习美术”。为了支持他对学位的申请，在1880年5月20日致约翰斯·霍普金斯大学理事的信中，斯特林厄姆列出了前一年的十门课程，主要是微积分，但也包括符号逻辑、四元数、数论和物理学。最后，他提到，“我一直在私下研究n维空间的几何学”。1880年1月至5月，斯特林厄姆就这个问题在科学协会和数学学院，以及威廉·E.斯托里（William E.Story）创办的约翰斯·霍普金斯大学的数学俱乐部，进行了四次讲座。这些讲座最终成为斯特林厄姆在《美国数学杂志》上发表的第一篇论文。他的研究，似乎与学位课程无关，可能是对前一年所做工作的延续，在给大学校长丹尼尔·科特·吉尔曼（Daniel Coit Gilman）的类似陈述中，被列为“我认为不值得提及的其他杂乱无章的工作”（吉尔曼文档，米尔顿·艾森豪威尔图书馆，约翰斯·霍普金斯大学）。

从约翰斯·霍普金斯大学毕业后，斯特林厄姆前往欧洲，与伟大的德国几何学家菲利克斯·克莱因（1849—1925）一起在莱比锡观光和学习数学。斯特林厄姆充满了孩子气的兴奋写信给吉尔曼，他每周的研讨会“与克莱因教授出色的批判性能力不断发挥作用”。在研讨会上，除了德国学生之外，还有“英国人、法国人、意大利人和美国人（我自己）”。他希望在约翰斯·霍普金斯大学或哈佛大学谋得一个教职，这样他就可以在欧洲再待一年，但最终斯特林厄姆勉强接受了加州大学伯克利分校数学系主任的职位。从1882年秋季开始，斯特林厄姆最担心的事情发生了：尽管他很快就进入了院长的办公室，并成为学院的代理院长，直至1909年突然去世，但他很少有机会研究现代数学或做任何原创的工作。1884年，斯特林厄姆写信给吉尔曼（吉尔曼在伯克利工作过，也得到过这份工作），说他在行政事务上陷入困境。他抱怨说，“摄政委员会不断地在伯克利职员的判断肯定会更有能力的事情上，武断地行使权力”，并说，“我一直无法投入到我最喜欢的研究中去”。斯特林厄姆在这一时期之后发表了几篇论文，但主要是关于本科生数学教学中的一些问题。最终这位极具兴趣的杰出数学家，被大学政治的泥沼所吞没。

然而，斯特林厄姆很可能对他在伯克利期间所取得的成就感到满意。斯特林厄姆来到学校时，这所大学有四百名学生，是民粹主义的农民和工人之间的战场，他们把公立大学看作一条经济发展的道路，而贵族的铁路大亨们则希望把它作为一个游乐场。也许斯特林厄姆还记得自己的最初阶段，他致力于为这所公立学校提供专业的数学课程，直到今天，它仍然是一所领先的数学机构。

斯特林厄姆的方法，无论在他的绘画还是在他的数学中，都是定义了四维图形的三维胞体（即覆叠），然后，为了与他那个时代的机械制图方法保持一致，想象这些胞体折叠形成四维图形。例如，在三维情况下，设想一个三角形，它的三条边都附着一个三角形。四面体，即此三角形的三维类比，可以通过折叠那三个外部三角形来构造和可视化，使它们的三个远角在三维空间中交会。他写道：“特别是四重五角体（四维四面体，即正五胞体）有5个顶点、10条棱、10个三角形（面）和5个四面体边界（即胞体）。要构造这个图形，选择四个四面体中每一个的任意一个顶点，将它们联合起来。把彼此相邻的面合在一起。仍然有四个面是自由的，取第五个四面体，把其中一个面和剩下的一个面连在一起。所得到的图形，将是完整的四重五角体。”（1880年，3页）在一个富有想象力的飞跃中，斯特林厄姆将这些覆叠部件布置成爆炸式机械制图，其中的部件被稍微分开（图1.3；专栏1.3）。

图1.3 斯特林厄姆的四维图形的爆炸图。从左到右：四维四面体、超立方体和四维八面体

正十六胞体的构造方式类似于正五胞体，斯特林厄姆很容易描述和绘制它。在三维中，正八面体是立方体的对偶，它由立方体8个面的中心连接而成。正八面体切去立方体的角，形成有8个三角形面的图形，即两个基底为正方形的金字塔在其基底相合。四维正十六胞体由类似过程产生：取超立方体的8个胞体的中心，用等长的线将这些点连接起来，形成由24条棱、32个面和16个正四面体胞体组成的紧致图形，其中4个正四面体胞体围绕每一条棱卷绕。再一次，斯特林厄姆要求我们想象一个尖头胞体的折叠：“这个图形的棱是通过将每一个顶点与除其反极之外的每一个顶点，即6个相邻的顶点连接起来。”

专栏1.3 机械制图
技法绘图或机械制图的发展与射影几何学的发展有着千丝万缕的联系，因为两者都是从文艺复兴的视角出发的。时至今日，菲利波·布鲁内尔斯基（Filippo Brunelleschi，1377—1446）、莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂（Leon Battista Alberti，1404—1472）和皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡（Piero della Francesca，约1420—

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