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作者：刘恩科、

出版社：电子工业出版社

出版时间：2011-03-01

书籍编号：30466507

ISBN：9787121129902

正文语种：中文

字数：220275

版次：7

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：半导体物理学（第7版）

作者：刘恩科　等

ISBN：9787121129902

版权所有 · 侵权必究

再版前言

本教材第一版于1979年12月由国防工业出版社出版。以后，被推荐列入原电子工业部教材办公室组织编导的1982—1985年、1986—1990年、1991—1995年年度的高等学校工科电子类专业教材编审出版规划，并由《电子材料与固体器件》教材编审委员会《半导体物理与器件》编审组负责编审、推荐出版。此后，再次被推荐为国家级重点教材，并列入电子工业部的1996—2000年全国电子信息类专业教材编审出版规划，由微电子技术专业教学指导委员会负责编审、推荐出版。2006年纳入普通高等教育“十一五”国家级规划教材，修订出版。

按照各次教材规划的要求，本教材第二版于1984年5月由上海科学技术出版社出版，并于1987年12月获电子工业部1977—1985年年度工科电子类专业优秀教材特等奖，1988年1月获全国高等学校优秀教材奖。第三版于1989年5月由国防工业出版社出版，并于1992年1月获第二届机械电子工业部电子类专业优秀教材特等奖，1992年11月获第二届普通高等学校优秀教材全国特等奖。第四版于1994年4月由国防工业出版社出版，第五版于1998年10月由西安交通大学出版社出版。第六版于2003年8月由电子工业出版社出版。

本教材共13章，主要内容为：半导体的晶格结构和电子状态；杂质和缺陷能级；载流子的统计分布；载流子的散射及电导问题；非平衡载流子的产生、复合及其运动规律；pn结；金属和半导体的接触；半导体表面及 MIS结构；半导体异质结构；半导体的光、热、磁、压阻等物理现象和非晶态半导体。各章后都附有习题和参考资料供教师、学生选用。本教材由西安交通大学刘恩科担任主编。

本次修订由刘恩科，朱秉升，罗晋生进行。刘恩科负责第1.1～1.8、4、7、10.1～10.5、11、12章节及附录；朱秉升负责（刘恩科协助）第1.9、1.10、2、3、6、10.6、10.7章节；罗晋生负责第5、8、9、13章。主要做了以下一些工作：

（1）为了便于读者阅读其他有关科技书籍、文献资料，将波数矢量的大小定义为k=2π/λ，并将与之有关的所有公式做了相应的修改；

（2）电场强度改用ε表示，黑体ε表示矢量，非黑体ε表示标量，与之相应的公式均做了修改；

（3）常用的一些参数数据尽可能参阅近年来有关的文献资料并做了一定的更新，附录是按2004年美国出版由MadelungO.主编《Semiconductors：DataBook，3^rdedition》整理的；

（4）为便于理解GaN、AlN的能带，第1章增加了具有六方对称的纤锌矿结构的布里渊区；

（5）第2章增加了GaN、AlN、SiC中的杂质能级；

（6）第3章将载流子占据杂质能级的概率改用简并因子g表示的普遍公式；

（7）第4章简要地介绍了少数载流子迁移率的概念；

（8）第5章增加了硅的少数载流子寿命与扩散长度一节；

（9）第9章增加了GaN基半导体异质结构，介绍了极化效应及AlGaN/GaN和InGaN/GaN的异质结构及其特性；

（10）将原第9章中的半导体异质结在光电子器件中的应用一节移到第10章；

（11）由于罗晋生教授一丝不苟的作风，对第六版中不少错误进行了订正，期望经过这次修订尽可能将书中存在的错误降至最少。

使用本教材时，主要以前9章为主，第10章至第13章视各校情况选用。教学中第1章的1.1～1.4节视学生是否学习过固体物理学中的能带论酌情处理，pn结一章着重在物理过程的分析，辅以必要的数学推导，至于与生产实际联系密切的内容是属于晶体管原理课程所解决的问题。同时，为了便于教学，依据近年来教学知识体系及教学学时数的调整，以及众多学校使用本教材后反馈的信息，本次改版对全书的知识体系进行了分层。除主修内容外，将各校视需要而选修的内容，以及研究生阶段参考的理论证明、加深、拓展的内容分别以“*”和“_★”标出，供各学校教学参考。

《半导体物理学》作为电子科学与技术专业的骨干课程之一，理论性和系统性均较强。为了帮助学生掌握并深刻理解课程中涉及的概念、理论和方法，以及增强解决实际问题的能力，又为本课程配套编写了《半导体物理学学习辅导及习题详解》一书（电子工业出版社出版）。同时，复旦大学蒋玉龙教授根据多年的教学体会，为本书开发了同步教学多媒体课件，需要的读者可以到华信教育资源网（www.hxedu.com.cn）申请。

本教材由刘恩科编写第1章的1.1～1.8节，第4、11、12章及第10章的室温激子部分；朱秉升编写第2、3、6章及第1章的1.9节和1.10节，第5章5.4节中的俄歇复合，以及第9章的9.1节、9.6节，第10章的10.7节；罗晋生编写第8、13章，第4章4.2节中的合金散射，第5章的5.9节，第9章的9.2～9.5节；屠善洁编写第10章的10.1～10.6节；亢润民编写第5章的5.1～5.8节和第7章；附录由刘恩科、亢润民整理。

在各次修订时，主审和《半导体物理与器件》教材编审组全体委员及微电子技术专业教学指导委员会全体委员，以及使用本教材的各院校教师，都为本书提出许多宝贵意见。本次修订，部分院校的讲课教师及电子工业出版社的陈晓莉编审提供了很宝贵的意见，在此表示诚挚的感谢！

由于编者水平有限，书中难免还存在一些缺点和错误，殷切希望广大读者批评指正。

编者

2011年3月

于西安交通大学

第1章 半导体中的电子状态

半导体具有许多独特的物理性质，这与半导体中电子的状态及其运动特点有密切关系。为了研究和利用半导体的这些物理性质，本章将简要介绍半导体单晶材料中的电子状态及其运动规律。

半导体单晶材料和其他固态晶体一样，是由大量原子周期性重复排列而成，而每个原子又包含原子核和许多电子。如果能够写出半导体中所有相互作用着的原子核和电子系统的薛定谔方程，并求出其解，便可以了解半导体的许多物理性质。但是，这是一个非常复杂的多体问题，不可能求出其严格解，只能用近似的处理方法——单电子近似来研究固态晶体中电子的能量状态。所谓单电子近似，即假设每个电子是在周期性排列且固定不动的原子核势场及其他电子的平均势场中运动。该势场是具有与晶格同周期的周期性势场。用单电子近似法研究晶体中电子状态的理论称为能带论。有关能带论的内容在固体物理学课程中已经比较完整地介绍过了，这里仅作简要回顾，并介绍几种重要半导体材料的能带结构。

1.1 半导体的晶格结构和结合性质

1.1.1 金刚石型结构和共价键

重要的半导体材料硅、锗等在化学元素周期表中都属于第Ⅳ族元素，原子的最外层都具有4个价电子。大量的硅、锗原子组合成晶体靠的是共价键结合，它们的晶格结构与碳原子组成的一种金刚石晶格都属于金刚石型结构。这种结构的特点是：每个原子周围都有4个最近邻的原子，组成一个如图1-1（a）所示的正四面体结构。这4个原子分别处在正四面体的顶角上，任一顶角上的原子和中心原子各贡献一个价电子为该两个原子所共有，共有的电子在两个原子之间形成较大的电子云密度，通过它们对原子实的引力把两个原子结合在一起，这就是共价键。这样，每个原子和周围4个原子组成四个共价键。上述四面体的4个顶角原子又可以各通过4个共价键组成4个正四面体。如此推广，将许多正四面体累积起来就得到如图1-1（b）所示的金刚石型结构（为看起来方便，有些原子周围只画出两个或三个共价键），它的配位数是4。

在四面体结构的共价晶体中，四个共价键并不是以孤立原子的电子波函数为基础形成的，而是以s态和p态波函数的线性组合为基础，构成了所谓“杂化轨道”，即以一个s态和三个p态组成的sp³杂化轨道为基础形成的，它们之间具有相同的夹角109°28′。

金刚石型结构的结晶学原胞如图1-1（c）所示，它是立方对称的晶胞。这种晶胞可以看作是两个面心立方晶胞沿立方体的空间对角线互相位移了四分之一的空间对角线长度套构而成。原子在晶胞中排列的情况是：8个原子位于立方体的8个角顶上，6个原子位于6个面中心上，晶胞内部有4个原子。立方体顶角和面心上的原子与这4个原子周围情况不同，所以它是由相同原子构成的复式晶格。它的固体物理学原胞和面心立方晶格的相同，差别只在于前者每个原胞中包含两个原子，后者只包含一个原子。

图1-1 硅、锗的金刚石结构

沿立方晶胞的［1-1-1-］方向看，它的结构和图1-1（b）完全相同。金刚石结构（1 1 1）面的密堆积和面心立方结构的密堆积类似，面心立方晶格的正四面体中心没有原子，而金刚石结构的正四面体中心有一个原子。将图1-1（b）和图1-1（d）对照起来看，便知金刚石型结构的（111）面是以双原子层的形式按ABCABCA…顺序堆积起来的。图1-1（e）为金刚石型晶胞在｛1 0 0｝面上的投影，图中“0”和“1／2”表示面心立方晶格上的原子，“1／4”和“3／4”表示沿晶体对角线位移1／4的另一个面心立方晶格上的原子，“·”表示共价键上的电子。

实验测得硅和锗的晶格常数a分别为0.543102nm（纳米）和0.565791nm，从而求得硅每立方厘米体积内有5.00×10²²个原子，锗有4.42×10²²个原子，两原子间最短距离硅为0.235nm，锗为0.245nm，因而它们的共价半径分别为0.117nm和0.122nm。

1.1.2 闪锌矿型结构和混合键

由化学元素周期表中的Ⅲ族元素铝、镓、铟和Ⅴ族元素磷、砷、锑合成的Ⅲ-Ⅴ族化合物，都是半导体材料，它们绝大多数具有闪锌矿型结构，与金刚石型结构类似，所不同的是前者由两类不同的原子组成。图1-2（a）表示闪锌矿型结构的晶胞，它是由两类原子各自组成的面心立方晶格，沿空间对角线彼此位移四分之一空间对角线长度套构而成。每个原子被4个异族原子包围，例如，如果角顶上和面心上的原子是Ⅲ族原子，则晶胞内部4个原子就是Ⅴ族原子，反之亦然。角顶上8个原子和面心上6个原子可以认为共有4个原子属于某个晶胞，因而每一晶胞中有4个Ⅲ族原子和4个Ⅴ族原子，共有8个原子。它们也是依靠共价键结合，但有一定的离子键成分。

图1-2 闪锌矿型结构

与Ⅳ族元素半导体的情况类似，这类共价性的化合物半导体中，共价键也是以sp³杂化轨道为基础的。但是，与Ⅳ族元素半导体相比有一个重要区别，这就是在共价性化合物半导体中，结合的性质具有不同程度的离子性，常称这类半导体为极性半导体。例如，重要的Ⅲ-Ⅴ族化合物半导体材料砷化镓，相邻砷化镓所共有的价电子实际上并不是对等地分配在砷和镓的附近。由于砷具有较强的电负性，成键的电子更集中地分布在砷原子附近，因而在共价化合物中，电负性强的原子平均来说带有负电，电负性弱的原子平均来说带有正电，正负电荷之间的库仑作用对结合能有一定的贡献。在共价结合占优势的情况下，这种化合物倾向于构成闪锌矿型结构。

在垂直于［1 1 1］方向看闪锌矿型结构的Ⅲ-Ⅴ族化合物时，可以看到它是由一系列Ⅲ族原子层和Ⅴ族原子层构成的双原子层堆积起来的，如图1-2（b）所示。显然，每一个原子层都是一个（1 1 1）面，由于Ⅲ-Ⅴ族化合物有离子性，因而这种双原子层是一种电偶极层。通常规定由一个Ⅲ族原子到一个相邻的Ⅴ族原子的方向为［1 1 1］方向，而一个Ⅴ族原子到一个相邻的Ⅲ族原子的方向规定为［1-1-1-］方向，如图1-2（b）所示，并且规定Ⅲ族原子层为（1 1 1）面，Ⅴ族原子层为（1-1-1-）面。因而，Ⅲ-Ⅴ族化合物的（1 1 1）面和（1-1-1-）面的物理化学性质有所不同。

闪锌矿型结构的Ⅲ-Ⅴ族化合物和金刚石型结构一样，都是由两个面心立方晶格套构而成的，称这种晶格为双原子复式格子。如果选取只反映晶格周期性的原胞时，则每个原胞中只包含两个原子，一个是Ⅲ族原子，另一个是Ⅴ族原子。

由化学元素周期表中的Ⅱ族元素锌、镉、汞和Ⅵ族元素硫、硒、碲合成的Ⅱ-Ⅵ族化合物，除硒化汞、碲化汞是半金属外都是半导体材料，它们大部分也都具有闪锌矿型结构，但是其中有些也可具有六角晶系纤锌矿型结构。

1.1.3 纤锌矿型结构

纤锌矿型结构和闪锌矿型结构相接近，它也是以正四面体结构为基础构成的，但是它具有六方对称性，而不是立方对称性，图1-3为纤锌矿型结构示意图，它是由两类原子各自组成的六方排列的双原子层堆积而成，但它只有两种类型的六方原子层，它的（0 0 1）面规则地按ABABA…顺序堆积，从而构成纤锌矿型结构。硫化锌、硒化锌、硫化镉、硒化镉等都可以闪锌矿型和纤锌矿型两种方式结晶。例如，实验测得纤锌矿型结构的硫化镉单晶，其晶格常数为a=0.4136nm，c=0.6714nm。

与Ⅲ-Ⅴ族化合物类似，这种共价性化合物晶体中，其结合的性质也具有离子性，但这两种元素的电负性差别较大，如果离子性结合占优势的话，就倾向于构成纤锌矿型结构。

纤锌矿型结构的Ⅱ-Ⅵ族化合物是由一系列Ⅱ族原子层和Ⅵ族原子层构成的双原子层沿［0 0 1］方向堆积起来的，每一个原子层都是一个（0 0 1）面，由于它具有离子性，通常也规定由一个Ⅱ族原子到一个相邻的Ⅵ族原子的方向为［0 0 1］方向，反之，为［0 0 1—］方向，Ⅱ族原子层为（0 0 1）面，Ⅵ族原子层为（0 0 1-）面，这两种面的物理化学性质也有所不同。

还有一些重要的半导体材料不是以四面体结构结晶的，如Ⅳ-Ⅵ族化合物硫化铅、硒化铅、碲化铅，它们都是以氯化钠型结构结晶的，如图1-4所示，这里不再赘述。

图1-3 纤锌矿型结构

图1-4 氯化钠型结构

1.2 半导体中的电子状态和能带

1.2.1 原子的能级和晶体的能带

制造半导体器件所用的材料大多是单晶体。单晶体是由靠得很紧密的原子周期性重复排列而成的，相邻原子间距只有零点几纳米的数量级。因此，半导体中的电子状态肯定和原子中的不同，特别是外层电子会有显著的变化。但是，晶体是由分立的原子凝聚而成，两者的电子状态又必定存在着某种联系。下面以原子结合成晶体的过程定性地说明半导体中的电子状态。

原子中的电子在原子核的势场和其他电子的作用下，它们分列在不同的能级上，形成所谓电子壳层，不同支壳层的电子分别用1s；2s，2p；3s，3p，3d；4s等符号表示，每一支壳层对应于确定的能量。当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子壳层之间就有了一定程度的交叠，相邻原子最外壳层交叠最多，内壳层交叠较少。原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完全局限在某一个原子上，可以由一个原子转移到相邻的原子上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。这种运动称为电子的共有化运动。但必须注意，因为各原子中相似壳层上的电子才有相同的能量，电子只能在相似壳层间转移。因此，共有化运动的产生是由于不同原子的相似壳层间的交叠，例如2p支壳层的交叠，3s支壳层的交叠，如图1-5所示。也可以说，结合成晶体后，每一个原子能引起“与之相应”的共有化运动，例如3s能级引起“3s”的共有化运动，2p能级引起“2p”的共有化运动，等等。由于内外壳层交叠程度很不相同，所以，只有最外层电子的共有化运动才显著。

图1-5 电子共有化运动示意图

晶体中电子做共有化运动时的能量是怎样的呢?先以两个原子为例来说明。当两个原子相距很远时，如同两个孤立的原子，原子的能级如图1-6（a）所示，每个能级都有两个态与之相应，是二度简并的（暂不计原子本身的简并）。当两个原子互相靠近时，每个原子中的电子除受到本身原子的势场作用外，还要受到另一个原子势场的作用，其结果是每一个二度简并的能级都分裂为两个彼此相距很近的能级；两个原子靠得越近，分裂得越厉害。图1-6（b）示意地画出了8个原子互相靠近时能级分裂的情况。可以看到，每个能级都分裂为8个相距很近的能级。

图1-6 能级分裂示意图

两个原子互相靠近时，原来在某一能级上的电子就分别处在分裂的两个能级上，这时电子不再属于某一个原子，而为两个原子所共有。分裂的能级数需计入原子本身的简并度，例如2s能级分裂为两个能级；2p能级本身是三度简并的，分裂为6个能级。

现在考虑由N个原子组成的晶体。晶体每立方厘米体积内约有10²²～10²³个原子，所以N是个很大的数值。假设N个原子相距很远，尚未结合成晶体时，则每个原子的能级都和孤立原子的一样，它们都是N度简并的（暂不计原子本身的简并）。当N个原子互相靠近结合成晶体后，每个电子都要受到周围原子势场的作用，其结果是每一个N度简并的能级都分裂成N个彼此相距很近的能级，这N个能级组成一个能带。这时电子不再属于某一个原子而是在晶体中做共有化运动。分裂的每一个能带都称为允带，允带之间因没有能级称为禁带。图1-7示意地画出了原子能级分裂成能带的情况。

内壳层的电子原来处于低能级，共有化运动很弱，其能级分裂得很小，能带很窄，外壳层电子原来处于高能级，特别是价电子，共有化运动很显著，如同自由运动的电子，常称为“准自由电子”，其能级分裂得很厉害，能带很宽。图1-7也示意地画出了内外层电子的这种差别。

每一个能带包含的能级数（或者说共有化状态数），与孤立原子能级的简并度有关。例如s能级没有简并（不计自旋），N个原子结合成晶体后，s能级便分裂为N个十分靠近的能级，形成一个能带，这个能带中共有N个共有化状态。p能级是三度简并的，便分裂成3N个十分靠近的能级，形成的能带中共有3N个共有化状态。实际的晶体，由于N是一个十分大的数值，能级又靠得很近，所以每一个能带中的能级基本上可视为连续的，有时称它为“准连续的”。

但是必须指出，许多实际晶体的能带与孤立原子能级间的对应关系，并不都像上述的那样简单，因为一个能带不一定同孤立原子的某个能级相当，即不一定能区分s能级和p能级所过渡的能带。例如，金刚石和半导体硅、锗，它们的原子都有4个价电子，两个s电子，两个p电子，组成晶体后，由于轨道杂化的结果，其价电子形成的能带如图1-8所示，上下有两个能带，中间隔以禁带。两个能带并不分别与s和p能级相对应，而是上下两个能带中都分别包含2N个状态，根据泡里不相容原理，各可容纳4N个电子。N个原子结合成的晶体，共有4N个电子，根据电子先填充低能级这一原理，下面一个能带填满了电子，它们相应于共价键中的电子，这个带通常称为满带或价带；上面一个能带是空的，没有电子，通常称为导带；中间隔以禁带。

图1-7 原子能级分裂为能带的示意图

图1-8 金刚石型结构价电子能带示意图

1.2.2 半导体中电子的状态和能带

晶体中的电子与孤立原子中的电子不同，也和自由运动的电子不同。孤立原子中的电子是在该原子的核和其他电子的势场中运动，自由电子是在一恒定为零的势场中运动，而晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动。单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且固定不动的原子核的势场，以及其他大量电子的平均势场中运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格周期相同。

研究发现，电子在周期性势场中运动的基本特点和自由电子的运动十分相似。下面先简单介绍一个自由电子的运动。

微观粒子具有波粒二象性，表征波动性的量与表征粒子性的量之间有一定的联系。一个质量为m₀，以速度v自由运动的电子，其动量p与能量E分别为^［1］

式中，p²=|p|²。德布罗意（deBroglie）指出，这一自由粒子可以用频率为ν、角频率为ω=2πν、波长为λ的平面波表示为

式中，A为常数；r是空间某点的矢径；k是平面波的波数，等于波长λ倒数的2π倍。为能同时描写平面波的传播方向，通常规定k为矢量，称为波数矢量，简称波矢，记为k，其大小为

方向与波面法线平行，为波的传播方向。

自由电子能量和动量与平面波角频率和波矢之间的关系分别为

式中，ħ=h/2π，h为普朗克（Planck）常数。

为简单计，考虑一维情况，即选择Ox轴方向与波的传播方向一致，则式（1-3）为

式中

也称其为自由电子的波函数，它代表一个沿x方向传播的平面波，且遵守定态薛定谔（Schrödinger）方程

式中，E为电子能量。

将式（1-6）分别代入式（1-1）和式（1-2），得

可以看到，对于波矢为k的运动状态，自由电子的能量E，动量p，速度v均有确定的数值。因此，波矢k可用以描述自由电子的运动状态，不同的k值标志自由电子的不同状态。图1-9是一维情况下自由电子的E与k的关系曲线，呈抛物线形状。由于波矢k的连续变化，自由电子的能量是连续能谱，从零到无限大的所有能量值都是允许的。

图1-9 自由电子E与k的关系

1.晶体中薛定谔方程及其解的形式^［2］

单电子近似认为晶体中某个电子是在与晶格同周期的周期性势场中运动，例如，对于一维晶格，表示晶格中位置为x处的电势为

式中，s为整数，a为晶格常数。晶体中电子所遵守的薛定谔方程为

式中，V（x）满足式（1-12）。式（1-13）是晶体中电子运动的基本方程式，如能解出这个方程，便能得出电子的波函数及能量。但是找出实际晶体的V（x）很困难，因而只能采用一些近似方法来求解。

布洛赫曾经证明，满足式（1-13）的波函数一定具有如下形式

式中，k为波数，u_k（x）是一个与晶格同周期的周期性函数，即

式中，n为整数。式（1-13）具有式（1-14）形式的解，这一结论称为布洛赫定理。具有式（1-14）形式的波函数称为布洛赫波函数。

首先，从式（1-14）与式（1-8）的比较可知，晶体中的电子在周期性势场中运动的波函数与自由电子的波函数形式相似，代表一个波长为2π/k而在k方向上传播的平面波，不过这个波的振幅u_k（x）随x作周期性变化，其变化周期与晶格周期相同。所以常说晶体中的电子是以一个被调幅的平面波在晶体中传播。显然，若令式（1-14）中的u_k（x）为常数，则在周期性势场中运动的电子的波函数就完全变为自由电子的波函数了。其次，根据波函数的意义，在空间某一点找到电子的概率与波函数在该点的强度（即|Ψ|²=ΨΨ^*）成比例。对于自由电子，|ΨΨ^*|=A²，即在空间各点波函数的强度相等，故在空间各点找到电子的概率也相同，这反映了电子在空间中的自由运动。而对于晶体中的电子，=，但u_k（x）是与晶格同周期的函数，在晶体中波函数的强度也随晶格周期性变化，所以在晶体中各点找到该电子的概率也具有周期性变化性质。这反映了电子不再完全局限在某一个原子上，而是可以从晶胞中某一点自由地运动到其他晶胞内的对应点，因而电子可以在整个晶体中运动，这种运动称为电子在晶体内的共有化运动。组成晶体的原子的外层电子共有化运动较强，其行为与自由电子相似，常称为准自由电子。而内层电子的共有化运动较弱，其行为与孤立原子中的电子相似。最后，布洛赫波函数中的波矢k与自由电子波函数中的一样，它描述晶体中电子的共有化运动状态，不同的k标志着不同的共有化运动状态。

2.布里渊区^［2］与能带

晶体中电子处在不同的k状态，具有不同的能量E（k），求解式（1-13）可得出如图1-10（a）所示的E（k）和k的关系曲线。图中横坐标表示波数k，虚线表示自由电子的E（k）和k的抛物线关系，实线表示周期性势场中电子的E（k）和k的关系曲线。可以看到，当

图1-10 E（k）和k的关系

时，能量出现不连续，形成一系列允带和禁带。

允带出现在以下几个区（称为布里渊区）中：

第一布里渊区

第二布里渊区

第三布里渊区

禁带出现在k=nπ／a处，即出现在布里渊区边界上。

每一个布里渊区对应于一个能带，得到如图1-10（b）所示的能带图。

从图1-10（a）还可以看到E（k）也是k的周期性函数，周期为2π/a，即

k和k+示相同的状态，所以可以只取的k值来描述电子的能量状态，而将其他区域移动并到第一区。在考虑能带结构时，只需考虑区域就够了，就是说只需考虑第一布里渊区，得到如图1-10（c）所示的曲线。在这个区域内，E为k的多值函数。因此，在说明E（k）和k的关系时，必须用E_n（k）标明是第n个能带，常称这一区域为简约的布里渊区，这一区域内的波矢为简约波矢。

对于有限的晶体，尚需考虑一定的边界条件。根据周期性边界条件，可以得出波矢k只能取分立的数值。对边长为L的立方晶体，波矢k的三个分量k_x，k_y，k_z分别为

因此，波矢k具有量子数的作用，它描述晶体中电子共有化运动的量子状态。

由式（1-18）可以证明每一个布里渊区中有N个k状态。与每一个k值相应有一个能量状态（能级），由于k值是分立的，所以布里渊区中的能级是准连续的，每一个能带中有N个能级，N为晶体的固体物理学原胞数。因为每个能级可以容纳自旋相反的两个电子

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