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作者：王娟、

出版社：电子工业出版社

出版时间：2011-08-01

书籍编号：30466675

ISBN：9787121142857

正文语种：中文

字数：58323

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：鲁棒控制理论及应用

作者：王娟　等

ISBN：9787121142857

版权所有 · 侵权必究

前言

鲁棒控制理论是处理不确定性问题的有力工具，近年来备受控制理论界关注，取得了一系列的成果和方法，并在工程领域中获得了成功的应用。该问题的研究不仅可以应用于飞行器控制、机器人控制、网络控制等其他工程领域，也可以应用于运动控制领域。

本书全面系统地介绍了不确定系统鲁棒控制和时滞系统鲁棒控制的理论基础、各种设计方法及其在工程设计中的应用等问题。主要研究内容包括：约束系统的状态及输出反馈控制方法、时滞系统的稳定性及镇定问题、鲁棒输出反馈控制器的设计方法。特别是在约束系统的鲁棒控制设计中，对工程中常见的约束控制系统的鲁棒控制设计问题，采用滚动时域策略，提出了几种鲁棒输出反馈控制器设计技术。最后给出了这些理论方法在控制工程设计中的应用实例。

本书是研究团队成员大量研究成果的总结，融入了近年来在国内外刊物上发表及国际会议上交流的多篇学术论文的精华内容。杜海英负责编写了第1章，王娟负责编写了第2、3、4章，张涛负责编写了第5章，崔艳秋负责编写了第6章和附录，徐国凯负责编写了第7章。全书由王娟统稿。

本书的出版得到了辽宁省教育厅项目和中央高校自主科研基金资助，作者对此深表谢意。

由于作者水平有限，书中的缺点错误在所难免，欢迎读者给予批评指正。

编著者

第1章 控制系统的稳定性

在控制理论中系统的稳定性是一个非常重要的概念，它是系统能否正常工作的最基本条件，因此研究系统稳定性、稳定性条件及稳定性措施是控制系统的重要内容。

1.1 稳定性概念

当系统为非线性和时变的最一般情况时，可用如下状态空间模型描述

其中，x为n维状态向量， f(⋅)和g(⋅)分别是状态的非线性向量函数和矩阵函数，u则表示控制输入量。进而，如果系统为定常系统，则其状态方程（1.1）中将不显含t；如果系统为线性，那么方程（1.1）中 f (⋅)和g(⋅)分别为x和u的线性向量函数，此时式（1.1）化为

研究运动稳定性问题时，我们希望系统的状态x(t)对于任意的非零初始值，都能够渐近地趋于平衡状态并且稳定在平衡点上，即

由此可见，平衡状态即系统方程的常数解，或者系统的一种静止的运动。在大多数情况下， x_e =0 ，即状态空间的原点为系统的平衡状态；除此之外，系统也可以有非零平衡状态。显然对于一个非线性系统，平衡点并非唯一。容易证明，对于孤立的平衡状态，总是可以通过移动坐标系而将其转换为空间的原点。所以为了叙述简便，下面只讨论x_e =0的情况。

对于一般系统而言，要想使系统具有上述运动趋势，就必须施加控制作用。因为如果不施加驱动力，即令u=0（通常称这类系统为“自治系统”），则系统状态的动态过程将满足微分方程

但是对于任意给定的初始条件x(t₀ )≠0 ，该方程的解x(t)一般不满足式（1.3），因此需要选择适当的控制输入u使系统稳定到平衡状态。如果状态x的各元素均可检测，就可以通过状态反馈来确定控制输入，令

其中，k为函数矩阵。这时系统的状态微分方程为

则由初始状态所引起的运动轨迹满足上述微分方程的解，所以可以选择适当的k使得上述微分方程的解对于任意给定的初始状态都趋于零。

式（1.5）称为“状态反馈控制律”或者“控制器”，而式（1.6）称为“对应的闭环系统”，式（1.4）称为“开环系统”。显然，此时系统的控制问题就是设计控制器，使得其偏离平衡状态的受扰运动能够返回到平衡点状态，或者限制在它的有限领域内。一个实际的系统必须是稳定的，只有稳定才能付诸工程应用。虽然稳定还不是系统达到成功的工程应用的全部，但是它是系统实际应用的前提和先决条件。下面将首先讨论李雅普诺夫（Lyapunov）意义下稳定的基本概念，在此基础上研究系统的内部稳定性、外部稳定性，以及各种稳定性之间的关系和稳定性的判据；同时，还将讨论利用李雅普诺夫直接法进行系统综合的问题。

定义1.1 若个给定的状态x_e满足

则称x_e是系统式（1.1）的“平衡状态”或者“平衡点”

如果没有外力作用于系统，则系统将保持平衡状态；如果系统受到外力作用，则系统能否保持这个平衡状态就是平衡状态的稳定性问题。以下给出李雅普诺夫稳定性定义。

定义1.2稳定性设为动力学系统式（1.1）的平衡态，若对任意给定的实数>0，都对应地存在一个实数，使得一切满足的系统响应x(t)，在所有的时间内都满足，则称“系统的平衡状态x_e是稳定的”。在此定义中，有

当选得足够小时，则由初始扰动引起的响应，在所有时间内都包括在一个超球中，即

在二维情况下，系统稳定性的几何解释如图1-1所示。

图1-1 系统稳定性的几何解释

如果对平衡点x_e和任意给定的域，找不到满足稳定条件的相对邻域，那么系统在该平衡点是不稳定的，则称“系统是不稳定的”。

如果所取的域与初始时刻t₀无关，即对任何t₀稳定条件不变，则称“该系统稳定状态是一致稳定的”。

定义 1.3 渐进稳定 如果系统的一个平衡状态 x_e是稳定的且对靠近平衡状态 x_e的任何初始点x(0)的系统解x(t)满足

也就是说，从足够靠近x_e处出发的每一个解x(t)，当t→时收敛于x_e，则平衡状态x_e是渐进稳定的。在二维情况下，系统渐进稳定性的几何解释如图1-2所示。

图1-2 系统渐进稳定性的几何解释

如果 x_e是渐进稳定的，且系统稳定性质与初始时刻 t₀无关，则系统是一致渐进稳定的。

定义1.4 全局渐进稳定 如果系统的平衡状态x_e对状态空间的所有 x(0)都是稳定的且，则x_e是全局渐进稳定的。

如果系统的稳定性质与初始时刻t₀无关，则平衡状态x_e是一致全局渐进稳定的。

从工程观点来看，感兴趣的往往是在平衡状态附近比较大范围内的稳定性问题。若在状态空间中有限的范围内满足稳定条件，则系统称为“局部稳定”。

1.2 李雅普诺夫稳定性定理

李雅普诺夫第二方法又称“李雅普诺夫直接法”，这一方法的优越性在于可在不解微分方程的条件下确定系统的稳定性。该方法建立在能量观点的基础上，若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动其存储的能量将随时间增长而不断衰减。直至时，系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量”函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为“直接法”，其最大的优点在对于任何复杂系统都适用。

对于由式（1.1）描述的系统，如果

则系统可能的平衡状态为x_e =0 ，即为坐标原点0。

为了分析系统的稳定性，李雅普诺夫引出一个虚构的能量函数，称为“李雅普诺夫函数”。分析这一函数及其一次导数的定号性而获得系统稳定性的有关信息。李雅普诺夫第二方法概念直观，方法具有一般性且物理意义清晰。下面介绍李雅普诺夫函数和李雅普诺夫稳定性定理及其应用。

李雅普诺夫函数V (x,t)是状态变量的函数，它是一个广义的“能量函数”，并应具有下列性质：

（1）V(x,t)的一次偏导数是连续的；

（2）V(x,t)是正定的，即对所有，有V(x,t)>0且V(0)=0。

对于线性系统寻找李雅普诺夫函数比较简单，选为系统状态变量x的二次型函数，即

为了V (x,t)正定，P应是正定矩阵。

对于一个复杂的系统，要想找到一个合适的李雅普诺夫函数比较困难。设系统方程为式（1.1）并设 f (0,t)=0 ，即原点为系统的平衡点，对此系统有如下定理。

定理1.1 李雅普诺夫稳定性定理

对于式（1.1）描述的系统，如果在包含原点 O 在内的某个域 D 内存在李雅普诺夫函数V(x,t)>0，而且，则系统在原点O是稳定的。

证明：用D_ε表示中心为原点O，半径为的球的内部，以表示此球的表面。设V (x,t)为正定，，V(x,t)在上的最小值为m；以表示中心为原点O，半径为的球的内部，并设在球体内各点的V(x,t)<m。设在之中有任意一点x ，下₀面来研究由x₀出发的轨线x(t)=x(x₀,t)的变化情况。假定在某一时刻t₁，x(t₁)穿过，由于

故沿运动轨线x(t)，V(x,t)并不增加，因此有；另一方面，m表示在上V(x,t)的最小值，如果x(t₁)超出的边界，则必有，上面的结果是矛盾的。由此可以说明随着时间的延长，x(t)不能超出的边界。因此系统在原点稳定，定理得证。

定理1.2 李雅普诺夫渐近稳定性定理

对式（1.1）描述的系统，如果在包含原点 O 在内的某个域 D 内，存在李雅普诺夫函数V (x,t)>0 ，且，则系统在原点O是渐进稳定的。

证明：设表示中心为原点O，半径为r的球的内部。若x₀在D_r之内，当t>0时，设x(t,x₀)不会跑出D_r之外；设为任意小的正数，由前面的定理可有。当x₀在之内时，x(t,x₀)在内。今设x₀在D_r之内，设在t>0时不落入，则x(t,x₀)将落入D

_δ

和D_r两球之间，即与D_r之间的区域。但在此中间层内，，因此存在某个常数k>0，使得中间层内，于是由下式

可得

当t不断增长时，V (x,t)渐渐减小。但V (x,t)为正定函数，不可能变负，而是渐渐趋近于0。经过一段时间之后，x(t,x₀)将落入。是这样选择的，当x(t,x₀)落入之后不能跑出，即在之内。由于是任意小的数，&nbsp;可趋近于0，因此，即系统渐进稳定，定理得证。

1.3 线性离散系统李雅普诺夫稳定性分析

前面我们以连续时间系统为对象，讨论了系统的零输入响应即自由运动的稳定性。现在我们把这一讨论推广到离散时间系统，讨论李雅普诺夫第二方法在线性离散系统稳定性分析和系统状态反馈设计中的应用。

设系统的状态方程为

其中，X为n维状态向量，A为n × n维常数矩阵。

定理1.3 离散系统的渐进稳定 对于离散系统式（1.14），如果存在一个对于X(k)的标量函数V(X(k)) ，对于任意的X(k)满足如下条件：

（1）V(X(k))为正定；

（2）为负定。

则原点为平衡状态，即X =0为渐近稳定。

定理 1.3 给出了构造线性离散系统李雅普诺夫函数的通用方法。本章主要是基于李亚普诺夫直接法设计使线性定常系统稳定的控制器。下面应用这个定理讨论离散系统的状态反馈控制器设计问题。

设不稳定的线性定常系统的状态方程为

其中，状态反馈律具有下述形式

系统式（1.15）在状态反馈律如式（1.16）作用下闭环系统为

其中， A_c =A+BK。

对于离散系统式（1.17），选下列二次型函数为系统的李雅普诺夫函数

其中，P为n×n维对称正定矩阵，求V的增量

由于V(X)取正定，如果要使系统渐进稳定，必须使A_c^TPA_c+P为负定，即要求

成立，证明完毕。

解不等式（1.20）即求解一个代数的矩阵不等式，这并不是一件容易的事情。20世纪90年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等式再次受到控制界的关注并被应用到系统和控制的各个领域中。众所周知，线性矩阵不等式在控制领域得到了广泛的应用。因为它克服了黎卡提（Riccati）方程求解困难，含有不定参数，需要人为确定参数的缺点。随着求解线性矩阵不等式的内点法的提出，可以求解线性矩阵不等式的软件包的大量出现，许多控制问题都可以采用线性矩阵不等式这一工具来处理，它通过将问题转化为一个线性矩阵不等式的可行性问题或者一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题。由于这里利用Matlab的线性矩阵不等式（LMI）工具箱将渐近稳定性问题等价于线性矩阵不等式的可行性问题。

式（1.19）和式（1.20）中存在两个未知矩阵变量P和K，且这两个矩阵变量以非线性的形式出现在这个矩阵不等式中，因此要直接从以上矩阵不等式中求解P和K是很困难的。可以通过矩阵的舒克尔补（Schur Complement）性质将矩阵不等式进行等价变换，然后通过一个适当的变量替换。将非线性矩阵不等式（1.20）转化为一个等价的关于新变量的线性矩阵不等式，从而可以利用Matlab的LMI（线性矩阵不等式）工具箱求得可行解。

舒克尔补性质非常有用，借助它可将某些二次非 LMI 转化为 LMI。根据矩阵的舒克尔补性质，矩阵不等式（1.20）等价于

其中， Q₂=P₂⁻¹。用diag(Q₁, I )分别左乘和右乘不等式两边，并定义KQ₁=Y ，得到

矩阵不等式（1.22）是一个线性矩阵不等式，因此可以应用 LMI 工具箱中的求解器feasp来判断该线性矩阵不等式的可行性，进而可以得到使系统式（1.14）渐近稳定的反馈控制器

1.4 约束系统的稳定性分析

控制输入饱和（执行器饱和）是控制系统最为常见的约束。引入饱和后系统具有局部渐近稳定特性，其稳定性分析的一个重要问题是估计系统的吸引域。如何获得尽可能大的吸引域估计，即在吸引域内得到尽可能大的不变集，以减少估计的保守性成为研究的热点问题。

1.4.1 状态反馈控制系统稳定性分析

1．离散时间系统

考虑约束离散系统

其中，x∈Rⁿ为状态变量，u∈R^m为控制输入，A和B是适当维数的常数矩阵。函数:R^m→R^m为标准饱和函数，即，其中，给定状态反馈控制器

定义整数集M ={1, 2,…, m}，并且B_i表示矩阵B的第i列， K_i表示矩阵K的第i行，则相应的闭环系统可以表示为

定义1.5 对于x(0)=x₀∈Rⁿ为系统式（1.25）的状态轨迹，如果从某个有限的区域内出发的系统状态轨迹始终保持在这个区域内，那么这个区域被称为“不变域”。

定义1.6给定对称正定矩阵P∈R^n×n和一个正数，记椭圆=。选择V=x^TPx为Lyapunov函数，若对于所有的，有，则椭圆被称为“收缩不变”。

定义1.7 由初始状态₀(0)ⁿx=x∈R出发的系统式（1.25）状态轨迹的集合

被称为“系统的原点吸引域”。

由于获得吸引域的确切值比较困难，因此获得尽可能大的吸引域估计值是非常重要的。显然如果是收缩不变集，那么椭球位于吸引域内，即饱和系统式（1.25）的吸引域可以依靠构造这样的椭球不变集来估计。

借助椭球不变集估计系统的吸引域，将归结为以下两个问题：

（1）一个椭球集是位于吸引域内不变集的条件；

（2）最大椭球不变集的计算方法。

下面分别对这两个问题进行讨论。这一部分首先通过引入多个辅助反馈矩阵的形式对饱和项进行处理，然后利用两个松弛矩阵，结合 Lyapunov 稳定性理论给出保守性较小的闭环系统局部渐近稳定的条件。

定义 1.8^[1] 给定一个整数集M ，集合N是M的所有的子集的集合，记为N={S:S⊆M}。S^c表示属于M中集合S的补集，记为S^c ={i∈M:i∉S}。

显然集合 N 中共有2^m个S _j ，j=1,…,2^m。若S _j∈N ，则S ^c_j∈N。利用定义 1.8，可以引入多个辅助矩阵来处理饱和非线性。用表示矩阵的第i行，给出下面的饱和特性的多参数描述形式。

引理1.1 给定z∈R^m和那么

证明：

对于每个，可能存在如下情况：

综合上面的分析可以得到

为了利用引理1.1中描述的饱和特性的多参数描述形式估计闭环系统式（1.25）的吸引域，引入两个松弛变量矩阵P₂和P₃，容易得到

（1.26）

通过这种方法，可以将用2^m个辅助变量来描述的饱和非线性特性引入到稳定性条件中得到定理1.4。为了简化，下文中对称矩阵中的符号“*”表示沿对角线对称位置的块矩阵的转置。

定理1.4 考虑带有给定状态反馈控制式（1.24）的系统式（1.23），对于每一个S_j ∈N，j=1,…,2^m ，若存在正定矩阵P₁>0和矩阵P₂ ，以及P₃和∈R^m×n，当x(k)∈(P₁,1)时，使矩阵不等式（1.27）和式（1.28）成立，即

其中，表示的第i行。那么椭球集位于吸引域内，并且是严格不变的。

证明：考虑二次函数V=x^TP₁x，P₁>0。若位于吸引域内，必有

引入等式条件^[2]

其中，P₂和P₃是适当维的两个任意矩阵，那么

当满足条件， i∈S_j时，如果

根据引理1.1，可以得到

将公式（1.31）写成下面的矩阵不等式形式

其中，，。由于，故，即x(k)∈位于吸引域内。

当时，成立的充要条件是^[3]

应用Schur\'s补公式，式（1.32）与不等式（1.28）等价。

如果限定P₁=P₃， P₂=0 ，且令=H ， j=1,…,2^m ，那么得到推论1.1。

推论1.1考虑系统式（1.25），给定椭球，若存在矩阵H∈R并满足^m×n

那么椭球集位于吸引域内，并且是严格不变的。

在以上讨论中给出了一种用不变椭球集描述吸引域的方法。下面的主要工作是在所有满足定理 1.4 条件的不变椭球集中寻找最大的一个。这里利用形状参考集方法度量吸引域估计值的大小。参考集X⊂Rⁿ是先给定的有界凸集，对于集合_R，定义

有两种典型的X_R描述，分别为椭球集，R>0和多面体集。如果，那么越大，则包含X_R的集合的容积越大。因此可以通过最大化的值得到最大椭球吸引域的估计值。

定理1.4给出了椭圆集位于吸引域内的条件。用上述多面体形式的参考集，从所有满足定理1.4条件的椭圆集中选择最大的不变椭圆集，以使所估计的系统吸引域的保守性最小的问题可以描述为下面的优化问题，即

使用不同的参考集估算椭球域所用的方法是相似的，本节给出用多面体集作为参考集估算系统的吸引域计算方法。给定一多面体集X_R ， X_R =co{v₁,v₂,?,v_l}。对每一个S _j∈N ，为了将获得尽可能大的吸引域估计问题转化为带有 LMI约束条件的最优问题，设。因为X_R为多面体，所以上式中的约束条件等价于

因为 P₃+P₃^T >P₁ ，可知 P₃ 是非奇异的。定义 Q₃=P₃⁻¹ ，并设，，用Q^T和Q分别左乘和右乘不等式（1.27）后，得

进一步，令，利用Schur\'s补公式得到上式的LMI描述

不等式（1.28）等价于

通过上面的分析，优化式（1.33）可以转化为下面的凸优化问题，即

值得注意的是，当m=1时，如果求解优化问题式（1.37），得到Q₂和Q₁−Q₃近似等于0。

优化式（1.37）处理的是K已知时，取得最大椭圆为收缩不变的问题。这可用于设计控制反馈K，使闭环系统有一个的不变集。定义Z=KQ₁，则有

求解上述的优化问题，可以在计算最大不变椭圆集的同时计算出状态反馈阵K =ZQ₁⁻¹。

2．受约束连续系统的吸引域估计及控制器设计

考虑连续系统

其中，x∈Rⁿ，u∈R^m，是标准饱和函数同系统式（1.23），给定状态反馈控制器

根据整数集M的定义，闭环系统可以表示为

对于，设为系统式（ 1.41 ）的状态轨迹，那么原点吸引域为。对应于离散系统吸引域估计问题的分析方法，对于所有的，则椭球集被称为“收缩不变集”。

定理1.5 考虑系统式（1.41）。对于每一个S _j∈N , j=1, 2,…, 2^m ，若存在对称矩阵P₁>0 ，以及矩阵P₂、P₃和，当x(t)∈时，均有

那么椭球集位于吸引域内，并且是严格不变的。

证明：类似于离散系统的证明方法，如果式（1.42）成立，可以得到

那么连续闭环系统在包含原点的椭球内渐近稳定。

如果限定P₁=P₂且P₃=，是一个充分小正数，且令，可以得到下面的推论。

推论1.2考虑系统式（1.41），若存在充分小的正数，对称矩阵P>0和矩阵H∈R。^m×n当时，有

那么椭球集位于吸引域内，且是严格不变的。

因为是一个充分小的正数，如果式（1.44）成立，那么有

这个结果等价于文献[3]的定理1.5的条件。

利用矩阵 Q 及其转置对不等式（1.42）进行相似变换，可以将估计满足定理 1.5 条件的最大椭球问题转化为LMI优化问题，即

值得注意的是，当m = 1时，如果求解上述优化问题得到Q₂ =Q₃，那么上述优化问题中将等价于文献[3]。

同样在用优化式（1.47）中使用变量替换Z=KQ₁，这个优化问题可用于设计控制反馈K，使闭环系统有一个的不变集，方法如下

求解上述的优化问题，可以在得到最大不变椭圆集的同时计算出状态反馈阵K =ZQ₁⁻¹。

3．仿真研究

例1 考虑式（1.23）所描述的一个两输入系统，即

运用LQR方法所设计的状态反馈阵为

当反馈矩阵 K 和参考集 X_R已知时，运用本文提出的方法求解优化式（1.37）得到=2.5652。

例2 对于单输入系统，只能定义一个辅助反馈变量H。由推论1.2可知，本文提出的算法与定理 1.5 提出的方法得到的最大稳定域应该是相同的。下面给出一个单输入系统的仿真算例。

考虑一个单输入连续系统，即m=1：

其中，

取v₁=[−1 0.8]^T ，X _R =co{v₁ v₂}，运用定理1.5提出的方法求解优化问题式（1.47）得到=4.3713。

例3 前两个算例讨论了系统的稳定性分析问题，本算例将在设计控制器的同时得到系统吸引域的估计值。为了更形象直观地比较说明本章算法的有效性，考虑一个二输入系统：

取多面体参考集，运用本文提出的控制器设计方法求解优化问题式（1.48）得到

选择同样的参数v₁，运用文献[3]提出的方法=0.99，状态反馈为

图1-3给出了本算例椭圆稳定域估计曲线。

文献[3]运用饱和函数的LDI描述方法得到的系统最大稳定域估计值为图中虚线表示的椭圆；本章用饱和函数的多参数描述形式估计系统的稳定域得到的最大椭圆用实线表示，显然本方法得到的吸引域估计值相对要大。

在前面提出利用多面体参考集估计吸引域，如果采用椭球参考集，那么估计吸引域的优化问题式（1.38）和式（1.48）中的约束条件应为下面的形式：

以优化问题式（1.48）为例，选择椭球参考集为：

则求解优化问题得到的最大椭球和采用上述多面体参考集得到的椭球稳定域相同，如图1-3最外面的实线椭圆所示。

图1-3 例3的稳定域

图 1-4给出了所获得的系统稳定域（实线椭圆）和闭环系统的状态轨迹（虚线曲线）。

由状态轨迹可知在椭圆域内系统是渐近稳定的，且估计得到的椭圆稳定域比较接近于系统的吸引域。

这 3 个仿真算例表明对于单输入系统，本文提出的算法所得到最大稳定域与文献[3]和[4]的结果非常近似。但是对于多输入系统，本文所得到的椭圆要明显的比文献[3]和[4]的结果大，并且比较接近于系统真实的稳定域。这表明本文提出的算法减少了吸引域估计的保守性。

图1-4 稳定域和状态轨迹

用此等式计算得到的矩阵参数构造的输出反馈控制器，使得系统式（1.55）在位于原点吸引域内的椭球域内渐近稳定。

1.4.2 输出反馈控制系统稳定性分析

上一节讨论了含控制输入饱和约束的状态反馈系统吸引域的估计问题，即假定系统状态是全息的。在实际问题中，系统的状态有时不能直接测量，难以应用状态反馈控制系统。有时即使系统的状态可以直接测量，但考虑到实施成本和系统可靠性等因素，如果可以用系统的输出反馈来达到闭环系统的性能要求，则更适合于选择输出反馈的控制方式。因此输出反馈控制器的研究更具有实际意义，动态输出反馈控制器有全阶（对象阶）和降阶的两类。在系统稳定性的研究中，全阶输出反馈控制系统的分析设计问题已经得到了较早和较多的关注；在实际控制系统中，阶次较低的控制器所需元件少，反馈增益一般也较小，容易实现且不易出故障。因此如何设计阶次较低的控制器一直是控制理论应用的一个热点问题，受到广泛关注。

1．连续时间系统

考虑状态空间描述的被控系统

其中， x(t)∈Rⁿ是状态变量， u(t)∈R^m是控制输入，和（n₂n）是系统测量输出。饱和函数的定义相同于系统式（1.23）。A_s、B_s和C_s是适当维数的常数矩阵。

当通过输出y(t)只有部分的系统状态信息可以利用时，不失一般性，假设C_s是行满秩矩阵，此时存在一个非奇异的矩阵 T，使，即系统有n₂个状态变量可以直接利用。定义为

利用矩阵T可将系统式（1.49）进行转换

其中，

。

对于系统式（1.50），非线性降阶（n₁阶）输出反馈控制器被定义为

定义，这样由式（1.50）和式（1.51）组成的闭环系统可以描述为

其中，

针对这个系统的设计目标是构造非线性降阶控制器式（1.51），使系统式（1.49）被包含在吸引域的椭球域内，即

渐近稳定，并且获得其中最大的椭球域，即

由于饱和具有非线性特性，故在应用Lyapunov函数方法估计系统的最大椭球吸引域前，需要处理非线性环节。到目前为止LDI处理技术是一种比较有效的方法。运用这种技术，通过引进一个受约束的辅助矩阵，即

并定义

将饱和控制替代为一个多胞型线性微分包含的形式。

引理1.2^[5] 对于某个给定矩阵H，如果x_cl∈L(H ) ，则[S]

其中， co表示凸组合。

基于1.4.1节中的整数集M和N的定义，下面给出几个需要用到的符号定义。

定义1.9 给定正数i∈M 和S _j∈N ，如果i属于S _j ，那么

定义1.10 给定S _j∈N ，那么

利用定义1.9、定义1.10和引理1.2，对于某个给定的H

....