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作者：关新平,吴忠强等编

出版社：电子工业出版社

出版时间：2012-05-01

书籍编号：30466765

ISBN：9787121151668

正文语种：中文

字数：55459

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：现代控制理论

作者：关新平　吴忠强

ISBN：9787121151668

版权所有 · 侵权必究

高等学校“十二五”电气自动化类规划教材丛书编委会

（按拼音排序，排名不分先后）

编委会主任：关新平

编委会副主任：

毕卫红 韩 璞 娄国焕 吴学礼 杨 鹏

专家组成员：

何 谓 高 蒙 李国洪 李建华

王培光 姚福来 赵书强

编委会委员：

常丹华 曹晓华 杜立强 顾和荣 侯培国

韩兵欣 郝 成 李书杰 李珍国 马翠红

牛培峰 孙孝峰 唐瑞尹 吴忠强 王建民

王海群 王静波 王立乔 杨友良 殷桂梁

岳树盛 张宝荣 张秀玲 张燕君 张晓晖

前言

以频域方法为基础的古典控制理论在经历了一百多年之后，直到20世纪的四五十年代才形成完整、独立的控制理论。毫无疑问，古典控制理论在解决广泛的控制问题上是非常有效的，并且已被广大从事自动控制的工程技术人员所掌握。它的广泛应用给人类带来了巨大的社会和经济效益，它的突出成就是导致自动化技术的诞生和发展。但是，也正是这种社会的进化过程对控制理论不断地提出新的更加严格的要求，使古典控制理论面临着挑战。随着20世纪50年代兴起的航天技术及其他生产技术的发展，一方面使控制对象变得更加复杂，另一方面对控制的要求提出了更加苛刻的条件。例如，非线性的、时变的或者分布参数的系统的控制问题，对系统本身或其周围环境的不确定因素的适应控制问题，多输入-多输出（MIMO）系统的分析与综合问题，以及实现控制的某种目标函数意义下的最优化问题等，都不是单纯依赖古典控制理论所能解决的。面对这些挑战，控制理论必须向前发展，而在这个时期整个科学的进步，特别是现代数学和计算机技术的成就恰好为控制理论的发展提供了强有力的工具。正是在这种历史背景下，现代控制理论应运而生。在20世纪五六十年代，很多科学家为此做出了杰出的贡献，其中应特别提出的有庞特里亚金的极值原理，贝尔曼（Bellman）的动态规划，以及卡尔曼（Kalman）的滤波、能控性与能观测性理论等。正是他们的这些理论上的突破性成果奠定了现代控制理论的基础，成为控制理论由古典控制理论发展到现代控制理论的里程碑。至今40多年来，现代控制理论不论在理论方面还是在应用方面一直处于十分活跃的发展状态。它不仅在航天与航空技术上取得了举世瞩目的惊人成就，而且在电气、机械、化工、冶金、交通等工程系统及生物工程、企业管理和社会科学等广泛领域内都有成功的应用。可以毫不夸张地说，现代控制理论已经成为渗透到各个学科领域的横向科学。显然，控制理论的发展与成就标志着人类对客观世界的认识能力和改造能力的进一步提高。因此，它也必然会对人类的认识论和方法论给以重大影响。

本书共分6章：第1章介绍了控制系统的状态空间表达式，由姚成玉编写；第2章介绍了控制系统状态空间表达式的解，由魏立新编写；第3章介绍了线性控制系统的能控性与能观性，由吴忠强编写；第4章介绍了控制系统的稳定性，由李峰磊编写；第5章介绍了线性定常系统的综合，由张秀玲编写；第6章介绍了最优控制，由罗小元编写。全书由关新平、吴忠强汇总整理。本书可作为高等学校自动化专业的本科生和非自动化专业的研究生教材。

由于时间仓促，本书难免有疏漏之处，恳请读者批评指正。

编 者

第1章 控制系统的状态空间表达式

在经典控制理论中，对线性定常系统，可用常微分方程或传递函数加以描述，可将某个单变量作为输出，直接与输入联系起来。实际上，系统除了输出量这个变量以外，还包含其他相互独立的变量，而微分方程或传递函数对这些内部的中间变量是不便描述的，因而不能包含系统的所有信息。显然，从能否完全揭示系统的全部运动状态来说，用微分方程或传递函数描述线性定常系统有其不足之处。

然而，现代工程系统日趋复杂，性能要求越来越高，因此，对系统的描述应该更加精细。对一个复杂系统的分析与综合，不仅需要了解它的输入-输出关系，而且要求知道它的内部结构。经常遇到的受控对象，不仅是定常的，也可能是有许多时变的；不仅是线性的，也可能是非线性的；不仅是确定性的，也可能是随机的。总之，对象的多样性，要求描述系统的数学工具应具有一定的适应性。尤其是现代许多复杂系统中，往往都需要有计算机参与工作。因此，为适应控制系统理论这种发展趋势的要求，在描述系统的数学方法上，需要进一步改进。控制理论发展到20世纪五六十年代便产生了一种新的描述方法——状态空间法。

这一方法的特点是：采用状态空间表达式（状态空间描述）作为系统的数学模型，系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始条件。这样，在分析和设计控制系统时，不再只局限于输入量、输出量、误差量，为提高系统性能提供了有力的工具。加之可利用计算机进行分析设计及实时控制，因而可以应用于非线性系统、时变系统、多输入-多输出系统及随机过程。

本章在阐述状态空间表达式基本概念、表达形式的基础上，介绍依据不同已知条件（物理模型、框图、微分方程、传递函数）的建立方法。然后，介绍状态矢量的线性变换及约旦标准型。最后，介绍从状态空间表达式求解传递函数阵。

1.1 状态变量及状态空间表达式

1.1.1 状态变量

足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立的变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。同一个系统，究竟选取哪些变量作为独立变量，这不是唯一的，重要的是这些变量是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数；又由于微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数，因此，状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数。

众所周知，n阶微分方程式要有唯一确定的解，就要必须知道n个独立的初始条件。很明显，这n个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻t₀的值。

综上所述，状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量，当其在t=t₀时刻的值已知时，则在给定t≥t₀时间的输入作用下，便能完全确定系统在任何t≥t₀时间的行为。

1.1.2 状态矢量

如果n个状态变量用x₁ （t），x₂ （t），…，x_n （t）表示，并把这些状态变量看做是矢量x（t）的分量，则x（t）就称为状态矢量，记作

并且，状态矢量x的维数定义为其组成状态变量x₁ （t），x₂ （t），…，x_n （t）的个数，即dimx=n。

1.1.3 状态空间

以状态变量x₁ （t），x₂ （t），…，x_n （t）为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。在特定时刻t，状态矢量x（t）在状态空间中是一点。已知初始时刻t₀的状态x（t₀ ），就得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x（t）将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。状态矢量的状态空间表示将矢量的代数表示和几何概念联系起来了。

1.1.4 状态方程

由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。

用如图1-1所示的RLC电路，说明如何用状态变量描述这一系统。

图1-1 RLC电路

此系统有两个独立储能元件，即电容C和电感L，所以，应有两个状态变量。状态变量的选取，原则上是任意的，但考虑到电容的储能与其两端的电压u_C和电感的储能与流经它的电流i均直接相关，故通常就以u_C和i作为此系统的两个状态变量。

根据电学原理，容易写出含有两个状态变量的一阶微分方程组，即

亦即

式（1-1）就是如图1-1所示系统的状态方程，若将式中状态变量用一般符号x_i表示，即令x₁=u_C ，x ₂ =i；并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为

或

式中

1.1.5 输出方程

在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

在如图1-1所示系统中，指定x₁=u_C作为输出，输出一般用y表示，则有

或

式（1-3）就是如图1-1所示系统的输出方程，它的矩阵表达式为

或

式中，c=[1 0]。

1.1.6 状态空间表达式

状态方程和输出方程综合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。

例如，式（1-1）和式（1-3），或式（1-2）和式（1-4）就是如图1-1所示系统的状态空间表达式。

在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。如图1-1所示的系统，在以u_C作为输出时，从式（1-1）消去中间变量i，得到二阶微分方程为

其相应的传递函数为

如果要从高阶微分方程或从传递函数变换为状态方程，即分解为多个一阶微分方程，那么此时的状态方程可以有无穷多种形式，这是由于状态变量的选取可以有无穷多种的缘故。这种状态变量的非唯一性，归根到底，是由于系统结构的不确定性造成的。关于这个问题，下面还将论及，此处暂不多述。

回到式（1-5）或式（1-6）的二阶系统，若选作为两个状态变量，即令x₁=u_C ，，则得一阶微分方程组为

即

若以q=idt和i作为两个状态变量，即令x₁=q，x₂=q.=i，同样可求得一个状态方程。比较式（1-8）和式（1-2），显而易见，同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。

从理论上说，并不要求状态变量在物理上一定是可以测量的量，但在工程实践上，仍以选取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最优控制中，往往需要将状态变量作为反馈量。

设单输入-单输出定常系统，其状态变量为x₁ ，x₂ ，…，x_n ，则状态方程的一般形式为

输出方程式为

用矢量矩阵表示时的状态空间表达式为

式中：为n维状态矢量；

A=为系统内部状态的联系，称为系统矩阵，为n×n方阵；

b为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为n×1的列阵；

c=[c₁ c₂ …c_n ]为状态对输出的影响，称为输出矩阵，这里为1×n的行阵；

d为输入与输出直接传输项，这里为一标量。

对于一个复杂系统，具有r个输入，m个输出，此时状态方程变为

至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在特殊情况下，还可能有输入矢量的直接传递，因而有如下的一般形式：

因而，多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为

式中：x和A同单输入系统，分别为n维状态矢量和n×n系统矩阵；

为了简便，下面除特别说明，在输出方程中，均不考虑输入矢量的直接传递，即令D=0。

1.1.7 状态空间表达式的系统框图

和经典控制理论类似，可以用框图表示系统信号传递的关系。对于式（1-9）和式（1-10）所描述的系统，它们的框图分别如图1-2（a）和图1-2（b）所示。图中用单线箭头表示标量信号，用双线箭头表示矢量信号。

图1-2 系统信号传递框图

从状态空间表达式和系统框图都能清楚地说明：它们既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，所以，状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。

1.1.8 状态空间法的特点

通过以上对状态空间描述的初步认识，可总结出如下几点：

（1）动力学系统的状态定义为完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。

（2）状态空间描述考虑了“输入-状态-输出”这一过程，其中，它考虑了被经典控制理论的输入-输出描述所忽略的状态，因此它揭示了问题的本质，即输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。

（3）输入引起状态的变化是一个运动过程，数学上表现为微分方程，即状态方程。状态和输入决定输出的变化是一个变量间的转换过程，数学上表现为变换方程，即代数方程。

（4）系统的状态变量个数仅等于系统包含的独立储能元件的个数。

（5）对于给定的系统，状态变量的选择不是唯一的。如果x是系统的一个状态矢量，只要矩阵T是非奇异的，那么x=T^-1x也是一个状态矢量。

（6）一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量，但从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

（7）系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合用计算机来计算，有利于把工程技术人员从繁琐的计算中解脱出来，使他们在控制系统的分析与综合中从事更富有创造性的工作。

1.2 模拟结构图

在状态空间分析中，采用模拟结构图（或称状态变量图）来反映系统各状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式很有帮助。

为了简便，这里用框图代替模拟计算机的详细模拟图，它是由积分器、放大器、加法器等基本元素组成的。状态空间表达式的结构图可按如下步骤绘制：积分器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

对于一阶标量微分方程

它的模拟结构图如图1-3所示。

再以三阶微分方程为例：

将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成

它的模拟结构图如图1-4所示。

图1-3 一阶标量微分方程的模拟结构图

图1-4 三阶微分方程的模拟结构图

图1-4也是传递函数W（s）=的模拟结构图。可见，模拟结构图既描述状态变量间的相互关系，又说明状态变量的物理意义。可以说，模拟结构图是系统相应框图拉普拉斯反变换的图形。

结合上面的方法，可以画出下列传递函数的模拟结构图：

同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，如图1-5所示是下列三阶系统的模拟结构图。

图1-5 系统模拟结构图

1.3 状态空间表达式的建立（一）

用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。通常可以采用两条可能的途径来求得。

一是分析的途径，适用于结构和参数为已知的系统。对于框图已知的系统，可以根据系统各环节的实际框图连接，写出相应的状态空间表达式；对于物理模型已知的系统，可利用机理分析进行推导得到。

二是辨识的途径，适用于结构和参数难以搞清楚的系统。它通过实验的手段取得数据并采用适当方法确定系统的输入-输出模型（高阶微分方程或传递函数），然后再由所得到的系统输入-输出描述来导出相应的状态空间表达式。这里，前一个步骤称为系统辨识和参数估计，其内容已超出本书的范围。后一个步骤称为实现问题，将在1.4节介绍。

本节介绍分析的途径。

1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式

当系统的描述是以框图形式给出时，无须求出总的传递函数，可直接由框图导出其相应的状态空间表达式。这是由1.2节的模拟结构图得到的启示，其步骤如下：首先，将系统的各个环节按1.2节所述方法，变换成相应的模拟结构图，并把每个积分器的输出选作一个状态变量x_i，其输入便是相应的x._i；然后，由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程。

【例1-1】 系统框图如图1-6（a）所示，输入为u，输出为y。试求其状态空间表达式。

解 首先，传递函数

其模拟结构图如图1-6（b）所示。系统的模拟结构图如图1-6（c）所示。

图1-6 系统框图及模拟结构图

由图可知

写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为

对于含有零点的环节，如图1-7（a）所示的系统，可将其展开成部分分式，即，从而得到等效框图如图1-7（b）所示，模拟结构图如图1-7（c）所示。由图可得系统的状态空间表达式为

顺便指出，还可以展开为

其模拟结构图如图1-7（d）所示。

同理，可以写成

图1-7 系统框图及模拟结构图

或

对于系统中包含二阶振荡环节的情况，以如图1-8（a）所示的例子进行说明。

首先把系统各环节的传递函数化为最简形式的组合，这里主要讨论如何把二阶振荡环节化成一阶环节的组合形式，即

式中，k₀=k/a₀。

若将上述二阶标准传递函数G（s）看做是一单位反馈闭环结构的闭环传递函数，则其前向通道的传递函数应为

于是二阶振荡环节的单位反馈闭环结构有如图1-8（b）所示的形式。这样原结构图可化为由最简形式的各环节传递函数构成的结构图如图1-8（c）所示。

图1-8 含有二阶振荡环节的系统框图及其框图变换

选各一阶环节输出为状态变量：

将上式进行拉普拉斯反变换得

系统的输出方程为

写成矩阵形式为

本算例中，对于传递函数也可以直接按1.2节的方法画出模拟结构图，但状态变量会不同。

1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式

一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、液压、气动、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，也很容易写出系统的输出方程。

【例1-2】 RLC电路如图1-9所示，图中，电源电压u为输入，电容电压u_C为输出，试写出此网络的状态空间表达式。

图1-9 RLC电路图

解 此网络是一个二阶系统，有两个独立储能元件，以电感L中的电流i_L和电容C上的电压u_C作为状态变量，即令

根据基尔霍夫定律写出

经整理得

最后，得到状态空间表达式为

【例1-3】 如图1-10所示的机械运动模型中，m₁、m₂为质量块（同时也为质量），k₁、k₂为弹簧，也为弹性系数，f是阻尼器，列写出在外力F作用下，以质量块m₁和m₂的位移y₁和y₂为输出的状态空间表达式。

图1-10 机械运动模型图

解 弹簧k₁、k₂，质量块m₁、m₂是储能元件，故弹簧的伸长度为y₁、y₂，质量块m₁、m₂的速度v₁、v₂可以选作状态变量。由结构图可以直接看出，它们是相互独立的。若

根据牛顿定理，对于m₁，有

对于m₂，有

把x₁=y₁ ，x₂=y₂ ，及u=F代入上面两个式子，经整理可得

写成矩阵形式为

指定x₁、x₂为输出，故有

【例1-4】 试写出如图1-11所示的机械旋转运动模型的状态空间表达式。图中，k为扭转轴的刚性系数，J为转动惯量，f为粘性阻尼系数，T为施加于扭转轴上的力矩。

图1-11 机械旋转运动模型

解 选择扭转轴的转动角度θ及其角速度ω为状态变量，并令

于是有

根据牛顿定理

即

从而有

指定x₁为输出，则

或者写成

【例1-5】 图1-12是直流他励电动机的示意图。图中，R、L分别为电枢回路的电阻和电感，J为机械旋转部分的转动惯量，f为旋转部分的粘性摩擦系数。列写该图在电枢电压作为控制作用时的状态空间表达式。

图1-12 直流他励电动机示意图

解 电感L、转动惯量J是储能元件，相应的物理变量电流i及旋转速度ω是相互独立的，可选择为状态变量，即

则

由电枢回路的电路方程，有

由动力学方程，有

由电磁感应关系，有

式中，e为反电动势；K_a、K_b为转矩常数和反电动势常数。

把上面三个公式整理，改写成

把x₁=i，x₂=ω代入，有

若指定角速度ω为输出，则

若指定电动机的转角θ为输出，则上述两个状态变量尚不足以对系统的时域行为进行全面描述，必须增添一个状态变量x₃，即

则

于是状态方程为

输出方程为

1.4 状态空间表达式的建立（二）

已知系统的内部结构，很容易求得它的状态空间表达式，如1.3节所述。已知系统的状态空间表达式，也很容易求出它的外部描述——传递函数或运动方程式，后者将在1.6节中介绍。至于它的逆问题，即由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数，建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题。所求得的状态空间表达式既保持了原传递函数所确定的输入-输出关系，又将系统的内部关系揭示出来。这是一个比较复杂的问题，因为根据输入-输出关系求得的状态空间表达式并不是唯一的，会有无穷多个内部结构能够获得相同的输入-输出关系。这个问题将在1.5节中讨论。

尽管实现是非唯一的，但只要原系统传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现零极点对消，则n阶系统必有n个独立状态变量，必有n个一阶微分方程与之等效，系统矩阵A的元素取值虽各有不同，但既为一个系统的实现，其特征根必是相同的。通常把这种没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现。本节仅讨论最小实现问题。

1.4.1 传递函数中没有零点时的实现

在这种情况下，系统的微分方程为

相应的系统传递函数为

1.能控标准Ⅰ型

如前所述，式（1-18a）和式（1-18b）的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图（图1-13）导出。这种由中间变量到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一种最易求得的结构形式。

图1-13 系统模拟结构图

将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出 y（或y/b₀ ）的各阶导数。至于每个积分器的输入，显然就是各状态变量的导数。顺便指出，相变量即相位变量，是一组特殊的状态变量，由系统的某个变量及其一阶导数直到n-1阶导数所构成，相变量一般不是物理变量。

从图1-13容易列出系统的状态方程为

输出方程为

表示成矩阵形式为

顺便指出：

（1）当矩阵A具有式（1-19）的形式时，称为友矩阵。友矩阵的特点是，主对角线上方的元素均为1，最后一行的元素为特征多项式系数的负值，而其余元素均为零。

（2）形如式（1-19）的状态空间表达式，称为能控标准Ⅰ型。这里，能控标准Ⅰ型的特点是，A为友矩阵；矢量b最后一个元素为1，其余元素均为0。关于能控标准型，详见第3章。

2.能观标准Ⅰ型

若将图1-13中的输出y前面的b₀移至加法器前面，则该模拟结构图对应的传递函数是不变的。此时，系统的状态方程为

输出方程为

表示成矩阵形式为

顺便指出，形如式（1-20）的状态空间表达式，称为能观标准Ⅰ型。这里，能观标准Ⅰ型的特点是，A为友矩阵，矢量c第一个元素为1，其余元素均为0。关于能观标准型，详见第3章。

【例1-6】 系统的输入-输出微分方程为

列写其状态方程和输出方程。

解

1）能控标准Ⅰ型

选y/6、y./6、.y./6为状态变量，即

可得

写成矩阵方程

输出为

2）能观标准Ⅰ型

选y、y.、.y.为状态变量，即

可得

写成矩阵方程

输出为

1.4.2 传递函数中有零点时的实现

此时，系统的微分方程为

相应地，系统传递函数为

这种包含输入函数导数情况下的实现问题，与上述实现的不同点主要在于选取合适的结构使得状态方程中不包含输入函数的导数项，否则将给求解和物理实现带来麻烦。

为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推广到n阶系统。

设待实现的系统传递函数为

1.能控标准Ⅰ型

因为n=m，式（1-22）可变换为

令

则

对上式求拉普拉斯反变换，可得

据此可得系统模拟结构图，如图1-14所示。

图1-14 系统模拟结构图

每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统状态空间表达式为

或表示为

推广到n阶系统（m=n），式（1-22）的能控标准Ⅰ型实现，可以为

它的状态方程与式（1-19）是相同的，所不同的只是输出方程。注意到这个差别，就很容易根据式（1-24），由传递函数中分子分母多项式的系数，写出系统的状态空间表达式。对于式（1-24），若m＜n，则至少b_n =0，于是，c=[b₀ b₁ …b_n-1 ]，d=0。

2.能观标准Ⅰ型

前面已经提到，实现是非唯一的。仍以三阶系统出发，以式（1-22）的传递函数为例，图1-15与图1-14相比，从输入-输出的关系看，二者是完全等效的。从图1-15可以看出，输入函数的各阶导数作适当的等效移动，可以用图 1-16（a）表示，只要β₀，β₁，β₂，β₃系数选择适当，从系统的输入-输出看，二者是完全等效的。将综合点等效地移到前面，得到等效模拟结构图如图1-16（b）所示。

图1-15 系统模拟结构图

从图1-16（b）容易求得其对应的传递函数为

图1-16 系统模拟结构图

为求得β_i，令式（1-25）与式（1-22）相等，通过对s多项式系数的比较，得

故得

为便于记忆，可将式（1-26）写成式（1-27）的形式，即

将图1-16（a）的每个积分器输出选作状态变量，得到这种结构下的状态空间表达式为

即

扩展到n阶系统，其状态空间表达式为

式中

或记为

【例1-7】 已知系统的输入-输出微分方程为

试列写其状态空间表达式。

解 由微分方程系数知

1）能控标准Ⅰ型

根据式（1-24）直接写出状态方程和输出方程为

2）能观标准Ⅰ型

首先根据式（1-30）的计算公式求出

按式（1-29）直接写出状态方程和输出方程分别为

值得注意的是，这两种方法所选择的状态变量是不同的。这一点可以从它们的模拟结构图（图1-14和图1-16（a））中很清楚地看到。

1.5 状态矢量的线性变换（坐标变换）

1.5.1 状态空间表达式的非唯一性

对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换（或称坐标变换）。

设给定系统为

总可以找到任意一个非奇异矩阵T，将原状态矢量x作线性变换，得到另一状态矢量z，设变换关系为

即

有

得到新的状态空间表达式为

很明显，由于T为任意

....