书名：电磁场与电磁兼容pdf/doc/txt格式电子书下载

推荐语：

作者：解仑,李一玫等编

出版社：电子工业出版社

出版时间：2012-06-01

书籍编号：30466981

ISBN：9787121175183

正文语种：中文

字数：97358

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：电磁场与电磁兼容

作者：解仑　李一玫

ISBN：9787121175183

版权所有 · 侵权必究

前言

随着科学技术的进步，电磁环境日趋复杂，电磁干扰及电磁防护问题日益突出。为了把国内外的技术和学术进展、精辟的见解和分析传播给学生，需要一本新的适用于电子、通信类专业的电磁理论基础课教程，以便使经典理论联系现代的实际。

本书的编写一方面特别注重理论的严密和完整，另一方面也注重讲清概念的物理本质，联系工程实际；通过打好理论基础，增强学生的广泛适应性。编写的思路和所做的工作主要如下：在讲解“场”的内容时首先加强场论的阐述，使之更加严密和条理化，特别是深入浅出、形象化地讲明学生往往感到抽象的概念和定理的物理含义；注重基本概念，强调矢量微分算子这一工具的使用。

静电场的讲法是以场论为纲从数学上概括物理的场，而电场与磁场则作为场论的物理实例；同时在场论的亥姆霍兹定理一节（1.6.3节）便提出了宏电磁场基本方程，强调指出了电场与磁场的不可分割，因而每种静态场又是统一的时变电磁场的特例，同时也把静态场同准静态场的模型进行了比较。而为了便于学习，减少困难，仍然按静电场（第2章）、恒定电场（第3章）、恒定磁场（第4章）的顺序分别介绍，并把第3、4章与第2章对应地介绍。第5章在总结静态场基本方程的基础上进而导出了时变场的基本方程——麦克斯韦方程组，并对其限定形式做了阐述。第6章介绍了电磁兼容的基本概念和基础理论，对电磁干扰三要素和电磁骚扰源进行了分析。第7章介绍了电磁干扰滤波器的工作原理与分类，以及一些常用的滤波元器件，并结合实际应用阐述了滤波器的正确选用与安装。第8章总结了编者在长期的电路设计工作中的经验，论述了PCB的电磁兼容设计的原则、干扰消除、抗串扰和PCB接地技术，详细介绍了常见元件的分布参数模型。

本书是编者基于多年教学和科研工作实践，吸收了一些最新的研究成果和工程经验，以原有的本科教学讲义和培训教材为基础编写完成的。本书配有习题解答和教学用PPT相关资料，可在华信教育资源网（www.hxedu.com.cn）下载。本书主要由李一玫、解仑、王先梅编写，胡雪、刘欣、许家铭、弓飞、彭晓兰、吕振、闫纪铮、霍磊等参加了部分章节的文字整理工作。

由于电磁内容所涉及的技术领域和服务对象范围非常广，相关的理论和技术发展迅速，加上作者水平有限，因而书中难免存在不妥之处，诚恳欢迎批评、指正。

第1章 矢量分析及场论

矢量分析是研究场论的重要数学工具，它以矢量代数为基础，以矢量微积分为主要研究内容，是专门应场论的研究而生的一种数学语言。利用这种语言，可以把千百年来人类观测电磁效应所得出的规律，用简洁明快的符号精确地表述出来。这样做不仅可以使电磁理论系统化，还便于我们对其深刻理解和应用，从而有利于进一步的深入研究和探索。场论是把各种物理的场在数学上抽象成矢量场和标量场来研究，它不仅可以使我们对电场、磁场的认识升华一步，也是进入连续媒质力学（流体、固体力学）、量子力学、热传导、质量传递等领域的数学基础。

1.1 矢量场和标量场

什么是场?在数学上，一个场就是一个函数；在物理上，场描述在空间某一区域内所有点上的一个物理量（称为场量）。因此，场的重要属性，一是占有一定的空间，二是可以表达成函数形式，并且，除去有限个点、线、面外，场量应处处连续、可微。

1.1.1 场的分类

按照场量在空间是否具有方向，场可分为标量场和矢量场。

标量场的场量是标量，即场域内每个点对应的物理量是一个数。如温度场、密度场、电位场等，都是常见的标量场。

矢量场的场量是矢量，即场域内每个点对应的物理量必须同时用大小和方向来描述。如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场等，都是矢量场。

按照场量是否随时间变化，场又可分为静态场和时变场。

静态场的场量不随时间变化，也称时不变场，可分为静态标量场和静态矢量场。本书将在第2、3、4章分别讨论由静止电荷产生的静电场和恒定电流产生的恒定电场及恒定磁场。

时变场的场量随时间变化，也称动态场，可分为时变标量场和时变矢量场。本书将在第5章讨论有关时变电磁场的理论。

1.1.2 场的表示方法

1.函数表示法

标量场用标量函数表示，如温度场可表示为T（x，y，z）（静态场），密度场可表示为ρ（x，y，z，t）（时变场）。

矢量场用矢量函数表示。本书中所有矢量均用黑体字表示，如电场强度 E=a_EE，其中，a_E表示E方向上的单位矢量，，E表示E的模值，即E=|E|。矢量运算往往在某一坐标系中进行。在正交坐标系中，一个矢量（场）可以分解为沿着三个坐标轴的分量，如在直角坐标系中，有

而模值

应该注意的是，单位矢量仅仅表示其模值为1，若其方向固定不变，即为常矢量，其导数为零；若其方向随某变量而变化，则仍是矢量函数，求导时应按函数进行求导。如

2.场图表示法

标量场可用等值线（二维）或等值面（三维）来表示场的分布情况。等值面就是函数值相等的点所构成的曲面，如标量场u（x，y，z）=x+y+z的等值面方程为

这是一族平行平面，如图 1-1（a）所示。又如二维标量场u（x，y）=x-y²的等值线方程为

这是一族抛物线，如图1-1（b）所示。

矢量场在空间的分布可用矢线来表示。矢线上每一点的切线方向表示该点场量的方向，场量的大小则用矢线的疏密程度来表示，矢线密集处表示场量的模值大，矢线稀疏处表示场量的模值小，也就是说，可用垂直穿过单位面积的矢线根数来表示矢量场的大小，如图1-1（c）所示。

对于时变场，场图只能表示每一时刻的场的分布。

图1-1 标量场和矢量场

1.1.3 矢量运算

本节将用到矢量的加减法、矢量的数乘、矢量的点乘和叉乘及矢量的微积分，其中矢量的微积分运算是重点和难点，将在后面几节重点介绍。

矢量加法 两矢量 A 和 B 相加，可采用平行四边形法则或三角形法则，如图 1-2所示，使两矢量A和B的始端重合，以A和B为邻边做平行四边形，其对角线即为和矢量C=A+B；或通过平移将A矢量的末端和B矢量的始端相接，则连接A首B尾的有向线段即为和矢量。

可以证明，矢量加法服从加法的交换率和结合率，即

矢量减法 矢量差D=A-B，可写成矢量和的形式，即D=A+（-B），其中-B是与B大小相等方向相反的矢量，于是可利用平行四边形法则或三角形法则做加法运算，如图1-3所示。

图1-2 矢量加法

图1-3 矢量减法

矢量的数乘 一个矢量A和一个标量k相乘，结果是一个矢量，即

当k＞0时，B和A方向相同，当k＜0时，B和A方向相反，两种情况都称矢量B和矢量A平行；而B的模值是A的|k|倍。

两矢量的标量积 两矢量的标量积也称为点积或点乘，写做A.B，定义其运算结果为标量，即

其中，θ为矢量A和B之间的较小夹角，如图1-4所示。

图1-4 两矢量的标量积

特别地，若A是单位矢量a_A，则

称为矢量B在矢量A方向的分量（标投影），而

称为矢量B在矢量A方向的分矢量（矢投影）。利用式（1.1.10）和式（1.1.11）可写出一个矢量在正交坐标系中沿三个相互垂直的坐标方向的标投影和矢投影。例如，在直角坐标系中，若矢量r与x、y、z坐标轴的夹角分别为α、β、γ，则r在x、y、z坐标轴上的分量分别为

r.a_x =r cosα、r.a_y =r cosβ和r.a_z =r cosγ，于是r在直角坐标系中即可表示为

r的单位方向为

其中，cosα、cosβ和cosγ称为方向余弦。

式（1.1.9）也可用来求出两个非零矢量之间的夹角

当θ=90°时，A.B=0，因此，两矢量的标量积是否为零可作为两矢量是否垂直的判据。即

当B=A时，θ=0°，可求出矢量的模

标量积的运算服从

交换律：

分配律：

两矢量的矢量积 两矢量的矢量积也称为叉积或叉乘，写做A×B，定义其运算结果为矢量，其方向垂直于矢量A和B所构成的平面，且指向由矢量A经A、B间较小夹角按右手螺旋转向B时右手拇指所指的方向，如图1-5所示；其大小为A、B的模值与它们之间较小夹角的正弦之积。即

图1-5 两矢量的矢量积

若以A、B为邻边做平行四边形，可看出矢量积的模值即是该平行四边形的面积。式（1.1.18）也可用来求两矢量间的夹角，但不如式（1.1.13）计算方便。不过，当θ=90°时，若A、B的单位矢量分别为a_A、a_B，则其所构成平面的法线方向可直接用叉乘来表示：

当θ=0°或180°时，A×B=0。因此，两矢量的矢量积是否为零矢量可作为两矢量是否平行的判据。即

当B=A时，θ=0°，于是

矢量积的运算服从分配律，但不服从交换律：

三矢量的混合积 三个矢量A、B、C的混合积定义为

其中，θ是矢量A、B间的夹角，φ是矢量C与（A×B）间的夹角。从标量积和矢量积的定义来看，三矢量的混合积表示以这三个矢量为邻边的平行六面体的体积，如图1-6所示。

图1-6 混合积

可以证明，当运算符号不变，三矢量循环变换次序（向左或向右）时，混合积的结果不变，即

三矢量的二重矢量积 三个矢量 A、B、C 的二重矢量积定义为按照顺序或优先级别做两次叉乘运算，如A×B×C或A×（B×C），可以证明二重矢量积不满足结合律，但满足下面的恒等式。

本节思考与练习

1.1 下列物理量哪些是矢量，哪些是标量?

（1）重量；（2）频率；（3）功；（4）速率；（5）电压；（6）动量；（7）能量；

（8）距离；（9）磁场强度；（10）电场力

1.2 画出下列矢量场的图形及其模值的等值线：

（1）v（x，y）=a_xx+a_yy；（2）v（x，y）=-a_xx-a_yy

1.3 已知xa+yb=0，证明：若ab不共面，则x=y=0。

1.4 若O为三角形ABC内任一点，且P、Q、R分别为AB、BC、CA的中点。

（1）证明OA+OB+OC=OP+OQ+OR；

（2）若O在三角形外部，上述结果是否成立?证明之。

1.5 化简（A+B）.（B+C）×（C+A）。

1.2 正交曲线坐标系

矢量运算定义了矢量之间的加减法和乘法运算规则，通过一般意义上的作图运算，我们可以直观地了解各种矢量运算的结果和意义。但当各种运算交织在一起，运算过程较复杂时，就需要在选定的坐标系中用数学的方法将矢量分解成三个相互垂直的分量来处理，坐标系的选择应以矢量在该坐标系中分解的分量数最少为宜，这样可以减小运算量。本节介绍最常见的三种正交坐标系：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。

正交坐标系中的基本概念：三张正交的曲面称为坐标面，它们相交出三条正交的曲线称为坐标轴。坐标轴上不同位置的识别用坐标变量来表示，坐标变量可以是长度，也可以是角度。坐标轴的方向指向该坐标变量增加的方向，该方向也是坐标变量取任意常数时所得到的相应坐标面的法线方向。坐标轴的交点即为坐标原点。

1.2.1 直角坐标系

直角坐标系由三张正交的平面——x坐标面（yOz面）、y坐标面（xOz面）和z坐标面（xOy面）相交成三条正交的直线——x轴、y轴和z轴，它们的正方向分别用单位矢量a_x、a_y和a_z来表示，它们都是常矢量。

空间任意一点的位置P（x，y，z）可用由原点指向P点的位置矢量r来表示，如图1-7所示，位置矢量在三个坐标轴上的标投影分别是x，y和z，矢投影分别是a_xx，a_yy和a_zz，于是位置矢量可表示为

图1-7 直角坐标系

类似地，若矢量函数A（x，y，z）在任意点的标投影分别为A_x（x，y，z），A_y（x，y，z）和A_z（x，y，z），则可表示为

矢量加减法 若矢量A和B表示为

则

矢量乘法 由于三个单位矢量相互正交，任意两个点积为

或

利用以上两式结果和乘法分配律，矢量A和B的点积

矢量A的模值

三个单位矢量a_x、a_y和a_z之间呈右手螺旋关系，其叉积为

利用以上两式结果和乘法分配律，矢量A和B的叉积

上式结果还可以很方便地写成行列式的形式

注意，上式只是为了方便记忆借用了行列式的形式，并不具有行列式的性质，因此只能按照第一行展开。

三矢量的混合积也可写成行列式的形式

1.2.2 圆柱坐标

圆柱坐标系保留了直角坐标系的z坐标面，组合了平面极坐标（ρ，φ），空间任一点记做P（ρ，φ，z），其中ρ是点P到z轴的垂直距离，也即位置矢量r在xOy平面上的投影，ρ∈[0，+∞），单位矢量a_ρ向外指向ρ增加的方向，ρ坐标面是半径ρ为常数的圆柱面；φ是点P的位置矢量r在xOy平面上的投影与正x轴之间的夹角，φ∈[0，2π]，规定P点反时针转时φ角增大，单位矢量a_φ指向圆柱坐标面与z坐标面相交出的圆的切线方向，φ坐标面是φ角为常数且过z轴的半平面，如图1-8所示。

图1-8 圆柱坐标系

从图中可以得出圆柱坐标和直角坐标变量之间的关系，有

位置矢量可表示为

而三个单位矢量a_ρ、a_φ和a_z之间呈右手螺旋关系，因此其叉积为

应该注意的是，a_ρ和a_φ的模值都是1，但方向却随φ角的不同而变化，因此不是常矢量，而是φ的函数。

圆柱坐标系中任意一点处两个矢量 A 和 B 的加、减、乘等运算与直角坐标系相类似。事实上，在正交坐标系中，若将三个正交的单位矢量分别用 a₁、a₂和 a₃表示，矢量 A、B 写为A=a₁A₁+a₂A₂+a₃A₃和B=a₁B₁+a₂B₂+a₃B₃，则矢量运算可用下列通式来表示：

单位矢量的坐标变换 将空间任意一点投影到 xOy 平面上，单位矢量 a_ρ、a_φ沿 x和y轴分解及a_x、a_y沿ρ和φ轴分解示意图如图1-9所示，从图中可见

和

图1-9 单位矢量的分解

单位矢量的导数 式（1.2.23）显示，单位矢量a_ρ和a_φ是坐标φ的函数，其导数

矢量的坐标变换 同一个矢量A在不同的坐标系有不同的表达式，它在各个坐标系中的投影也不相同。在圆柱坐标中，矢量A表示为

它在直角坐标系中的投影

类似的方法可以得到

1.2.3 球坐标

球坐标系保留了圆柱坐标的φ坐标面，组合了位置矢量r 及其与正z轴的夹角θ，空间任一点记做P（r，θ，φ），其中变量r是坐标原点到点P的距离，r∈[0，+∞），单位矢量a_r指向r增加的方向，r坐标面是半径r为常数的球面；变量θ是点P的位置矢量r与正z轴之间的夹角，规定P点与+z轴重合时θ为零，P点向-z轴旋转时θ角增大，θ∈[0，π]，单位矢量a_θ指向φ坐标面（半平面）与r坐标面（球面）相交出的半圆的切线方向，θ坐标面是θ角为常数所形成的以z轴为轴线的圆锥面，如图1-10所示。

图1-10 球坐标系

从图1-10中可得出球坐标与直角坐标的关系：

位置矢量在球坐标系中的表达式最为简单，即

而三个单位矢量a_r、a_θ和a_φ之间呈右手螺旋关系，因此其叉积为

从图1-10可以看出，这三个矢量的方向都随θ和φ而变化，因此它们不是常矢量，而是θ和φ的函数。

球坐标系中任意一点处两个矢量A和B的加、减、乘等运算与直角坐标和圆柱坐标相类似，参看式（1.2.18）～式（1.2.22）。

单位矢量的坐标变换 将空间任意一点处的单位矢量a_r、a_θ和a_φ沿x、y和z轴分解，如图1-11所示（a_φ的分解同圆柱坐标），可得

图1-11 单位矢量的分解

单位矢量的导数 式（1.2.33）显示，单位矢量a_r和a_θ是坐标θ和φ的函数，a_φ是坐标φ的函数，其偏导数

矢量的坐标变换 在球坐标中，矢量A表示为

它在圆柱坐标系和在直角坐标系中的投影分别为

和

1.2.4 长度、面和体的微分元及积分

微积分是学习电磁场必备的数学工具，在某一坐标系下要完成线、面、体积分的计算，首先要了解长度、面、体微分元是如何构成的。

一、长度、面和体的微分元

设正交坐标系中一点P沿任意方向位移了一小段微分距离dl 到达Q点，则P点的三个坐标面与Q点的三个坐标面围成一个微分六面体，该六面体的两个顶点PQ之间的距离矢量dl称为矢量线元；考虑到六个微分面不同的纵横位置，以垂直于面元的法线方向（坐标轴方向）定义其面元方向，则面元与其法线方向的乘积a_idS=dS称为矢量面元；该微分六面体所围成的体积dτ即为体积元。下面分述在三种坐标系中这些微分元的具体表达。

直角坐标系 如图1-12所示，从P到Q的矢量线元dl在x、y、z轴上的投影分别是dx、dy和dz，因此可写为

对应坐标面的微分面元分别为

由于任意的矢量面元dS在直角坐标系中向三个坐标面的投影即是这三个标量面元，因此有

体积元则是三条边的乘积

图1-12 直角坐标系中的微分元

圆柱坐标系 如图1-13所示，矢量位移dl在圆柱坐标系中引起的坐标变量的变化分别是dρ、dφ和dz，而dl在ρ、φ、z轴上的投影也即所构成微分六面体的边长分别是dρ、ρdφ和dz，因此矢量线元可写为

对应坐标面的微分面元分别为

任意的矢量面元dS可写为

体积元是三条边的乘积

图1-13 圆柱坐标系中的微分元

球坐标系 如图1-14所示，矢量位移dl在球坐标系中引起的坐标变量的变化分别是dr、dθ和dφ，而dl在r、θ、φ轴上的投影也即所构成微分六面体的边长分别是dr、rdθ和rsinθdφ，因此矢量线元可写为

对应坐标面的微分面元分别为

任意的矢量面元dS可写为

体积元是三条边的乘积

图1-14 球坐标系中的微分元

为便于记忆，分析一下坐标变量的微分元与长度元之间的关系，从图1-12至图1-14中可以看出，坐标微分元dx、dy、dz、dρ和dr都是长度元，而dθ和dφ是角度元，它们对应的长度元（其他坐标变量保持不变，仅由角度变化所划出的弧长）分别是ρdφ（圆柱坐标）、rdθ和rsinθdφ（球坐标），若设正交坐标系的三个坐标变量分别用u₁、u₂和u₃来表示，并定义长度元dl_i与对应的坐标变量微分元du_i之间的比值为度量系数h_i（i=1，2，3），即

则对任一个正交坐标系，只要知道了度量系数，即可写出

其中，

直角坐标系中

圆柱坐标系中

球坐标系中

二、线积分、面积分和体积分

从数学上讲，积分就是求和。在表达电磁场的基本定律时，用场量在区域中的线积分、面积分和体积分来描述各个定律将使电磁场的基本规律更加明确和方便阐述。现在简单讨论本书将要用到的有关线积分、面积分和体积分的概念。

线积分 连续单值函数f（x）在区间（a，b）的线积分用求和极限表示为

式中，f_i是f（x）在线段Δx_i（Δx_i→0）上任意一点的函数值。该积分的几何意义是曲线f（x）、直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积或面积的代数和，如图1-15所示。

图1-15 连续单值函数

连续单值矢量场A（r）沿有向路经C从点P₁到P₂的标量线积分定义为

若矢量场A（r）是力场F（r），则该积分的物理意义表示力F沿曲线路径C所做的功。在正交坐标系中

若路径是闭合的有向曲线，即P₁、P₂点重合，则

称为矢量场A沿环路C的环量，也称做环流。

除了式（1.2.54）和式（1.2.55）定义的线积分外，还有三种线积分类型，即∫_l A（r）dl、∫_l f（r）dl和∫_l A（r）×dl，定义与前两种类似。显然，这三种积分的结果都是矢量。

例1.1 求矢量场A=a_x x²+a_y y²+a_z z²沿着xy面上的一个闭合路径C的曲线积分，C由（0，0）和（2，之间的一段抛物线y ²=x和两段平行于坐标轴的直线段组成，如图1-16所示。

图1-16 例1.1闭合路径C

解 因为回路在xy平面上，dz=0，故有

因闭合路经分段连续，所以，线积分应分段进行

式中，第一项积分段是y=0 的直线，仅对x从0积到2；第二项积分段是x=2直线，仅对y从0积到；第三项积分段是y ²=x的曲线，计算关于x或y的积分均可，如选取关于x的积分，则将y ²=x代入式中，由于

于是

例1.2 求矢量场a_z z沿着z平面上的一个闭合路径C的曲线积分，

（1）C由半径为2的圆组成

（2）C由半径分别为2和4的圆在第一象限与坐标轴围成的回路组成，如图1-17所示。

图1-17 例1.2闭合路径C

解 圆柱坐标线元矢量dl=a_ρdρ+a_φρdφ+a_zdz，因回路在z平面上，dz=0，故

（1）沿ρ=2的圆的逆时针路径

沿ρ=2的圆的顺时针路径

（2）沿图1-17所示的路径，

设以上两例中的矢量场是力场，可以这样解释环量的物理意义：当A.dl＞0时，矢量场的方向和路径的方向总体一致，矢量场做正功；当A.dl＜0时，矢量场的方向和路径的方向总体相反，矢量场做负功；当A.dl=0时，矢量场不做功或所做正功和负功的代数和为零。

面积分 前面我们定义面元矢量为面元的面积与其法线方向的乘积，但是通常一个面元及至一张曲面都是双侧的，如有上侧和下侧之分，或左侧和右侧之分等；一张包围某一空间区域的闭合曲面，也有外侧和内侧之分。这里我们约定：（1）对开表面，与其边界（必是一闭合曲线）的环绕方向呈右手螺旋关系的一侧的法线方向为矢量面元的方向；（2）对闭合面，取其外法线方向为矢量面元的方向，如图1-18所示。

图1-18 曲面的方向

与矢量场的标量线积分的定义类似，连续单值矢量场A（r）对开表面S的标量面积分定义为

式中，A_i是A（r）在ΔS_i（ΔS_i→0）上任意一点的矢量。

若矢量场A（r）是水的流速场v（r）（m/s），则该积分的物理意义表示水流v（r）在单位时间内穿过曲面S（m²）的流量（m³/s）。通常，我们把式（1.2.58）称做矢量场A穿过曲面S的通量。当通量大于零时，表示矢量场的方向与面积方向总体一致；当通量小于零时，表示矢量场的方向与面积方向总体相反，如图1-19所示。

图1-19 开表面的通量

在正交坐标系中，

连续单值矢量场A（r）对闭合面S的通量对电磁场的研究至关重要，记为

我们以矢量线的分布与闭合面的通量的关系来解释通量的物理意义。矢量场中规定矢量线的画法是每根线代表单位面积的通量，因而穿过某曲面S的矢线越多表示通量越大。当A（r）.dS＞0时，表示穿出闭合面的矢量线根数比穿入闭合面的矢量线根数多，因而闭合面内一定有矢量线的起始点；当A（r）.dS＜0时，表示穿入闭合面的矢量线根数比穿出闭合面的矢量线根数多，因而闭合面内一定有矢量线的终止点；当A（r）.dS=0时，表示穿入闭合面和穿出闭合面的矢量线根数相等，闭合面内或者没有矢量线的起始点，或者在闭合面内起始的矢量线根数相等，如图 1-20 所示。综上所述，式（1.2.58）表示矢量场A穿出闭合面S的净通量。

图1-20 闭合面的通量

除了通量积分和标量面积分∫_S f（r）dS之外，还有三种面积分类型，即∫_S f（r）dS、∫_S A（r）dS和∫_S A（r）×dS，定义方式与前两种类似。显然，这三种积分的结果都是矢量。

例1.3 证明dS=0。其中S是半径为b的球面。

证 球面的外法向是球坐标的a_r方向，因此

因为单位矢量a_r是θ和φ的函数，应将其用直角坐标来表示。由式（1.2.33a），有

于是

实际上，也可将a_r变换成圆柱坐标来计算，即

式中的a_ρdφ=0，既可以用直角坐标来证明，也可以用几何方法直观地理解，因为

例1.4 已知矢量场A=a_ρ（e^-αρ/ρ）+a_z cosπz，α为常数。有一个以z轴为轴线、半径为2的单位长度的圆柱面与z=0、z=1的平面构成的闭合面S，求A穿过S的通量。

解 此闭合面由三部分光滑曲面构成，如图 1-21 所示，其中，圆柱侧面的面元矢量dS_ρ=a_ρρdφdz，上底面（z=1）的面元矢量dS_z =a_zρdφdρ，下底面（z=0）的面元矢量dS_z =-a_zρdφdρ。于是

例1.5 计算面积分.dS，其中S是半锥角为θ的圆锥面在半径为a的球面上割出的球冠面积，如图1-22所示。

图1-21 例1.4图

图1-22 例1.5图

解

特别地，当θ=π时，cosθ=-1

该结论可推广到任意闭合面。

体积分 体积分的定义与线积分和面积分类似，先将给定体积划分成n个小体积元，每个体积元乘以该体积元内任意一点的标量函数f（r）或矢量函数A（r），将这些乘积求和后再取极限，得到标量场的体积分和矢量场的体积分的定义式如下：

例1.6 半径为a的球内充满体密度（r）0的电荷，其中ρ₀为常数。求球体内的总电量Q。

解 对球体积积分，采用球坐标的体积元dτ=r ² sinθdrdθdφ，于是总电量

本节思考与练习

1.6 求连接点（1，3，2）与（3，5，1）的直线与坐标轴所成的锐角。

1.7 在圆柱坐标系中描述下列轨迹，并写出其直角坐标方程：

（1）ρ=4，z=0；（2）ρ=4；（3）φ=π/2；（4）φ=π/3，z=1。

1.8 用球面坐标表示下列轨迹：

（1）球x²+y²+z²=9；（2）抛物面z=x²+y²；（3）圆锥z² =3（x²+y² ）；

（4）平面z=0；（5）平面y=x。

1.9 已知A=（3x2+6y）ax-14yzay+20xz2az ，求∫C A.dl由（0，0

....