书名：我引领数学风暴：超喜欢的趣味数学书（初中2年级）pdf/doc/txt格式电子书下载

推荐语：

作者：佟妲,邢书田,邢治

出版社：电子工业出版社

出版时间：2013-07-01

书籍编号：30467341

ISBN：9787121203862

正文语种：中文

字数：36518

版次：1

所属分类：教材教辅-中小学

版权信息

书名：我引领数学风暴：超喜欢的趣味数学书（初中2年级）

作者：佟妲　邢书田　邢治

ISBN：9787121203862

版权所有 · 侵权必究

编者的话

本套丛书参照九年制义务教育初中数学教学大纲，在初中代数和初中几何的教学要求框架下编写。它涵盖算术趣题、代数趣题、几何趣题、组合趣题、数论趣题、图论趣题、概率趣题、分割趣题、博弈趣题和逻辑趣题等趣味数学各个领域。趣题详解集知识性、趣味性、娱乐性于一体，最大限度地满足初中学生乃至所有数学爱好者对数学学习的向往。

正如古希腊人所说，人类知识殿堂是由两根柱子支撑的，一根是文学，一根是数学。教育的目的是教人智慧，数学令人“智”，文学使人“慧”；“智”是逻辑推理，“慧”是直觉顿悟。本套丛书是数学与文学的有机结合。

本套丛书具有重大教育学价值，趣题就是“聪明”的象征，兴趣刺激创造，创造获得成果。这一点将被更多的教师、家长、学生和所有数学爱好者所认识。正如曾获得国际性数学最高奖——“菲尔兹奖”的符拉基米尔·弗沃特斯基所说：“数学很美，数学很有趣，数学很有竞争性，它是世界上最聪明的人玩的游戏”。

本套丛书分三册：七年级、八年级和九年级。它让每一朵鲜花都绽开希望，让每一片绿叶都摇曳出生机！让每一位读者都站在数学的肩膀上开创未来！

本书编者

2013年5月

一、数学趣题

整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数 m/n（m，n 都是整数，且n≠0）的形式.从而有理数又称为分数.分数希腊文称为λoγo，原意为“成比例的数”（rational number）的意思，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”.

有理数可包括：

（1）整数：正整数、0和负整数.

（2）分数：正分数和负分数.

任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示.其中包括整数和通常所说的“分数”，此“分数”乃为有限小数或无限循环小数.

01.玩具猫之谜

两位美国专家去埃及参观金字塔.

一天，工程专家独自在街头闲逛，忽见一个老妇人在卖一只非常精致的玩具猫.标价是500美元.

那老妇人说：“这是自家祖传宝物，眼下只因孙子病重，无钱住院，才迫不得已拍卖的.”

专家用手掂了掂，猫体很重，全身黑色，像是黑铁铸成，一双眼炯炯有神，凭着他丰富的知识，断定这两只眼确实是两颗货真价实的珍珠.

工程师说：“我只买下两只猫眼，给你300美元，可以吗?”

老妇人同意了.

工程师高兴地回到宾馆，对同伴说：“我只花了 300 美元，便买下了这两颗硕大的珍珠.”

这位同伴是个逻辑学家，见这两颗大珍珠，少说也值上千美元.便问是怎么回事.

工程师如实地讲述了事情的经过.

听完了工程师的叙述后，逻辑学家二话没说，飞快地奔向街头.

一会儿工夫，逻辑学家拿着那没了双眼的黑猫回来了.

“多少钱?”工程师问.

“200美元.”逻辑学家答，“标价500美元，已卖了300美元，再给她200美元，卖主不是如愿以偿吗！”

工程师不禁嘲笑地说：“你真愚笨，这没了双眼的铁猫，怎么能值200美元呢?”

逻辑学家没说话，只是用手不停地掂量他的黑猫.

“上当了吧?”工程师仍不停地说三道四.

逻辑学家胸有成竹，态度从容，只是不说话.突然他灵机一动，拿出小刀，细心地刮着猫脚.当一层黑色脱落后，他一阵惊喜：“你瞧，我上当了吗?”工程师一见，惊得目瞪口呆，原来愚蠢的是自己，赚了大钱的却是逻辑学家.

你知道这是为什么吗?

解析：原来这只黑猫通体是用纯金铸造的.铸造这只金猫的主人，怕金身暴露，便用黑漆将猫身涂盖起来，外表酷似黑铁.

工程专家虽然知识渊博，能识别真假珍珠，可是他缺乏逻辑学家的思维艺术，分析、判断不全面、不深入.

在逻辑学家看来，玩具猫是个整体，既然猫眼是用珍贵的珍珠做成，那么猫体不会用黑铁这种不值钱的金属铸造，表面的颜色很可能是假象.事实证明逻辑学家的判断是正确的.

02.到底有哪些硬币

“请帮我把1美元的钞票换成硬币”.一位顾客提出这样的要求.

“很抱歉”，出纳员琼斯小组仔细查看了钱柜后答道：“我这里的硬币换不开”.

“那么，把这50美分的硬币换成小币值的硬币行吗?”

琼斯小组摇摇头，她说，实际上连25美分、10美分、5美分的硬币都换不开.

“你到底有没有硬币呢?”顾客问.

“噢，有！”琼斯小组说，“我的硬币共有1.15美元.”

钱柜中到底有哪些硬币?

注：1美元合100美分，小币值的硬币有50美分、25美分、10美分、5美分和1美分.

解析：如果琼斯小姐换不了1美元，那么她钱柜中的50美分硬币不会超过1枚.如果她换不了50美分，那么钱柜中的25美分硬币不会超过1枚，10美分硬币不会超过4枚，10 美分换不了，意味着她的5美分硬币不会超过1枚；5美分换不了，那么她的1 美分硬币不超过4枚，因此，钱柜中各种硬币数目的上限是：

50美分1枚 0.50

25美分1枚 0.25

10美分4枚 0.40

5美分1枚 0.05

1美分4枚 0.04

$1.24

这些硬币还够换1美元（例如，50美分和25美分各1枚，10美分2枚，5美分1枚），但是我们毕竟知道了钱柜中各种硬币的数目不可能比上面列出的更多，上面这些硬币加起来总共有1.24美元，比我们所知道的钱柜中的硬币总值1.15美元正好多出9美分.

现在，组成9美分的唯一方式是1枚5美分硬币加上4枚1美分，所以必须把这5枚硬币从上面列出的硬币中除去，余下的是1枚50美分、1枚25美分和4枚10美分的硬币.它们既换不了1美元，也无法把50美分或者25美分、10美分、5美分的硬币换成小币值的硬币，而且它们的总和正好是 1.15 美元，于是我们便得到了本题的唯一答案.

答：钱柜中的硬币总值为1.15美元.

03.巧运莱菔

一个商人骑一头驴要穿越1000千米长的沙漠，去卖3000根莱菔.已知驴一次可驮1000根莱菔，但每走1千米又要吃掉1根莱菔.问：商人最多可卖出多少莱菔?

注：莱菔，俗称萝卜.

解析：因为驴每次最多驮 1000 根，那么为了最大限度地利用驴，第一次卸下的地点应该是使莱菔的数量为2000根的地点.

因为一开始有3000根莱菔，驴必须要驮三次，设驴走x千米第一次卸下莱菔，

则：5x=1000（吃莱菔的数量，也等于所行走的千米数）

x=200，也就是说第一次只走200千米.

验算：驴驮1000根走200千米时剩800根，卸下600根，返回出发地.

前两次就囤积了1200根，第三次不用返回则剩800根，则总共是2000根莱菔了.

第二次驴只需要驮两次，设驴走y千米第二次卸下莱菔，

则：3y=1000，y=333.3

验算：驴驮1000根走333.3千米时剩667根，卸下334根，返回第一次卸莱菔的地点，第二次在途中会吃掉 334 根莱菔，到第二次卸莱菔地点是加上卸下的 334根，刚好是1000根.

而此时总共走了：200+333.3=533.3千米，而剩下的466.7千米只需要吃466根莱菔.

所以可以卖出莱菔的数量就是1000-466=534（根）.

答：商人最多可卖出534根莱菔.

04.汤姆赶牛

农夫汤姆要拉 4 头牛到对面的一个村子（对村）.4 头牛从本村到对村，大牛要走1小时，二牛要走2小时，三牛要走4小时，四牛要走5小时.现准备一次同时拉走两头牛，回来时还要骑回来一头牛，两头牛以走得慢的那头所需要的时间为正常时间.请问，你最少得花多少时间使4头牛从农夫所在的村子到对面的那个村子?

解析：三牛和四牛要同时走，因为以走得慢的牛所需的时间计算，只有这样才能有利于节省时间；另外，回来时要骑跑得快的牛，三牛和四牛根本不行，大牛最好.以此为原则，最好的办法就是：（1）把大牛和二牛牵到对村（2小时）；（2）骑上大牛，回到本村（1小时）；（3）把三牛和四牛牵到对村（5小时）；（4）骑上二牛，回到本村（2小时）；（5）最后把大牛和二牛牵到对村（2小时）.

答：4头牛从农夫所在的村子到对面的那个村子最少得花12小时.

05.站岗的士兵

下图的正方形表示一个城堡，四周 8 个小方格分别表示岗楼.士兵可在岗楼里站岗，每个岗楼最多可容纳 3 个士兵.现在要求城堡每边三个岗楼里站岗的士兵个数和是3，请给出一些不同的站岗方法，并画出图形.

解析：我们分析8个岗楼的特点，可以把它们分成两类，一类是位于角上的四个岗楼，站在这里面的士兵可以同时守卫两条边，像这样的岗楼我们称为“共享区”，其余四个岗楼我们称为“独享区”，我们在画图时，可以以共享区的人数由少到多考虑，各种站岗方案如下.

（1）共享区里一个人也没有：

（2）共享区只有一个人：

（3）共享区里有两个人：

（4）共享区里有3个人：

（5）共享区里有4个人：

（6）共享区里有5个人：

（7）共享区里有6个人：

06.净赢一美元

“小雨转雪”，气象员这样预报.其实这小雨并不小.“我们肯定出不去了.”吉姆一边抱怨一边环顾那些来参加他生日聚会的小伙伴们，“不如我们玩扑克牌游戏怎么样?”

扑克牌找来了，大家围坐在大桌子旁.

“上次是你一连赢了三局后停下来的，这不公平.”琼提醒他哥哥，“这次我们约定：要在每人都赢一次时才能停下来！”

“好吧！听我说，”吉姆宣布道：“每局游戏输的人每人要拿出5美分放在桌子上作为共有金，而胜者则可从中拿走25美分.最后一局胜的人将桌上的共有金全部拿走.”

这似乎是一个好主意，于是他们便开始玩起来.吉姆生日，运气极佳，他虽然只赢了一局，但却赢了最后一局，扣去前面输的，还净赢了 1 美元.试问：共有多少人参加游戏，他们共玩了多少局?

解析：假设有x人参加游戏，他们共玩y局.在最后一局之前的每一局，共有金增加量为：5（x-6）美分.于是，在最后一局开始时桌面上的共有金有 5（x-6）（y-1）美分.

而在最后一局前人共有金（5x-1）美分，此时桌面上的共有金为：

吉姆在前（y-1）局中输了（5 y-1）美分，但最后一局赢了，清扫了桌面上所有的共有金，而且净赢一美元.于是5（xy-6 y+5）-（5 y-1）=100，

因此（y x-7）=14，因为每个参加游戏的人都至少赢一次，所以y≥x，且x、y是整数，由此y=14，x-7=1，x=8.

答：共有8人参加游戏，他们一共玩了14局.

二、线段、角与平行线

射线只有一端有端点，另一端可无限延长；线段有 2 个端点，而 2 个端点间的距离就是这条线段的长度；直线除了“直”这个特点外，还有一个很重要的特点，那就是它可以向两个方向无限延伸，永远没有尽头，所以，直线是不可能度量的.因此，在画直线时，要画出没有端点的直线，表示可以无限延伸.

具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角（angle）.这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边.

锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角.

直角：等于90°的角叫做直角.

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角.

平角：等于180°的角叫做平角.

在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线.

平行性质可简单说成：

（1）两条直线平行，同位角相等.

（2）两条直线平行，内错角相等.

（3）两条直线平行，同旁内角互补.

（4）两条直线平行，外错角相等.

07.九树十行

春分艳阳暖，园中植树忙；每行栽三株，九株栽十行；种法有多样，请你试试看.

解析：这是一个常见的智力测验题，又称牛顿问题.在一般书刊上，这道题的答案只有一个对称图形，如图1所示.

图1

其实，利用几何知识，还能得到一些不对称图形的答案，见图2至图5.在图2至图 4 中，各有一个圆圈，里面画着一个一般意义上的六边形（六条线段顺次首尾相连组成的封闭折线）.这是在提示，图中的10条直线里，有6条直线组成圈内形状的一个六边形.

在图 5 中，六边形看得比较清楚，就是用字母标注出来的六边形 ABCDEF.这使我们想起，在普斯定理一文中解答过“九树九行”问题.

图2

图3

图5

图4

为了解答现在的“九树十行”问题，需要在上节“九树九行”的基础上，增加一条新的直线，成为第十条.应该怎样安排，才能出现第十条直线呢?

答：在图 5 中，AYD 就是新增加的第十条直线.要得到这条直线，可采用下面的办法：如图5所示，任意作两条直线a和b；在a上任意取三点A、C、E；在b上任意取两点B、D；连接直线AB、BC、CD、DE、AD，记AB与DE的交点为X，BC与AD的交点为Y；连接直线EY，交直线b于点F；连接直线FA，交CD于点Z，那么根据帕普斯定理，三点X、Y、Z在一直线上.

这就是解答“九树十行”问题的一般方法.由于两直线 a 和 b 的相关位置可以任意变化，六边形顶点在 a 和 b 上的排列顺序和距离也可大幅度调节，所以能画出千变万化的解答图形.如果不考虑距离和角度的差异，而只看点和线的排列顺序，大致可分4类，就是这里的图2至图5.通常书刊中见到的图l，是图5的特殊情形.

“九树十行”问题表明，在熟知的浅显趣题后面，有时会隐藏着深刻的数学道理.前有芳草地，万紫千红，百花争艳；后有大山林，枝繁叶茂，郁郁葱葱.通过有趣的事实，接触有用的知识，何乐而不为?

08.探照灯趣题

探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如下图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于F点的灯泡发出的两束光线FB、FC经灯碗反射以后平行射出.如果下图中∠ABF=α，∠DCF=β，则∠BFC的度数为多少?

解析：过F点向左作射线FO，使FO‖AB，则FO‖CD，

∴∠ABF=∠BFO=α（α=α′，同位角相等），∠OFC=∠FCD=β（β=β′），即∠BFC=α′+β′=α+β

答：∠BFC的度数等于α+β.

点评：本题已经有两条平行线，但是它们之间没有截线，需要构造第三条平行线，才能使用平行线的性质.过焦点F的直线经抛物线反射后，反射线与X轴平行.

09.山岭隧道

天堑总能变通途，人类的智慧除了建造广厦，很大程度上都体现在交通的开发中.面对高山阻挡，人们总能开山凿洞，缔造一个个令人惊叹的隧道奇观.

如下页图所示，修高速公路需要开山洞，为节省时间，要在山的A，B两面同时开工，在A处测得洞的走向是北偏东76°12′，那么在B处应按什么方向开口，才能使山洞准确接通，请说明其中的道理.

（2005年泰安市中考题）

解析：见下图：

∵AC‖DE，

∴∠ABE=∠A=76°12′（两直线平行，同旁内角互补），

答：在北偏西76°12′方向开口，才能使山洞准确接通.

10.等宽曲线

圆是与一个定点的距离等于定长的所有点组成的曲线.车轮就直接地应用了圆的这个性质.车轮正是由于它的等长的车辐，使车轴处于一定的高度，从而得到一个平稳的水平运动.倘若车轮不是圆的，那么车轴将会产生一种忽上忽下的运动.运动中如果有很大的载重，轮和轴就不能保持十分坚固.

有时我们要移动重物，可以如图 1 那样把重物放在圆木棍上滚动，并平稳地前进.圆可用来滚动的原因是由于圆有这样的性质，即当圆不管怎样滚动时，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的.即圆在任意方向都有相同的宽度，因而圆也就是所谓的“等宽曲线”.

然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必是圆的！

事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的曲边三角形.它的画法如下：

1.画一个等边三角形；

2.以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧.

图1

图2

显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长.请你亲自动手做个实验.把一硬纸卡片剪出一个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞.如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动（如图3所示）.实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线.

用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不至于上下颠簸（如图4所示）.这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形.

图3

图4

在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶.我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长.由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑多了（如图5所示）.

画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶.下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画法，并使它的宽度为b.开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上，选择A和C两点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）.也就是E是两个弧的交点.最后，用一个以E为圆心、b为半径的弧连接A和D，这样就得到一个等宽的曲边五边形ADBEC（如图6所示）.边数更多的多边形，可用同样的方法做出来，这只要多做几步，然后使曲线成为闭合的就可以了.

图5

图6

同样的原理，我们还可以利用这些曲线得到没有任何角顶的等宽曲线.

这些方法使我们可以构造无数个等宽曲线，它们都是由许多圆弧组成的.但不要误解为等宽曲线只能由圆弧组成，实际上有这样的等宽曲线，它的一部分不管是多么小，都不是圆弧.在这里我们不可能介绍它，因为已经超出了初中几何知识的范围.

日常生活中，我们看到许多加盖的盛具，如锅、杯、壶、缸和桶之类，都是圆口圆盖的形状.这除了容易加工制造以外，主要还是应用了圆是等宽曲线的特性.圆形的盖子，只要它不变形，从任何方向都不会掉进盛具里去.为了提高观赏价值与品茶雅兴，一些艺术茶壶的壶盖可以设计成其他等宽曲线的形状.

在图1中，车轮向前移动1m，上面的重物会向前移动多远?

解析：滚轮向前移动 1m，是相对于地面而言，上面的重物相对于车轮也向前移动1m.上面的重物相对于地面移动2m.

答：重物向前移动2m.

11.舞台里的狮子窗体顶端窗体底端

有一个半径为10米的圆形舞台，初始时舞台上的某个地方有一头狮子.这头狮子在舞台上以折线段的方式跑了30千米.

二、线段、角与平行线

射线只有一端有端点，另一端可无限延长；线段有 2 个端点，而 2 个端点间的距离就是这条线段的长度；直线除了“直”这个特点外，还有一个很重要的特点，那就是它可以向两个方向无限延伸，永远没有尽头，所以，直线是不可能度量的.因此，在画直线时，要画出没有端点的直线，表示可以无限延伸.

具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角（angle）.这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边.

锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角.

直角：等于90°的角叫做直角.

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角.

平角：等于180°的角叫做平角.

在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线.

平行性质可简单说成：

（1）两条直线平行，同位角相等.

（2）两条直线平行，内错角相等.

（3）两条直线平行，同旁内角互补.

（4）两条直线平行，外错角相等.

07.九树十行

春分艳阳暖，园中植树忙；每行栽三株，九株栽十行；种法有多样，请你试试看.

解析：这是一个常见的智力测验题，又称牛顿问题.在一般书刊上，这道题的答案只有一个对称图形，如图1所示.

图1

其实，利用几何知识，还能得到一些不对称图形的答案，见图2至图5.在图2至图 4 中，各有一个圆圈，里面画着一个一般意义上的六边形（六条线段顺次首尾相连组成的封闭折线）.这是在提示，图中的10条直线里，有6条直线组成圈内形状的一个六边形.

在图 5 中，六边形看得比较清楚，就是用字母标注出来的六边形 ABCDEF.这使我们想起，在普斯定理一文中解答过“九树九行”问题.

图2

图3

图5

图4

为了解答现在的“九树十行”问题，需要在上节“九树九行”的基础上，增加一条新的直线，成为第十条.应该怎样安排，才能出现第十条直线呢?

答：在图 5 中，AYD 就是新增加的第十条直线.要得到这条直线，可采用下面的办法：如图5所示，任意作两条直线a和b；在a上任意取三点A、C、E；在b上任意取两点B、D；连接直线AB、BC、CD、DE、AD，记AB与DE的交点为X，BC与AD的交点为Y；连接直线EY，交直线b于点F；连接直线FA，交CD于点Z，那么根据帕普斯定理，三点X、Y、Z在一直线上.

这就是解答“九树十行”问题的一般方法.由于两直线 a 和 b 的相关位置可以任意变化，六边形顶点在 a 和 b 上的排列顺序和距离也可大幅度调节，所以能画出千变万化的解答图形.如果不考虑距离和角度的差异，而只看点和线的排列顺序，大致可分4类，就是这里的图2至图5.通常书刊中见到的图l，是图5的特殊情形.

“九树十行”问题表明，在熟知的浅显趣题后面，有时会隐藏着深刻的数学道理.前有芳草地，万紫千红，百花争艳；后有大山林，枝繁叶茂，郁郁葱葱.通过有趣的事实，接触有用的知识，何乐而不为?

08.探照灯趣题

探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如下图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于F点的灯泡发出的两束光线FB、FC经灯碗反射以后平行射出.如果下图中∠ABF=α，∠DCF=β，则∠BFC的度数为多少?

解析：过F点向左作射线FO，使FO‖AB，则FO‖CD，

∴∠ABF=∠BFO=α（α=α′，同位角相等），∠OFC=∠FCD=β（β=β′），即∠BFC=α′+β′=α+β

答：∠BFC的度数等于α+β.

点评：本题已经有两条平行线，但是它们之间没有截线，需要构造第三条平行线，才能使用平行线的性质.过焦点F的直线经抛物线反射后，反射线与X轴平行.

09.山岭隧道

天堑总能变通途，人类的智慧除了建造广厦，很大程度上都体现在交通的开发中.面对高山阻挡，人们总能开山凿洞，缔造一个个令人惊叹的隧道奇观.

如下页图所示，修高速公路需要开山洞，为节省时间，要在山的A，B两面同时开工，在A处测得洞的走向是北偏东76°12′，那么在B处应按什么方向开口，才能使山洞准确接通，请说明其中的道理.

（2005年泰安市中考题）

解析：见下图：

∵AC‖DE，

∴∠ABE=∠A=76°12′（两直线平行，同旁内角互补），

答：在北偏西76°12′方向开口，才能使山洞准确接通.

10.等宽曲线

圆是与一个定点的距离等于定长的所有点组成的曲线.车轮就直接地应用了圆的这个性质.车轮正是由于它的等长的车辐，使车轴处于一定的高度，从而得到一个平稳的水平运动.倘若车轮不是圆的，那么车轴将会产生一种忽上忽下的运动.运动中如果有很大的载重，轮和轴就不能保持十分坚固.

有时我们要移动重物，可以如图 1 那样把重物放在圆木棍上滚动，并平稳地前进.圆可用来滚动的原因是由于圆有这样的性质，即当圆不管怎样滚动时，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的.即圆在任意方向都有相同的宽度，因而圆也就是所谓的“等宽曲线”.

然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必是圆的！

事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的曲边三角形.它的画法如下：

1.画一个等边三角形；

2.以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧.

图1

图2

显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长.请你亲自动手做个实验.把一硬纸卡片剪出一个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞.如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动（如图3所示）.实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线.

用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不至于上下颠簸（如图4所示）.这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形.

图3

图4

在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶.我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，

....