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作者：郑勇林,卢孟春,朱晓玲、

出版社：电子工业出版社

出版时间：2014-08-01

书籍编号：30467838

ISBN：9787121232381

正文语种：中文

字数：124295

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：大学基础物理学（下）

作者：郑勇林　卢孟春　朱晓玲　等

ISBN：9787121232381

版权所有 · 侵权必究

前言

为了更好地适应我国高等教育发展，满足目前社会对一般高等学校大众化教育背景下人才培养的各项要求，进一步探索和完善我国高等学校应用型人才培养体系，积极探索适应21世纪人才培养的教学模式，我们根据教育部非物理类专业物理基础课程教学指导分委员会制定的《理工科非物理类专业大学物理课程教学基本要求》（后简称“纲要”）的思想和精神，编写了《大学基础物理学》（上、下）教材及《大学基础物理学习指导》辅导教材。

物理学是自然科学的基础，在人类认识自然世界的进程中一直发挥着重要的作用。尽管本书所涉及的大多数知识是前几个世纪确立的理论，但对于今天乃至未来的人类生活和科技发展都有着重要的影响。对于大学本、专科学生来说，大学物理是学习其他后续课程的基础课，是一门全面地、系统地培养学生综合素质的课程。通过对大学基础物理学课程的学习，可以培养学生科学的思维方式和研究问题的方法，能够开阔思路，激发探索和创新精神，提高科学素养、增强社会适应能力。

本书分为上、下两册共 14 章，包括力学、热学、电磁学、振动和波、波动光学、狭义相对论和量子力学基础、分子与固体等内容。每章都包含基本内容、本章提要、阅读材料、习题，全书最后附有习题答案。此外，为了拓展读者的知识面，本书还增加了部分选学内容，这部分内容均标以“*”号。阅读材料也可作为扩展内容，介绍了物理学在前沿科学和技术中的应用及前沿科学理论，选学内容和阅读材料都自成体系，可选讲或指导学生阅读。

本书依据“纲要”基本要求而编写，旨在帮助读者掌握物理学的基本概念和规律，建立较完整的物理思想。让读者能学以致用，实现知识能力与素质协调发展。本书在编写上力求内容简练，概念清晰，突出重点，可供高等学校非物理类专业本、专科及成人高等院校的学生学习参考。

本书第1、2章由赵茂娟、杨敏编写，郑勇林、杨维审阅；第3、10、12章由朱晓玲、王晓茜编写，郑勇林、杨维审阅；第4章由郑勇林、高志华编写，杨维审阅；第5、8章由杨维编写，郑勇林审阅；第6章由刘鸿编写，郑勇林、杨维审阅；第7、9章由戴松晖、陆智编写，郑勇林、卢孟春审阅；第11、13、14由郑勇林、卢孟春编写，孙婷雅、杨维、杨敏审阅。李伯恒、孙婷雅、郑勇林、杨维、陆智审阅了全书习题。全书由郑勇林统稿。

本书在编写过程中得到了成都大学、长江师范学院、四川农业大学理学院、重庆工业职业技术学院物理教研室等单位的大力支持，编者在此致以衷心的感谢。特别感谢电子工业出版社给予的大力支持和帮助。

西南大学郑瑞伦教授细致地审阅了书稿，提出许多中肯的修改意见和建议。成都大学汪令江教授，长江师范学院周晏副教授为本书编写做了大量工作，在此表示感谢。

本书编写过程中参考了其他同类教材，在此一并致谢。

由于编者水平有限，书中可能存在不妥甚至错误之处，敬请批评指正。

编著者

2014年8月于成都

第9章 振动

自然界中广泛存在着一种往复的运动形式，从空间上说，物体在某一平衡位置附近往复运动；从时间上说，运动呈现一定的周期性，把这种运动称为振动。虽然振动有各种形式，本质上它们有各自的特点，但在很多方面是有共性的。例如，行星的运动，机械中活塞的往复运动，高楼大厦的微小振动，固体中原子的振动等；在生态方面，心脏的跳动，血液循环，生态循环等；在电路中，电流、电压、电荷量、电场强度、磁场强度等在某一定值附近随时间做周期性的变化。这些振动虽然在本质上各有自己的特点，但它们都具有一定周期性的共同性，这正反映了自然界的统一性及它们的内在联系。因此，广义地说，任何一个物理量在某个定值附近反复变化都可以称为振动。

如果物体的周期性运动只限于在空间某一位置附近的一再往复出现，这种运动称为机械振动，上面所列举的行星的运动、机械中活塞的往复运动、高楼大厦的微小振动、固体中原子的振动等都是机械振动。机械振动与电磁振动在本质上是不同的，但在运动形式上都具有振动的共性，它们遵从的规律也可以用统一的数学形式来描述。所以，机械振动的基本规律也是研究其他振动，波动、波动光学、无线电技术及现代物理的基础。

本章主要讨论简谐振动及简谐振动的描述，并简要介绍阻尼振动、受迫振动和共振现象。在各种振动现象中，简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动形式都可以看作若干简谐振动的合成。因此，研究简谐振动是研究各种复杂振动的基础。

9.1 简谐振动的模型

振动的形式是多种多样的，情况大都较为复杂。物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦规律随时间变化，这种运动称为简谐运动（或称简谐振动）。

最常见的简谐振动模型有弹簧振子、单摆、复摆等。学习简谐振动首先将从弹簧振子的振动特征分析出发，研究简谐振动的受力特征；再结合动力学原理（牛顿第二定律），得出谐振动的动力学特征方程（位移与时间的微分方程）；最后求解微分方程得出谐振动的运动学方程，即位移与时间、速度与时间、加速度与时间的关系方程。

9.1.1 简谐振动特征与简谐振动方程

如图9.1所示，质量为m的物体系于一端固定的轻质弹簧的自由端，形成一个弹簧振子系统。若将该系统放置在光滑的水平面上，物体所受的阻力略去不计。当弹簧处于自由状态时，物体在水平方向所受合外力为零，此时物体所在位置为系统的平衡位置，取平衡位置O为坐标原点，水平向右为Ox轴的正方向。

若将弹簧压缩或拉伸，弹簧将因其内部产生的且始终指向平衡位置的弹力作用，而在平衡位置附近做往复运动。

现将弹簧拉伸或压缩至P或P′，这时由于弹簧被拉伸或被压缩，使指向平衡位置的弹性力作用在物体上。撤去外力后，物体将会在弹性力的作用下向左（或向右）运动。当物体回到平衡位置时，物体所受到的弹性力减小到零，但物体的惯性使它继续向左（或向右）运动，致使弹簧被压缩（或拉伸），这时物体受到的弹性力又开始增加，当物体到达最大位置（P′或P）后受到最大作用力。在整个过程中，由于弹簧被拉伸（或被压缩）而产生指向平衡位置的弹性力作用在物体上，迫使物体返回到平衡位置，这样在弹性力的作用下，物体就在平衡位置附近往复运动，如图9.1所示。

图9.1 弹簧振子的振动

由胡克定律可知，物体所受弹簧的回复力为

式中，k为弹簧的劲度系数，负号表示力与位移的方向相反。

在回复力作用下，振动物体的加速度为

令，则式（9-1）改写为

或记作微分表达式为

式（9-2）为简谐运动的运动微分方程。这是一个二阶常系数线性齐次常微分方程。可用分离变量法求解。

做变量代换，则式（9-2）变为

分离变量可得

等式两边积分，得v²=-ω²x²+ω²A²，其中A是振动物体偏离平衡位置的最大位移。再将v²用表示，再一次分离变量，可得

积分后得

其中φ′是一积分常量，若令φ₀=φ′+π/2，则式（9-3a）可写为

所以，物体做简谐运动时，位移是时间的余弦函数。当然也可以说位移是时间的正弦函数，为了统一，采用余弦函数^[1]。所以式（9-3a）、式（9-3b）称为简谐运动方程，式中，A、φ₀为积分常量，其物理意义将在下文讨论。

将式（9-3b）对时间求一阶、二阶导数，可分别得到简谐运动物体的速度v和加速度a分别为

式（9-4）中，v_m=ωA称为速度的幅值。式（9-5）中，可令a_m=ω²A，a_m称为加速度幅值。由此可见，物体做简谐运动时，其速度、加速度也随时间周期性地变化，如图9.2所示。

对于两个积分常量A、φ₀是这样确定的，设t=0时，物体偏离平衡位置的位移和速度分别为x₀、v₀，于是由式（9-3b）和式（9-4）有

求解得到

式（9-6）中的A代表简谐振动的振幅，φ₀代表简谐振动的初相。

图9.2 简谐运动的x、v、a随时间的变化

9.1.2 描述简谐振动的特征量

下面讨论描述简谐运动的三个特征量A、φ₀及ω的物理意义。这三个量分别称为简谐运动的振幅、初相位、圆（角）频率。

1.振幅

因为在简谐运动的表达式中，余弦或正弦函数的值在+1和-1之间，所以物体的振动范围在+A和-A之间，把谐振动物体偏离平衡位置的最大位移的绝对值A称为振幅。

2.周期和频率

振动的特征之一是运动具有周期性，把物体做一次完全振动所经历的时间称为振动的周期，用T表示。周期的单位为秒（s）。因此，每隔一个周期，振动的状态就完全重复一次，其数学表示为

由于余弦函数的周期性，物体做一次完全振动后应有ωT=2π。于是有

频率，即表示单位时间内完成简谐振动的次数，用ν或 f 表示，单位为赫兹（Hz）。显然，频率与周期的关系为

由此可知

即ω等于物体在单位时间内所做的完全振动次数的2π倍，ω称为角频率（或圆频率），单位是弧度每秒（rad.s^-1）。

3.相位

由简谐运动方程（9-3b）可知，要确定振动物体在任意时刻的运动状态，除了给定振幅和圆频率外，振动物体的运动状态还要由（ωt+φ₀）决定，也就是说，（ωt+φ₀）既决定了振动物体在任意时刻相对平衡位置的位移，也决定了物体在该时刻的速度。所以定义（ωt+φ₀）为简谐运动在t时刻的相位（或位相、周相），它是决定简谐运动的物理量。

对于一个振幅、圆频率都确定的振动物体，在一个周期内振动物体在各时刻的运动状态完全由振动的相位确定。振动过程中，凡是位移、速度、加速度都相同的状态，它们对应的相位必然相差2π或2π的整数倍。因此，相位能充分地反映物体振动状态的周期性特征。

当t=0时，相位ωt+φ₀=φ₀，故φ₀称为初相位（简称初相），它是决定初始时刻（开始计时的起点）振动物体运动状态的物理量。式（9-6）就是振动物体在t=0时，振幅和初相的解析式。

用相位来描述物体的振动状态，还可比较两个同频率的简谐运动的步调。设有两个同频率的谐振动

它们的相位差为

式（9-10）表明：当Δφ=0或2π时，两个简谐运动同时达到各自同方向的位移、速度、加速度的最大值和最小值；同时通过平衡位置而且振动方向相同，它们的振动步调完全一致，称其为同相。

当Δφ=（2k+1）π（k=0，1，2，…）时两个简谐运动将分别到达x轴正、负两个方向的最大位移处，同时通过平衡位置，但运动方向相反，称其为反相。

当Δφ为其他值时，若Δφ=φ₂₀-φ₁₀＞0，称第二个谐振动超前第一个振动Δφ，反之则称第二个谐振动落后第一个振动-Δφ。

上述讨论的三个特征量振幅A、圆频率ω和初相φ₀称为简谐运动的三要素，对于一个简谐运动只要确定了该三要素，简谐运动的规律就完全确定了。

例9-1 如图9.1所示，一轻弹簧的劲度系数k=50 N.m^-1，将质量为2 kg的物体从平衡位置向右拉长到x₀=0.02 m处，并以m.s^-1的速度开始运动，试求：① 谐振动方程；② 物体从初位置运动到第一次经过处时的速度。

解 ① 要确定物体的谐振动方程，须确定角频率ω、振幅A和初相φ₀三个物理量。由该振动的力学参量，可求得角频率为

振幅和初相由初始条件x₀及v₀决定，已知x₀=0.02 m，，由式（9-6）得

由题意知x₀为正，v₀为负，故。

将振幅A、圆频率ω及初相φ₀代入简谐振动方程x=A cos（ωt+φ₀）中，可得

② 欲求处的速度，须先求出物体从初位置运动到第一次抵达处的相位。由得

由题意可知，物体由初位置x=0.02 m第一次运动到处的相位为，将A，ω和ωt的值代入速度公式，可得

负号表示速度的方向沿x轴负方向。

9.1.3 简谐振动的旋转矢量表示法

简谐运动的三个特征量（A、ω、φ）可用旋转矢量法表示。如图 9.3 所示，设有一长度为A的矢量在平面内绕O点以匀角速率ω逆时针旋转，其转动的角速度ω与振动物体的角频率相等，矢量A的模等于振动物体的振幅A，那么这个矢量就是旋转矢量（也称为振幅矢量）。并设初始时刻（t=0）该矢量的位置与Ox轴之间的夹角为φ₀，则任意时刻t，矢量的端点M在Ox轴上的投影点P的运动规律满足方程

其中，A为圆周的半径，ωt是经过t时间后矢量A沿逆时针方向转过的角度，矢量与Ox之间的夹角为（ωt+φ₀），与做简谐运动的物体在该时刻的相位相同，此时矢量A与Ox轴的夹角就为（ωt+φ₀）。不难看出，上述投影点P的运动恰是做简谐运动的物体在t时刻相对于原点的位移。所以，一个简谐运动可以用一个旋转矢量来表示，矢量旋转一周的时间为T=2π/ω，这就相当于物体在x轴做一次完全谐振动。

图9.3 简谐运动的旋转矢量

由此可见，利用旋转矢量图，可以很直观地把谐振动的三个特征物理量表示出来。矢量的长度即为振幅，矢量旋转的角速度即为振动的角频率ω，矢量在初始时刻和任意时刻与Ox轴的夹角的是振动的初相φ₀与相位（ωt+φ₀）。

例 9-2 用旋转矢量法求解例 9-1中的初相φ₀及物体从初位置运动到第一次经过处时的时间。

解 ① 根据初始条件画出振幅矢量的初始位置，如图9.4所示。由图可得

② 从振幅矢量图 9.4（b）可知，从初位置x₀运动到第一次经过处时，旋转矢量转过的角度是，这就是两者的相位差，由于振幅矢量的角速度为ω，所以得到所需的时间为

图9.4 例9-2图

9.2 单摆、复摆

9.2.1 单摆

一根长为l的轻质无弹性细绳上端固定，下端连接一个质量为m的小球，细绳静止于铅直位置时，小球在位置O处。此时作用在小球上的合外力为零，位置O为平衡位置。将小球轻轻地拉离平衡位置，使摆线与竖直方向的夹角为θ（＜5°），松手后小球将在O点附近做往复运动，这一振动系统称为单摆，如图9.5所示。

设t时刻小球偏离铅垂位置时角位移为θ，并规定小球在平衡位置右侧时，θ为正。因小球所受的外力有竖直向下的重力G=mg 与沿拉线向上的拉力T，二力的合力为mg sinθ，方向沿小球在该点处运动轨迹的切向方向，并指向平衡位置。由牛顿第二定律有

图9.5 单摆

该关系式中因为θ很小（＜5^°），故有sinθ≈θ，于是上式可写为

或

式（9-11）表明：当θ很小时，单摆的角加速度与角位移成正比，这与式（9-2）的形式完全一样，可见，单摆的运动具有简谐运动的特征，因而也是简谐运动。

对于式（9-11），若令，则解微分方程，可得

式中，θ_m为角振幅，φ₀为初相位，二者由初始条件决定。将式（9-11）与式（9-2）相比较，或将式（9-12）与式（9-3b）相比较，可得单摆的角频率和周期分别为

可见，单摆的周期取决于摆长和该处的重力加速度，而与摆球的质量无关。在工程技术应用中，利用式（9-13）测量单摆的周期可以确定该地点的重力加速度。

9.2.2 复摆

一个可绕固定无摩擦的水平轴O转动的刚体称为复摆。如图 9.6 所示，平衡时，摆的质心C在轴的正下方。当刚体摆动到任意位置时，质心与轴的连线OC偏离竖直位置一个微小角度θ。规定刚体质心偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正。

对于刚体的定轴转动，刚体受到一对给定定轴的力矩作用时，刚体运动状态发生变化，即遵守转动定律M=Jα。

设复摆对水平轴O的转动惯量为J，复摆的质心C到O的距离OC=h，则复摆在某一时刻（摆角为θ）所受到的重力矩为M=-mgh sinθ，当摆角很小时，有sinθ≈θ，所以有

由转动定律得

图9.6 复摆

即

式（9-14）中，，并将式（9-14）与式（9-2）相比较，可知复摆在摆角很小时的摆动是简谐运动。

例9-3 一远洋海轮，质量为M，浮在水面时其水平截面积为S。设在水面附近海轮的水平截面积近似相等，如图 9.7 所示。试证明此海轮在水中做的幅度较小的竖直自由振动是简谐振动。

解 选择C点代表船体。当船处于静浮状态时，此时船所受浮力与重力相平衡，即F=ρgSh=Mg，式中，ρ是水的密度，h是船体C以下的平均深度。

取竖直向下的坐标轴为 y 轴，坐标原点O与C点在水面处重合。设船上、下振动的任一瞬时，船的位置即C点的坐标为y，（y是船相对水面的位移，可正可负），此时船所受浮力为

图9.7 例9-3图

则作用在船上的合力为

由得

即

式中，M、S、ρ、g皆为正，故可令，则

可见，描写船位置的物理量y满足简谐振动的动力学方程，故船在水中所做的小幅度的竖直方向的自由振动是简谐运动。

做简谐运动的物体，称为谐振子。通常把谐振子和连同对它施加回复力的物体一起组成的振动系统，称为谐振系统。

简谐运动是一种理想的运动过程。严格的简谐振动是不存在的，但对于处于稳定平衡状态的系统，当它对平衡状态发生微小的偏离后所产生的振动，在阻力很小可以忽略时，就可以近似地看作简谐振动。因此，谐振子是一个重要的理想模型。

例9-4 由电容C、电感L所组成的一个回路，如图9.8所示。若给电容器充上一定的电荷Q，在忽略电阻的情况下，就能形成在电路内周期性往返流动的电流，并引起电容器内的电场和电感线圈中的磁场的周期性变化，导致无阻尼电磁振荡。进一步的定量研究表明，在无阻尼的电磁振荡过程中，电容器极板上的电荷Q和电路中的电流I皆满足式（9-2）的微分方程。即此LC电路系统遵循谐振动的规律，故亦可称为谐振子。

图9.8 例9-4图

另外，对微观领域中的某些运动也可以利用谐振子的模型进行研究，如分子、原子、电子的振动等。

由此可见，谐振动的规律不仅出现于力学范畴，它还出现于电磁学、原子物理学、光学及其他领域。因此，一个物理系统，若描写其状态的物理量符合谐振动的定义式（9-2），皆可广义地称为谐振子。

9.3 简谐振动的能量

下面以水平弹簧振子为例来讨论振动系统的能量。设在某一时刻，物体的位置是x，速度为v，由式（9-3b）及式（9-4）知振子的位置x及速度v分别为

所以，质量为m的振子在t时刻的动能为

若以平衡位置的势能为零势能点，则系统的弹性势能为

同时注意，所以弹簧振子系统的总能量为

该结果说明：虽然弹簧振子的动能和势能都随时间发生周期性的变化，但总能量不随时间变化，即机械能守恒。这一点和弹簧振子在振动过程中只有保守内力做功，没有外力做功时，机械能守恒相符合。弹簧振子系统的总能量和振幅平方成正比，这个结论对于其他简谐运动系统也是正确的。振幅不仅给出了简谐运动的范围，而且还反映了振动系统总能量的大小。

当研究对象做机械运动时，其能量以动能与势能两种形式存在。在机械能守恒时，动能、势能二者相互转化，即动能达最大值时，势能为零，势能达最大值时，动能为零，总能量却保持恒定，如图9.9所示。

图9.9 弹簧振子的能量和时间关系曲线（φ=0）

式（9-15）的结论，读者也可以用简谐运动的动力学方程导出^[2]。

例9-5 一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为A。试求的位置。

解 设弹簧的劲度系数为k，系统总能量为

将代入上式，考虑在任意位置时，故有

解上式可得

例 9-6 如图 9.10 所示系统，弹簧的劲度系数k=25 N/m，物块m₁=0.6 kg，物块m₂=0.4 kg，m₁与m₂间最大静摩擦系数为μ=0.5，m₁与地面之间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使m₂在振动中不致从m₁上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少?

解 系统的总能量为

图9.10 例9-6图

当系统运动端位于系统的平衡位置时，动能达到最大值，而弹性势能则减小至零，故存在下式：

若想让m₂不从m₁上滑落，必须满足

极限情况下a_max=gμ=Aω²，即

故系统最大振动能量为

代入数据，得

9.4 简谐振动的合成与分解

9.4.1 两个同方向同频率简谐振动的合成

在实际问题中，常会遇到一个质点同时参与几个振动的情况。例如，当两列声波同时传播到空间某一处时，则该处空气质点就同时参与这两个振动。根据运动叠加原理，这时质点所做的运动实际上就是这两个振动的合成。也就是说，物体在任意时刻的位置矢量为物体单独参与每个分振动的位置矢量之和，即

一般的振动合成问题比较复杂，下面只研究几种特殊情况的谐振动的合成。

若某质点在一直线上同时参与两个独立的同频率的简谐振动，且这两个振动的位移方程分别为

式中，A₁、A₂、₁φ、φ₂分别是两个简谐运动的振幅、初相，x₁、x₂是两个简谐运动的物体相对同一平衡位置的位移。对于这样的两个独立谐振动的合成，可以采用解析法和旋转矢量图法加以分析。

（1）解析分析法

假设空间某一点存在两个独立的同频率同振动方向的谐振动，振动位移x₁、x₂表示在同一直线方向上、到同一平衡位置的位移，所以合位移x仍在同一直线上，且为上述两个位移的代数和，因而，质点的合振动在任意时刻该的位移为

应用三角函数的等式关系将上式展开，可以转化成

式中，A和φ的值分别为

由上述方程可以看出，合振动也是简谐振动，其振动方向和频率都与原来的两个独立谐振动的振动方向和频率相同，只是振幅及初相位发生了变化。

（2）用旋转矢量法推导出合成振动的位移、振幅和相位

对于这种同方向同频率简谐振动的合成，虽然利用三角公式也不难求得合成结果，但是利用旋转矢量图可以更直观、更简便地得到两简谐运动的合振动。如图9.11所示，A₁、A₂代表两简谐振动的振幅矢量，由于它们以相同的角速度ω绕 O 点逆时针转动，因此它们之间的夹角（φ₂-φ₁）保持恒定，所以在旋转过程中，矢量合成的平行四边形的形状保持不变，因而合矢量A的长度保持不变，并以同一角速度ω匀速旋转。合矢量A就是相应的合振动的振幅矢量，而合振动的表达式可从合矢量A在x轴上的投影给出，A和φ也可以由图方便地得到。

图9.11 同方向同频率简谐振动的合成

下面分析同方向同频率简谐振动合成的初相差问题。

从式（9-18）可以看出，合振动的振幅A除了与原来的两个分振动的振幅有关外，还取决于两个振动的相位差（φ₂-φ₁）。下面讨论Δφ=φ₂-₁φ的三种不同情况，这将在研究声、光等波动过程的干涉和衍射现象时，有非常重要的意义。

① 当Δφ=（φ₂-φ₁）=2kπ，k=0，±1，±2，…时，合振动振幅为两个分振动振幅之和，此时合振动的振幅最大，振动加强，即有A=A₁+A₂。

② 当Δφ=（φ₂-φ₁）=（2k+1）π，k=0，±1，±2，…时，合振动的振幅为两个振幅之差的绝对值，此时合振动振幅最小，振动减弱，即有。

③ 在一般情况下，Δφ=（φ₂-φ₁）为其他任意值时，合振动的振幅在最大值（A₁+A₂）与最小值之间。

上述讨论表明：两个独立的同频率、同振动方向的谐振动合成时，相位差起着决定性作用。图9.12所示为初相位差不同的两个简谐振动的合成情况。

图9.12 初相位差不同的两个简谐振动的合成

例 9-7 一个质点做简谐振动，振幅为A，圆频率为。设t=0时刻质点在处向正方向运动，经过Δt时间（在一个周期内）该质点运动到处且其速度为正，用旋转矢量法（要求画出旋转矢量图）求Δt。

解 如图 9.13 所示，画出旋转矢量图，可以知道质点从处（速度为正）运动到处（速度为正）时旋转矢量转过的角度为

图9.13 例9-7题解图

已知旋转矢量的旋转角速度（质点振动圆频率）为，故需要的时间为

9.4.2 两个相互垂直、同频率的简谐振动的合成

当一个质点同时参与两个不同方向的振动时，质点的位移是这两个振动的位移的矢量和。在一般情况下，质点将在平面上做曲线运动。质点的轨迹可以是各种形状，轨迹的形状由两个振动的周期、振幅和相位差来决定。

设两个同频率的简谐振动分别在相互垂直的x轴和y轴上，振动方程分别为

在任意时刻t，质点的位置是（x，y）是时间t的函数。将上述两方程参量t消去，就能得到x、y的关系方程，即质点运动的轨迹方程为

在一般情况下，上述方程是椭圆方程，因为质点的位移x和y在有限范围内变动，所以椭圆轨道不会超出以2 A_x和2 A_y为边的矩形范围，椭圆的具体形状则由相位差（φ₂-₁φ）决定。以下仅讨论几个特殊相位差的情况。

（1）当相位差φ₂-φ₁=0时，即两振动同相，此时式（9-21）变为

此时合振动的轨迹是一条通过坐标原点的直线，其斜率为这两个振动振幅之比（见图9.14（a））。在任意时刻t，质点离开平衡位置的位移为

所以合振动也是简谐振动，振动频率与分振动的频率相同。振幅为。

（2）当相位差φ₂-φ₁=π/2时，式（9-21）变为

合振动的轨迹是一以坐标轴为主轴的沿顺时针方向运行的正椭圆（见图9.14（b））。

（3）当相位差φ₂-φ₁=π时，即两振动反相，此时式（9-21）变为

合振动的轨迹也是一条通过坐标原点的直线，其斜率为这两个振动振幅之比的负值（见图 9.14（c））。此时，合振动也是简谐振动，振动频率与分振动的频率相同。振幅也为。

（4）当相位差φ₂-φ₁=3π/2，-π/2时，合振动的轨迹是一以坐标轴为主轴的沿逆时针方向运的正椭圆（见图9.14（d））。

图9.14 两个互相垂直的同频率的简谐运动

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