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作者：罗春荣,丁昌林,段利兵

出版社：电子工业出版社

出版时间：2016-02-01

书籍编号：30468298

ISBN：9787121278839

正文语种：中文

字数：144160

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：电动力学

作者：罗春荣　丁昌林　段利兵

ISBN：9787121278839

版权所有 · 侵权必究

前言

本书是根据我在西北工业大学应用物理系讲授“电动力学”课程讲义的基础上整理而成的。时光荏苒，弹指一挥间，讲授“电动力学”课程整整三十年了。从应用物理系招收的第一届学生到现在，每一届学生及许多院系的研究生都听过我讲授的“电动力学”课程。讲授电动力学这么多年，我由一个刚进入高校任教的研究生，变成了指导青年教师的老教师，充其量我只是一个教书匠。回顾自己的教师生涯，得到了许多老师与前辈的培养与教导。

学生时代我有幸在兰州大学物理系学习理论物理课程，量子力学由钱伯初先生讲授，热力学统计物理由汪志诚先生讲授，广义相对论由段一士先生讲授，电动力学由葛墨林先生讲授，聆听了这些国内知名教授的课程，为我的讲课风格奠定了良好的基础。

在讲授这门课程过程中，我一直在想，理工科院校应用物理类专业的“电动力学”应该介于理科院校物理类专业的“电动力学”和工科院校相关专业的“电磁场理论”两门课程之间。在教学实践中也做了一些尝试，根据应用物理专业学生的需要安排授课内容，根据学生的认知规律安排课程内容顺序，力求将基本理论和概念叙述得清楚易懂，公式推导尽可能详细，对基本方法尽可能多一些例证加以说明。2014年这本教材被列入工业和信息化部“十二五”规划教材项目，借此机会将讲义整理出版，希望对学生学习这门课程有所收益，对青年教师讲授这门课程有所帮助。

全书内容分为7章，建议授课学时为54～60学时。第0章为电动力学的数学预备知识，第1章为静电场，第2章为静磁场，第3章为电磁现象的普遍规律，第4章为电磁波的传播，第5章为电磁波的辐射，第6章为狭义相对论。与传统教材不同的是，前3章内容做了顺序调整。另外，在第1章和第4章介绍了电流变液的介电极化模型和左手材料的奇异电磁性质。这两部分内容与赵晓鹏教授团队的研究方向相关，在此感谢他的一贯支持与帮助。

本书稿由丁昌林博士和段利兵副教授协助整理完成，丁昌林参与了第0、2、3、4、5、6章的整理工作，段利兵参与了第1章的整理工作，全书插图由段利兵、胡明娟绘制，全书的习题答案由宋坤博士整理。本书提供配套多媒体电子课件，请登录华信教育资源网（http：//www.hxedu.com.cn）注册下载，也可联系本书编辑（wangxq＠phei.com.cn）。

从1992年起，我参加了由西安交通大学吴寿锽先生主编的《电动力学》教材编写组，2001年我参加了由西安交通大学吴百诗先生主编的《大学物理学》教材编写组。参与这两本教材的编写，使我积累了一些编写教材的知识和经验，我才有勇气和信心编写这本教材，在此向他们表示感谢。

本教材的编写得到了工业和信息化部人事教育司、西北工业大学教务处和理学院的大力支持，在此深表感谢。

由于水平所限，书中缺点和错误在所难免，恳请使用本书的读者批评指正。

罗春荣

于西安 西北工业大学

2016年2月

第0章 数学预备知识

电动力学的主要任务是计算电磁场的分布，需要用数学知识来描述电磁场的运动规律，本章介绍电动力学课程常用的数学知识，主要内容为矢量分析与场论基础及张量简介。

0.1 矢量的乘法

设有两个矢量A与B，它们在三个坐标轴上的分量分别是（A₁，A₂，A₃）和（B₁，B₂，B₃），可以记为

式中，e_i是对应坐标轴上的基矢。直角坐标系中，e₁=e_x、e₂=e_y、e₃=e_z ，球坐标系中，三个基矢为e₁=e_r、e₂=e_θ、e₃=e_φ。

两个矢量的乘法包括点乘、叉乘和张量积三种。

0.1.1 矢量的点乘

两个矢量的点乘称为标量积，标量积是一个标量。

式中，A、B分别表示矢量A、B的模，角度θ是矢量A、B之间的夹角。两个矢量的标量积等于两个矢量的模相乘，再乘以两矢量夹角的余弦。矢量的点乘满足交换律、结合律和分配律。

在直角坐标系中

0.1.2 矢量的叉乘

两个矢量的叉乘称为矢量积，矢量积是一个矢量。

矢量积的大小为ABsinθ，刚好是一个以A、B为邻边的平行四边形的面积，矢量积的方向与两个矢量所在的平面垂直，与矢量A、B成右手螺旋关系，如图0-1所示。式中，n表示从矢量A转向矢量B右手螺旋前进方向的单位矢量。

矢量积不满足交换律，但满足分配律

在直角坐标系中

利用矢量的标量积与矢量积的定义可以得到两个很有用的公式。

1.三矢量的混合积

三矢量的混合积

这个混合积是一个标量，其几何解释是一个以A、B、C为棱边的平行六面体的体积，如图0-2所示。很显然，这个体积也可以用C.（A×B）和B.（C×A）表示。三矢量的混合积对A、B、C具有轮换对称性质，即把三个矢量按循环次序轮换，其积不变。

图0-1 矢量的叉乘

图0-2 三矢量的混合积

如果只把其中两个矢量对调，其积相差一个负号。

2.三矢量的矢量积

三矢量的矢量积即二重叉积，结果仍是一个矢量

二重叉积的运算符号次序很重要，如：

这是另一个与A×（B×C）完全不同的矢量。

0.1.3 矢量的张量积

两个矢量A和B直接并列，中间没有任何运算符号，称为两个矢量的张量积，也称为并矢。

T 是一个二阶张量，关于张量的性质将在0.7节进行讨论。

0.2 标量场的梯度

一定物理量的空间分布称为场，例如，描述物质温度分布的温度场，描述流体速度分布的速度场，描述引力作用的引力场，描述电磁作用的电磁场等。如果这个物理量是标量，则称为标量场；如果这个物理量是矢量，则称为矢量场。例如，空间的温度、电磁学中的电势为标量场，电场强度、磁感应强度则是矢量场。为了定量研究标量场的空间分布特性，需要引入梯度的概念。

温度场描述的是空间各点的温度，T（x，y，z）是空间位置的函数，如果在这个标量场中，从某点出发经过dl之后，温度T的变化为

因为dl=dxe_x+dye_y+dze_z ，上式也可以写成点积形式

式中

∇T称为温度场T的梯度，标量场的梯度是矢量。由式（0.2.1）可知，当dl沿∇T方向时，θ=0，此时dT最大，因此，∇T的数值表示场函数T在该点的最大变化率，∇T的方向是场函数空间变化率最大的方向。标量场中数值相同的点构成等值面，即等值面的法线方向。∇是带有单位矢量的微分算符，只有作用于右方函数时才有意义。∇算符有两方面的作用，既具有方向性，又具有微分算符的性质。

在直角坐标系中

在柱坐标系中

在球坐标系中

0.3 矢量场的散度和散度定理

0.3.1 矢量场的散度

为了定量研究矢量场的空间分布特性，需要引入散度和旋度的概念。

首先引入矢量场中通量的概念，对于一个矢量场F（x，y，z），通过空间某一曲面的通量为矢量场对该曲面的面积分，表达式为

式中，dS为曲面在点P（x，y，z）处的微分面元。若曲面为封闭曲面，所围体积为V，则矢量场F（x，y，z）通过该闭合曲面的通量为

对于闭合曲面而言，曲面的法向一般是指向闭合曲面的外部，因而流出该曲面的通量为正。对不同的矢量场，通量的物理意义不同，对电场强度E（x，y，z），电通量为

表示穿出闭合曲面 S 的电场线总数。矢量场的通量描述了某一空间范围内场线的发散和汇聚情况。

为了细致刻画矢量场中每一点的发散情况，引入单位体积的通量的极限

式中，ΔV为曲面 S 所包围的体积。式（0.3.3）表示矢量场F在该点附近通过包围单位体积的封闭曲面的通量，它与曲面的形状无关，称为矢量场F在该点的散度，矢量场的散度是标量。如果∇.F＞0，称为有源场；∇.F=0，称为无源场；∇.F＜0，称这个场有“漏”或“汇”。下面给出矢量场F（x，y，z）在不同坐标系中散度的表示式。

在直角坐标系中

在柱坐标系中

在球坐标系中

0.3.2 散度定理

利用矢量场散度的定义，由式（0.3.3）可以得到

式（0.3.7）表明，矢量场F通过任意封闭曲面S的通量等于它所包围的体积V内的散度∇.F的体积分，称为高斯散度定理。利用此定理可将体积积分与面积积分互换。

0.4 矢量场的旋度和斯托克斯定理

0.4.1 矢量场的旋度

首先引入矢量场的环流量概念：矢量场F（x，y，z）沿任一封闭曲线的线积分称为该矢量场的环流量。

在场论中用环流量来描述矢量场的涡旋特性，但环流量的大小与曲线 L 所包围的面积有关，为了细微刻画矢量场中任意点处涡旋的性质，引入单位面积环流量的极限

式（0.4.2）表示矢量场F沿法向方向的涡旋量，称为矢量场F在该点的旋度的法向分量。式中，ΔS为闭合曲线所包围的面积，n为ΔS的正法线方向。

矢量场F的旋度∇×F仍是矢量，表示矢量场F在该点的最大涡旋量的方向和数值。如果∇.F≠0，称为有旋场，有旋场的场线是闭合曲线；∇.F=0，称为无旋场。

下面给出矢量场F（x，y，z）在不同坐标系中旋度的表示式。在直角坐标系中

在柱坐标系中

在球坐标系中

0.4.2 斯托克斯定理

利用矢量场旋度的定义，由式（0.4.2）可以得到

式（0.4.6）表明，矢量场F沿任一封闭曲线的环流等于其旋度∇×F对以该曲线所围面积的面积分，称为斯托克斯定理。利用此定理可将面积积分与曲线积分互换。

0.5 亥姆霍兹定理

一个矢量场A（x，y，z）按照其散度和旋度的取值情况，可以分为以下两类。

第一类为无旋场，满足这类矢量场的条件为

无旋场可以用一个标量场的梯度来表示为

无旋场又称为纵场。静电场就是无旋场。

第二类矢量场是无源场，满足这类矢量场的条件为

无源场可以用另一个矢量场F（x，y，z）的旋度来表示

无源场也称为横场。恒定磁场就是无源场。

根据无旋场和无源场的定义，可以得到以下两个恒等式。

（1）任何标量场的梯度均为无旋场

（2）任何矢量场的旋度均为无源场

一般的矢量场并不都是单纯的横场或纵场，其旋度和散度都可以不为零，因此，要确定矢量场的性质，需要同时知道其旋度和散度，不能任凭其中之一来确定矢量场的性质。同时还要注意，知道了散度和旋度，仅仅能确定矢量场函数满足的微分方程，要得到微分方程的唯一解，即确定矢量场的性质，还必须有适当的边界条件。

下面给出确定矢量场性质的亥姆霍兹定理。

（1）在无界区域中，一个矢量场可由该场在各处的散度值和旋度值，以及假定在无穷远处该场的散度值和旋度值为零的条件所决定。

（2）在有界区域中，要确定一个矢量场，除场在区域内各处的散度值和旋度值外，还必须要知道场在边界面上的法线分量值。

0.6 ∇算符对函数的运算

0.6.1 ∇算符的一般运算规则

在电磁场理论中，经常用到∇算符的运算，在场论中，∇算符具有三种作用方式：

（1）作用在标量函数ϕ（x，y，z）上，∇ϕ表示标量场ϕ（x，y，z）的梯度；

（2）通过点乘形式作用在矢量函数F（x，y，z）上，∇.F表示矢量场F（x，y，z）的散度；

（3）通过叉乘形式作用在矢量函数F（x，y，z）上，∇×F表示矢量场F（x，y，z）的旋度。

在直角坐标系中，∇算符定义为

∇算符具有两个基本性质，既具有矢量的性质，又是微分算符。将它作用于场量进行运算时，既要注意它的微分作用，又要考虑它的矢量性。需要注意的是，∇算符的微分只对其右方的物理量作用，与物理量之间的顺序不能随意调换。例如，∇.F是F的散度，而F.∇只是一个标量微分算符，即

可以证明，∇算符的运算公式如下，式中，φ、ψ为标量场，f、g表示矢量场。

式（0.6.3）用到了∇算符的微分性质，与对两个标量函数做微分运算的公式一致。

式（0.6.4）和式（0.6.5），∇算符求微分性质既要作用在标量φ上，又要作用在矢量 f 上，同时考虑到∇的矢量性质，点乘必须放在正确的位置上，例如，（∇.φ）f 没有意义，必须写成∇φ.f。

式（0.6.6），从微分运算看，既要对 f 作用，又要对g作用，所以应该有两项。该式相当于三矢量的混合积，用到混合积的运算法则。证明如下：

式（0.6.7）与式（0.6.6）证明方法类似，需要用到两次叉乘公式和算符∇的微分性质。式（0.6.8）的∇算符需对 f 和g作用，再利用三矢量叉乘公式，可以得到最后结果。式（0.6.9）和式（0.6.10）中，∇²为拉普拉斯算符，在直角坐标系下表示为

0.6.2 ∇算符的其他常用公式

1.∇算符对复合函数的作用

如某标量函数φ（u），且u=u（x，y，z），则有

同理可得

2.∇算符对R及R的作用

这里给定R=r-r′=（x-x′）e_x+（y-y′）e_y+（z-z′）e_z

一般情况下，有

如果考虑算符∇′作用在R上，有以下规律

于是，有

同时还可以得到如下公式

【例0-1】 证明，其中m为常矢量，r=xe_x+ye_y+ze_z。

证明：根据斯托克斯定理，取A=m×r，可以得到

根据式（0.6.7）可得

所以有

【例0-2】 证明，其中M₀为常矢量，r=xe_x+ye_y+ze_z。

证明：左边的式子满足

根据式（0.6.8）可得

由于M₀为常矢量，可以得到以下结果

又因为，于是可得

所以得到以下的关系

因为

而

同理可以得到

所以合并可以得到

0.7 张量简介

0.7.1 张量的概念

在0.1节介绍过，两个矢量A和B并列，它们之间不做任何运算，称为两个矢量的并矢或张量积，记为AB，设直角坐标系的单位基矢量为e₁、e₂、e₃ ，则并矢AB可写为

一般来说，AB≠BA。

在直角坐标系中，并矢有9个分量。

可以将9个分量写为

在三维空间中，具有9个分量的物理量称为二阶张量，并矢是二阶张量的一种特殊情形。

一般二阶张量可以写为

因此，并矢e_i e_j可以作为二阶张量的9 个基，一般二阶张量在这9 个基上的分量就是T_ij。通常可将标量称为零阶张量，将矢量称为一阶张量。

下面通过讨论弹性体的应力来说明张量的具体含义。当弹性体受到外力时，它内部的分子之间存在着相当复杂的作用力，内部相邻两部分之间的相互作用力，称为内应力。在宏观描述中，此内应力可用以下方式表示：如图0-3所示，在弹性体内，取任一微小的四面体，其斜面为任意面元dσ，假想有一P点通过该面元，它两面的物质受到大小相等而方向相反的力，用df表示dσ前方的物质通过此面元对后方物质的作用力。另三个面各为dσ_x、dσ_y、dσ_z ，方向分别沿三个坐标轴，其大小各为dσ_x=dσ_x .e_x、dσ_y=dσ_y .e_y、dσ_z=dσ_z .e_z。相应的作用力分别是d f_x、d f_y、d f_z。

图0-3 弹性体的应力

以四面体为研究对象，此时四面体内物质所受的合力为d f-d f_x-d f_y-d f_z ，由于四面体处于力学平衡状态，则有

令dσ_x上应力d f_x的 x、y、z 分量分别为d f_xx、d f_xy、d f_xz。并考虑到d f_x的大小与dσ_x大小成正比，则有

式中，T_xy表示通过方向沿x轴的单位面积，其前方物质对后方物质作用力的y分量，其余类推。利用前面诸关系式可得

引入并规定矢量从左边点乘T 是点乘T 中第一个单位矢量，则

这里引入的T 就是一个张量，其分量是T_ij ，它的第一个下标表示考虑应力的某个面的方向，第二个下标表示应力的某一分量。对方向沿x轴的面来说，T_xx描述法线应力，即张应力，而T_xy、T_xz描述切线应力，即切应力，其余类推。

如果T_ij所包含的9个量已知，则对任意方向的dσ所对应的d f 都可求出，于是P点处的应力情况就完全清楚了。因此，将T（或T_ij ）称为应力张量，后来把其他具有T_ij性质的量都称为张量，就是因为它最先是在讨论张力时引入的。

0.7.2 张量的主要性质

（1）如果T_ij=T_ji ，则称此张量为对称张量，其矩阵形式为对称矩阵，它具有6个独立分量。

（2）如果T_ij=-T_ji ，则称此张量为反对称张量，其矩阵形式为反对称矩阵，反对称张量的对角元素均为零，它只有三个独立分量。

（3）I=e₁e₁+e₂e₂+e₃e₃ 称为单位张量，其分量是 I_ij=δ_ij （δ_ij=0，当i≠ j时；δ_ij=1，当i=j时），单位张量与任意矢量的点乘等于该矢量。

0.7.3 张量的运算

1.张量的加、减法

设两个二阶张量和，则

张量加、减法运算只能在同阶张量之间进行，两个同阶张量相加、减，只需将各个对应分量相加、减。

2.张量的乘法

（1）标量与张量相乘

（2）矢量与张量点乘

运算结果是一个矢量。

若T=AB，

而

显然在一般情况下

只有当T 为对称张量时，式（0.7.14）两边才相等，若为反对称张量，T.f=-f.T。

（3）矢量与张量叉乘

运算结果是一个二阶张量。若T=AB，则 f×（AB）=（f×A）B。

显然一般情况下

另外，两个张量还有一次点乘和二次点乘运算，这里不再讨论。

习题

0.1 根据算符∇的微分性与矢量性，推导下列公式：

（1）∇（A.B）=B×（∇×A）+（B.∇）A+A×（∇×B）+（A.∇）B；

（2）。

0.2 设u是空间坐标x、y、z的函数，证明：

（1）；

（2）；

（3）。

0.3 设为源点r′到场点r的距离，R的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果：

①；②；

③；④。

（2）a、k及E₀均为常矢量，求：

① ∇.R；② ∇×R；

③（a.∇）R；④ ∇（a.R）；

⑤ ∇.E₀e^ik.R；⑥ ∇×E₀e^ik.R。

0.4 若m是常矢量，证明除R=0点以外，矢量的旋度等于标量的梯度的负值，即

式中，R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

第1章 静电场

静电场是静止电荷所产生的不随时间变化的电场，因此静电现象所涉及的电荷和场的分布与时间无关。

本章主要内容：静电场的基本规律和求解静电场分布的几种方法。

讲授思路：从库仑定律出发，通过静电场方程的积分形式，建立静电场方程的微分形式，引入电势及其微分方程，介绍几种求解静电场的方法。

1.1 真空中的静电场方程

1.1.1 库仑定律和电场强度

1.库仑定律

库仑定律是描述宏观电磁现象的三大实验定律之一，它表述为真空中静止点电荷Q对另外一个静止点电荷Q′的作用力F

式中，r 为由坐标原点到Q′的矢径，r′为由坐标原点到Q的矢径，ε₀为真空电容率（真空中的介电常数）。

库仑定律揭示了静电力的三个突出特点：

（1）相对静止的两个点电荷的作用力的大小符合平方反比律；

（2）力的方向沿着两个点电荷的中心连线，是一种有心力；

（3）库仑力满足矢量叠加原理，力的叠加原理和静电学方程是以线性方程相联系的。

2.电场强度

库仑定律只从现象上给出了作用力的大小和方向，并没有解决作用力的物理本质，即静电力是如何作用的。历史上有两种观点。

（1）点电荷Q直接把作用力施加于点电荷Q′上，称为超距作用。

（2）点电荷Q在空间激发电场，Q′受到的作用力是电场存在的一种表现形式，即使Q′不存在，Q激发的电场也是存在的，就是说Q在空间产生电场，电场再与Q′发生作用，这是场的观点。

从场的观点看，超距作用相当于Q产生的电场作用于Q′不需要时间，也即电荷之间相互作用的传递速度是无穷大。若仅局限于静电的情况，两种观点是等价的，但在运动电荷的情况下，两种观点显示出不同的物理内容，实践证明，场的观点是正确的。

3.用场的观点讨论库仑定律

对电荷有作用力是电场的特征性质，用场的观点对库仑定律的理解是描述一个静止电荷激发的电场与其他任何点电荷的作用力。

点电荷Q激发的电场强度为

库仑力F满足矢量叠加原理，同样，电场强度E也满足矢量叠加原理。

对点电荷系

在电荷连续分布的情况下，如图1-1所示。

图1-1 连续分布电荷的电场

为了反映相互作用在场中的传递特点，还必须研究一个电荷和它邻近的电荷是如何相互作用的，一点上的电场和它邻近的电场是如何联系的，需要找出静电场规律的微分形式。

1.1.2 静电场的散度

1.高斯定理的微分形式

在真空中静电场的高斯定理：通过任一闭合曲面 S 的电通量等于该封闭曲面所包围的电荷电量的代数和除以ε₀，而与闭合曲面外的电荷无关。

如果包围在封闭曲面内的电荷是连续分布的，其体密度为ρ，则闭合曲面内的总电荷为

这是高斯定理的积分形式（场与电荷的积分形式）。

为了求出电荷与电场的局域关系，即电场中一点与邻近一点的相互作用，通过高斯定理的积分形式，利用高斯散度定理可得到高斯定理的微分形式（场与电荷的微分关系）。

利用高斯散度定理

由式（1.1.8）则有

这是高斯定理的微分形式，是静电场的基本微分方程之一，反映了静电场的性质，静电场是有源场，电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷。

当ρ为正时，∇.E＞0，说明该点有“源”。

当ρ为负时，∇.E＜0，说明该点有“漏”。

当ρ=0时，∇.E=0，电场线没有发出，也没有终止，可连续通过。

2.静电场散度方程的局域性质

由式（1.1.9）可知，空间某处静电场的散度∇.E只和该点上的电荷密度有关，而和其他点的电荷分布无关。并不说明某点的电场强度E与其他电荷分布无关。

讨论题：如果库仑力不是与r²成反比，而是与r³成反比，电场线在无电荷时是否不中断?由此结论可以说明什么?

证明：如果高斯定理不成立，则电场线在无电荷处就可能中断。高斯定理来源于库仑定律，如果库仑定律中静电力不符合平方反比定律，那么高斯定理就不成立。因此只要证明如果静电力不是与r²成反比，而是与r³成反比，则问题得证。

假设点电荷在坐标原点处，其激发的电场为

图1-2 包围点电荷的闭合球面

由高斯定理，如图 1-2 所示，通过闭合球面S₁的电通量为

同理，通过S₂面的电通量为

由于，r₂＞r₁，则有Φ₂＜ ₁Φ。

说明有些电场线在S₁和S ₂之间中断了，但该处并无电荷存在。可见，电场线在无电荷处不中断是来源于高斯定理，实质上是库仑定律的推论，说明散度方程与静电力符合平方反比律有关。

1.1.3 静电场的旋度

静电场是一个矢量场，由矢量场论知道，要确定一个矢量场，只知道矢量场的散度是不能完全确定该矢量场的性质的，要完全确定静电场的性质，还需要给出其旋度。

静电场的散度是从静电场的高斯定理经积分变换得到的，可以联想到，静电场的旋度可以从静电场的另一基本定理得出。

静电场的环路定理

表示静电场力做功与路径无关。

利用斯托克斯定理

由于积分曲面S是任意的，则有

这是静电场环路定理的微分形式，是静电场的另一个基本方程。静电场的旋度为零，说明了静电场的无旋性，静电场的电场线分布呈无涡旋状结构。

无旋性仅在静电场情况下成立，在一般情况下，电场是有旋的（以后将讨论这个问题）。

1.1.4 真空中的静电场方程

真空中静电场的基本方程

因为是微分方程，所以也称为静电场方程的微分形式，静电场方程反映了静电场的基本性质，静电场是有源无旋场，源就是电荷。

【例1-1】电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并计算电场强度的散度和旋度。

解：（1）先求电场强度E

设电荷Q位于坐标原点，电场强度由高斯定理求得，由于球对称分布，高斯面上各点电场强度的大小E相同。

球外（r＞a），由高斯定理

球内（r＜a），高斯面内所包围的电荷为

（2）求∇.E和∇×E

当r＞a时，

由于（r≠0），则有

由于，则有

当r＜a时，

由于∇.r=3，又，则有

由于∇×r=0（r≠0），则有

本例题的结论：

讨论解的物理意义

（1）不论球内、球外，皆有∇×E=0，因为∇×E=0是静电场的普遍规律。

（2）在球内，，球外，∇.E=0，这说明∇.E的局域性质，即某点E的散度∇.E只与该点的ρ有关。在球外，虽然通过一包围电荷的封闭面的电通量不为零，但球外ρ=0，则∇.E=0。

（3）这个例题是对静电场方程的一个验证，静电场方程是任何静电场都必须遵守的基本定律。

1.2 电介质中的静电场方程

1.2.1 电介质的极化

1.电介质的结构

电介质是由分子组成的，分子是由带正电的原子和绕核运动的带负电的电子组成的，所以说电介质是一个带电的粒子系统，其内部存在着不规则的而又迅速变化的微观电磁场。

在研究宏观电磁现象时，我们所讨论的物理量是一个包含大量分子的物理小体积的平均值，此平均值称为宏观物理量。

电介质中的分子分为两类，无极分子（非极性分子）和有极分子（极性分子）。无极分子的正电中心和负电中心相重合，没有分子电偶极矩，如图1-3（a）所示。有极分子的正电中心和负电中心不相重合，有分子电偶极矩，如图1-3（c）所示。

图1-3 电介质中的分子

无外电场时：

（1）无极分子正、负电中心重合，无分子电偶极矩。

（2）有极分子有分子电偶极矩，但由于大量分子做无规则运动，取向混乱，在物体小体积ΔV内的分子电偶极矩的矢量和为零，即。

外电场作用下：

（1）无极分子的正、负电中心被拉开，如图1-3（b）所示，分子电偶极矩的矢量和不为零，即。

（2）如图1-3（d）所示，有极分子的电偶极矩平均有一定的取向，矢量和不为零，即。

在外电场作用下，介质内都出现了宏观的电偶极矩分布，因而介质表面或内部出现极化电荷（又称为束缚电荷）。在外电场作用下，介质内部及表面出现宏观电荷分布的现象称为介质的极化。无极分子的极化在于正、负电荷中心的相对位移，称为位移极化。有极

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