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作者：符果行著

出版社：电子工业出版社

出版时间：2016-03-01

书籍编号：30468321

ISBN：9787121281822

正文语种：中文

字数：218966

版次：3

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：电磁场与电磁波基础教程（第3版）

作者：符果行

ISBN：9787121281822

版权所有 · 侵权必究

第3版前言

在麦克斯韦理论的建立和应用发展过程中，始终贯穿着一条严密的理论推导线索：以三大实验定律为实验基础，以矢量分析为数学工具，建立了以场源相互作用规律和转换关系的静态场方程所描述的静态场理论，在时变条件下将静态场方程推广为动态场方程——麦克斯韦方程所描述的动态场理论；再利用麦克斯韦方程导出的波动方程的解——波函数中的物理参量去分析、解释和解决电磁波传播、传输和辐射工程领域中的电磁现象及相关技术问题。显然，波函数是用于定量描述电磁波运动状态变化规律的解析函数，其变化必定满足麦克斯韦方程及其导出的波动方程，同时受方程及相应边界条件的制约。因此，电磁场与电磁波这门课有着严密的科学体系。抽象的概念、复杂的数学推导和计算为读者学习这门课带来了相当的困难。为便于初学者能顺利阅读和理解，增加其可读性，本教材曾简化了某些理论推证。但简化理论推证必须遵循一个原则：不能破坏麦克斯韦理论的严密性。为了妥善处理可读性与严密性间的统一和协调关系，趁此次再版的机会，特将重要定理的严格推证为附录写入书中，以方便读者深入学习时可直接查找和参阅。

第3版不论对文字、公式和插图，均对本教程进行了较为全面的修订和完善。配套的电子教案和习题解答也进行了相应修订和完善。

恳请读者提出批评和指正。

符果行

2016年1月于电子科技大学

第2版前言

本次再版教材，仍然保持本书由特殊到一般，循序渐进，突出物理概念，简化理论推导，强调分析思路和工程应用的特色不变。

“电磁场与电磁波”教材，已经出版过按照各种教学体系和结构的很多版本，它们各具特点，适合于不同层次的读者阅读。教学实践表明，对于初学者，本书的体系和结构符合认知规律，更易于读者理解和接受。因此，本次再版对教材体系和结构未做重大变动。

本次修订侧重于两点：一是，对第1版进行进一步统一和完善，使之更臻成熟；二是，近年来随着科技发展的日新月异，新技术层出不穷，有必要对第1版中工程应用的部分内容进行必要的更新和增补。

为了突出“电磁场与电磁波”的理论体系和基本内容，本次再版特将书中属于自学的阅读材料（相关历史背景和人物及工程应用介绍）、思考题和习题用区别于正文的不同字体排版，以示区别。配套的电子教案和习题解答也做了相应修订。

欢迎读者在使用中提出改进意见。

符果行

2012年6月于电子科技大学

前言

本书是为初学者编写的“电磁场与电磁波”的入门教程，适合作为普通高等学校电子、信息和通信等专业的本、专科生教材，也供相关科技人员作为电磁场与电磁波的学习参考。

“电磁场与电磁波”课程的特点可以概括为：抽象化、数学化、难教难学。读者对象与课程特点间不相适应的差距所带来的困难，要求在教学上采用一定的方法来加以化解。据此，本书融入了作者约半个世纪的教学体验，着重基于教学角度考虑，从历史背景、物理概念、理论分析、计算方法和工程应用几方面全方位介绍电磁场与电磁波的基本知识，以麦克斯韦方程的建立与应用的历史发展脉络为主线展开论述，符合认识规律，便于阅读，易于理解。

本书第1、2章为数学、物理基础，第3、4章为电磁场部分，第5～7章为电磁波部分，第8章为概括和总结。本教程以电磁实验定律为基础（第2章），以矢量分析为工具（第1章），在时变条件下将静态场推广为动态场，建立反映动态场变化规律和特性的麦克斯韦方程（第3、4章），并将麦克斯韦方程用于解释、解决在传播、传输和辐射应用领域中动态场的波动问题（第5～7章），在此基础上从教学角度对电磁场与电磁波的主要问题进行综合分析（第8章）。

为了适应读者对象和课程特点的要求，本书在内容安排上具有如下特点：

（1）内容安排由特殊到一般，循序渐进，符合认识规律。

（2）强化和突出物理概念，简化理论推导，易于理解。

（3）系统介绍计算方法，范例强调分析思路，一例多解，开拓思路。

（4）以场为主，场、路结合，加强对比，融会贯通。

（5）重视工程应用，适当外延，满足不同专业教学需求（考虑到非电磁场专业一般很少安排电波传播、微波技术和天线工程等后继课程，本教程应适当涵盖这些课程相关的电磁基本原理，但不过多涉及具体工程技术问题。第5～7章作为以场论为基础的外延和应用，已适当奠定了后继的三门课程的理论基础。第3～7章介绍了电磁场与电磁波的工程应用）。

（6）思考题着重于物理概念和分析思路，可作为复习提纲。

（7）按基本要求精选或设计例题和习题，力求适合读者的接受程度（少量较难的习题给出提示）。

对本课程的学习方法和教材处理提出如下建议供参考。

（1）掌握“三基”：基本概念——理解；基本理论——推导；基本方法——计算。目的是提高电磁理论综合素养，增强分析、应用能力。但对初学者来说，基本理论主要强调推导思路。

（2）掌握公式的内涵：来龙去脉、应用条件、物理意义和计算方法。

（3）教学内容可针对不同对象做适当取舍：本科生应强调理论的系统性，工程应用内容可作为阅读材料或根据需要选讲；专科生可适当降低理论要求，对于较深的内容可以删减（如分离变量法和平面波的斜入射）或只做定性介绍（如电、磁能量和惠更斯面元）。

（4）建议教学参考学时为60～80学时。

本书提供免费电子课件和习题解答，可登录华信教育资源网（http：//www.hxedu.com.cn）注册下载。

在教材编写过程中，得到电子科技大学冯林、刘昌孝和吕明三位教授的大力支持和帮助，冯林教授还审阅了书稿部分内容，提出了宝贵的修改意见。教材配套电子课件由符凯、李化制作。陈付均在全书文字上做了许多工作，全力协助书稿的编写。对于他们的支持、帮助和卓有成效的工作，一并在此表示衷心的感谢！

在教材编写过程中，查阅了大量相关书籍和技术资料，吸取了许多专家和同行的宝贵经验，获得了有益的启示，在此向他们表示真诚的谢意！

对书中存在的不足之处，敬请广大读者批评指正。

符果行

2009年2月于电子科技大学

第1章 场论基础

矢量分析主要包含矢量代数、正交坐标系和矢量微积分，场的理论是通过矢量分析来表述的，所以矢量分析与场论密不可分。本章首先介绍场的数学概念和表示方法，进而对场的场域性质和场点性质及其描述方法做了对比讨论，着重讨论了标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的物理概念及其运算规律，在此基础上介绍总结矢量场性质的亥姆霍兹定理。

在各专业领域中，都有表述相关学科内容的特殊语言，如文学语言、绘画语言、音乐语言、舞蹈语言和计算机语言等。同样，矢量分析就是表述电磁场与电磁波问题的数学语言，它能定量、准确、简洁、紧凑而雅致地描述场与波的基本特性和变化规律，是学好本门课程的有力工具和入门基础。

1.1 场的概念和表示

1.1.1 场的分类

在一个空间区域中，某物理量的分布可以用一个空间位置和时间的函数来描述。若区域中每点每时刻都有一个确定值，则在此区域中就确定了该物理量的一种场。概括而言， 场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数。场在各点的数值能够用实验测量，或者根据某些其他量通过数学运算间接预计。

1.标量场和矢量场

物理量可能是一个标量或矢量，因而，场也可能是一个标量场或矢量场。标量场是指空间各点仅有确定大小的物理量，如温度场、密度场、气压场和电位场； 矢量场是指空间各点同时有大小和方向的物理量，如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场。

2.静态场和时变场

静态场是指仅由空间位置确定，不随时间变化的场，如静电场和静磁场； 时变场是指同时随空间位置和时间变化的场，如时变电磁场。时变场又称为动态场。

1.1.2 矢量场的基本运算

除去矢量除法没有定义外，矢量的加、减和乘都比标量的加、减、乘和除更加复杂。一个矢量A可用一条用箭头指示方向的线段来表示，线段长度表示矢量A的模A，箭头指向表示矢量A的方向，如图1.1所示。一个模为1的矢量称为单位矢量。取a_A表示与A同方向的单位矢量，则有A=a_AA，其中

1.矢量加、 减法

两个矢量A和B可按平行四边形法则相加，其对角线表示合成矢量C=A+B，如图1.2所示。矢量加法服从交换律和结合律

B和-B可以看做大小相等方向相反的两个矢量，故借助于矢量加法也可以实现矢量减法，如图1.3所示，有

图1.1 点P处的矢量

图1.2 矢量加法

图1.3 矢量减法

2.矢量乘法

一个标量η与一个矢量A的乘积ηA仍为一个矢量，其大小为|η|A，其方向由η的正负来确定：若η＞0，则ηA与A平行同向；若η＜0，则ηA与A平行反向。

两个矢量A和B的点积（或标积）A·B是一个标量，可看做两矢量相互投影之值，定义为

式中，θ的取值范围为0≤θ≤π。如图1.4所示，当θ为锐角、直角和钝角时，点积标量为正、零和负值。矢量的点积满足交换律和分配律。

图1.4 矢量点积

两个矢量A和B的叉积（或矢积）A×B是一个矢量，它垂直于A和B所在的平面，其指向按右旋法则来确定：当右手四指从矢量A旋转θ角至B时大拇指的指向，如图1.5所示，其定义为

叉积不满足交换律，但满足分配律，有

图1.5 矢量叉积

1.1.3 常用正交坐标系

一般性的矢量运算并未涉及具体的几何形状，但在实际工程应用中，往往要涉及具体的几何形状，直接运用矢量运算关系式来求解不同物体中的场解是十分复杂的。按物体形状引入相应坐标系，就可以在复杂的矢量运算中将矢量按坐标投影形式分解为简单的标量，然后再合成矢量。这样，不仅可以简化对电磁问题的分析和计算，更便于在坐标分量形式下考查电磁问题的物理特性，了解场的空间分布和变化规律。

三种常用坐标系是：直角（或笛卡儿）坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。直角坐标系是最基本、最简单的坐标系，其坐标单位矢量是常矢，而其他坐标系的坐标单位矢量一般是变矢，其方向随空间位置不同而变化。我们应当首先重点掌握直角坐标系及其应用。

1.直角坐标系

图1.6 直角坐标系

如图1.6所示，直角坐标系中的三个坐标变量是x，y和z，点P（x₀，y₀，z₀）是三个平面x=x₀，y=y₀和z=z₀的交点。通过该点的三个正交单位矢量a_x，a_y和a_z指向x，y和z增加的方向，且满足如下右旋关系

矢量A和B在直角坐标系中分解为如下三个分量

显然，A和B的代数运算满足如下关系

在直角坐标系中，点P的位置矢量

其微分为

2.圆柱坐标系

如图1.7所示，圆柱坐标系中的三个坐标变量是ρ，φ和z，点P（ρ₀，φ₀，z₀）是圆柱面ρ=ρ₀、半平面φ=φ₀和平面z=z₀的交点。通过该点的三个正交单位矢量a_ρ，a_φ和a_z指向ρ，φ和z增加的方向，且满足如下右旋关系

图1.7 圆柱坐标系

矢量A和B在圆柱坐标系中分解为如下三个分量

显然，A和B的代数运算满足如下关系

在圆柱坐标系中，点P的位置矢量可由半平面φ=φ₀上的几何关系得到

在工程应用中，由于涉及不同形状的物体，为了分析计算在边界影响下存在的实际电磁结构及其场解，往往需要同时采用几个不同的坐标系，此时需要进行不同坐标系间的相互转换。包括坐标系、单位矢量和矢量间的变换等，详见附录B。这里只写出圆柱坐标系与直角坐标系间的变换与逆变换公式

3.球坐标系

如图1.8所示，球坐标系中的三个坐标变量是r，θ和φ，点P（r₀，θ₀，φ₀）是球面r=r₀、正圆锥面θ=θ₀和半平面φ=φ₀的交点。通过该点的三个正交单位矢量a_r，a_θ和a_φ指向r，θ和φ增加的方向，且满足如下右旋关系

图1.8 球坐标系

矢量A和B在球坐标系中分解为如下三个分量

显然，A和B的代数运算满足如下关系

在球坐标系中，点P的位置矢量可由球面r=r₀上的几何关系得到

球坐标系与直角坐标系间的转换关系详见附录B。这里只写出它们间的变换与逆变换公式

1.2 场的性质和描述

1.2.1 场域性质

场是有限空间区域中位置的分布函数，可以表示成位置矢量或三维坐标的解析函数形式。在实际应用中，常常需要了解场在有限区域中的分布状况，以及场与产生它的源的相依关系。对于抽象的场，我们的确能够应用相应的函数形式来精确描述，但直观性不够。为了更加形象地描述场的空间分布状况，可用分布于有限区域界面或界线内的等值面簇或等值线簇来表示标量场，用穿过有限区域界面或界线的矢量线簇来表示矢量场。所谓场的场域性质，是指场在空间有限区域的分布状况。由于限于有限区域，通常采用积分形式来表述，所以场的场域性质又称为积分性质。

1.标量场的等值面

在研究标量场时，引入等值面可以形象、直观地描述场的空间分布状况。在标量场中，使标量函数u（x，y，z）取相同数值的点形成的空间曲面，称为标量场的等值面。对于任意给定常数C，描述曲面的轨迹方程

就是等值面方程。

标量场的等值面具有如下特征：

（1）常数C取不同数值时，就得到不同的等值面方程，因而形成充满标量场u所在空间的等值面簇，如图1.9所示；

（2）由于u（x，y，z）是坐标的单值函数，场中任意一点只能在一个等值面上，标量场的等值面互不相交；

（3）三维标量场退化为二维或一维的标量场时，等值面退化为等值线（曲线或直线）。

例如，温度场中的等温面，引力场中的等势面，电位场中的等位面及气象图中的等压线和地形图中的等高线等，都是具体应用实例。图1.10表示位于坐标原点，电量为q的点电荷在自由空间任意点（x，y，z）所形成的等位面簇。其电位表达式为

图1.9 等值面簇

等位面方程x²+y²+z²=C所描述的曲线是一簇以原点为球心的同心球面。图1.11表示地形图中的等高线，曲线的分布状况和疏密程度可以判断山势的高低和坡度变化的缓急。在现实生活中，按这样的思路描述物体的空间形状和位置的实例不胜枚举。例如，在医疗检测仪器中，用于探测脑部瘤肿形状、大小和位置的CT或核磁共振技术，电视气象预报中的卫星云图，影视动画中用电脑绘制二维或三维动画的分格技术等，尽管并不一定包含“等值”这一特性，但其所采用的描述空间形状分布的方式是一致的。

图1.10 点电荷的等位面簇

图1.11 地形图的等高线

2.矢量场的矢量线

矢量场的空间分布状况，可以引入矢量线簇来描述。这是一种有向曲线，某点场的大小用该点附近矢量线分布的疏密度来表示，场的方向与该点场矢量的切线方向一致。因此，每点场的大小和方向都可能不相同，表明矢量场是位置的函数，可以用一个矢量函数F（r）来表示。在直角坐标系中表示为

图1.12表示矢量线簇的分布，设点P（x，y，z）是场中矢量线上任意一点，其矢径为

则其微分矢量

图1.12 矢量线簇

为曲线在点P的切向矢量。按照矢量线的定义，在点P处dr与F共线，故必有dr∥F。由此可知，矢量线满足微分方程解此微分方程可得充满整个空间、互不相交的矢量线簇。

例如，流体中速度场的流线，静电场中的电场线，静磁场中的磁场线等，都是矢量线的例子。以图1.10中点电荷q所产生的静电场为例，其电场强度为

由式（1.34）可求得矢量线的微分方程组为

由此解得

这是从点电荷q所在坐标原点处发出的射线束，如图1.13所示。这是起于正电荷，止于负电荷的电力线。

再以直线电流在周围空间产生的静磁场为例，包围电流的磁力线是一簇旋向与电流流向呈右旋关系的闭合线，如图1.14所示。可见电荷源和电流源是两类不同性质的源，它们产生的场也具有不同的性质。

图1.13 点电荷的电力线

图1.14 直线电流的磁力线

在有限空间中，如何利用矢量线簇来描述矢量场的分布状况呢？我们可以设想，有一簇矢量线以任意方向穿过有限区域的界面或界线，一般情况下，总可以将穿过界面或界线上的场分解为法向分量和切向分量。根据前面所述例子可知，有两类不同的源，分别产生不同的场，如果将任意方向矢量线所表示的场的法向分量和切向分量，理解为分别由这两类场源所产生的不同性质的场，那么，任意取向的场就可看做这两种场的合成值。由此得到一个启示：研究有限空间中矢量场的场域性质，应当同时考查两类源（如上例中的电荷源和电流源）所产生的场分别穿过包围两类源的闭合曲面法向方向的通量和闭合曲线切向方向的环量。只有同时从这两个侧面来研究矢量场的场域特性，才能完备地描述矢量场在有限区域的分布状况。

3.矢量场的通量和环量

如图1.15所示，设S为空间有向曲面，dS为其上的有向曲面元，取一个与此曲面元相垂直的单位矢量a_n，则矢量dS=a_ndS称为有向曲面元的数学表达式。有向曲面S是指其大小为S，方向沿曲面的垂直方向a_n的曲面。对于未闭合的曲面，曲面a_n的指向与其周界线走向呈右旋关系；对于闭合的曲面，曲面a_n指向其外法向。

图1.15 矢量场的通量

矢量场F穿过有向曲面元dS的通量定义为

将曲面S上各面元dS相叠加。对于开曲面S，通量为

显然，ψ的大小和正负取值由F与a_n的取向确定。对于闭曲面S，如图1.16所示，通量为

由式（1.35）可知， 矢量场对有向曲面的面积分称为矢量场通过该有向曲面的通量，它描述了矢量场通过有向曲面的数量，所以用点乘表示为标量。由图1.16中可以看出：当θ＜π/2时，表示F线穿出dS，dψ取正值；当θ＞π/2时，表示F线穿入dS，dψ取负值。对整个闭曲面积分，则通量ψ表示穿过曲面S的所有±dψ的代数和，称为净通量。讨论如下三种情况：

（1）当ψ＞0时，表示穿出闭曲面S的通量线多于穿入的通量线，闭曲面S内必有发出通量线的正通量源。例如，静电场中的正电荷发出的电力线就是正通量源；

（2）当ψ＜0时，表示穿出闭曲面S的通量线少于穿入的通量线，闭曲面S内必有汇聚通量线的负通量源。例如，静电场中的负电荷汇聚的电力线就是负通量源；

图1.16 矢量场的闭曲面通量

（3）当ψ=0时，表示穿出和穿入闭曲面S的通量线相等，闭曲面S内无通量源。

可以看出，在有限空间区域内，穿过闭曲面的通量必定与闭曲面内产生矢量场的源存在着相依关系。例如，物理学的高斯定理公式，它表示真空中的电场强度穿过任一闭曲面的通量等于该闭曲面包围的电荷量与真空介电常数之比。

图1.17 矢量场的环量

如图1.17所示，设l为空间有向曲线，dl=a_tdl为其上的有向曲线元，其大小为dl，方向沿l的切线方向a_t。取F与dl的点积dΓ=F·dl，并沿l积分。对于开曲线和闭曲线，可分别定义矢量场沿有向曲线的环量为

由式（1.36）可知， 矢量场沿有向曲线的线积分称为矢量场沿该有向曲线的环量，它描述了矢量场沿有向曲线的数量，所以用点乘表示为标量。显然，Γ的取值由F与dl的取向确定。当θ=0时，F与dl取向相同，dΓ＞0；当θ=π时，F与dl取向相反，dΓ＜0。对整个闭曲线积分，则环量Γ表示在曲面S上沿其所有周线l的±dΓ的代数和，称为净环量。显然，如果矢量场的环量不等于零，场中必定存在产生该矢量场的源。但这种源与通量源不同之处是它不发出或汇聚矢量线，其所产生矢量场的矢量线是闭合曲线，称为旋涡源。

可以看出，在有限空间区域内，沿闭曲线的环量必定与穿过闭曲线产生矢量场的源存在着相依关系。例如，物理学的安培环路定理公式，它表示真空中的磁感应强度沿任一闭曲线的环量等于该曲线包围的电流量与真空介磁常数的乘积。

1.2.2 场点性质

引入标量场的等值面簇，矢量场的通量和环量，能够形象、直观地描述空间区域中场的总体分布，是一种整体性的了解。这种描述方法往往不能揭示任意点场的物理特性，不能反映场在该点邻域内的空间变化规律，有必要对某点的场做局部性的了解。例如，点电荷的静电场可以引入一簇等位球面来描述，在同一等位面上，任何点都不变化，只有穿过不同等位面才产生空间变化；高斯定理和安培环路定理分别建立了电场强度和磁感应强度的总通量和总环量与总电荷和总电流的关系，在包围源量的区域内，不管源的分布状况有何变化，只要满足总源量不变，就不会影响总通量和总环量之值，因此完全无法反映区域内任意点因源分布变化导致的场的空间变化情况。为了揭示有限区域内任一点场的物理特性，可以采用取极限的方法，将范围缩小至该点，分别考查标量场在该点穿过不同等位面沿任意方向变化的标量场线密度及矢量场在该点的通量体密度和环量面密度，进而定义出描述某点标量场的梯度及矢量场的散度和旋度。由于这些密度函数描述了场在某点的空间变化率，需要引入微分形式来表示，又由于某些密度函数与方向有关，常引入矢量微分来表示。由此可知，所谓场的场点性质，是指场在某点的空间变化率。由于限于某一点，通常采用微分形式来表述，所以场的场点性质又称为微分性质。场点描述法，不仅可以表示场的局部变化规律，而且因为矢量微分的引入，矢量分析这一有用的数学工具由此得到充分应用，有利于在实际应用中对场进行分析和计算。

1.标量场的梯度

为了考查标量场中某点在其邻域内沿各个方向的变化规律，需要引入方向导数和梯度的定义。如图1.18所示，设点P 为标量场u（P）中的一点，自点P 引出一条射线l，点P是l上的动点，它到点P₀的距离为Δl。当点P沿l趋近于点P₀时，比值的极限定义为标量场u（P）在点P₀处沿l方向的方向导数，记为

由定义可知， 标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上对距离的变化率。

在直角坐标系中，可以分解为三个投影分量，如图1.19所示。根据复合函数求导法则，有

图1.18 方向导数

图1.19 方向导数的直角分量

若射线l对坐标的方向余弦为cosα，cosβ和cosγ，由几何关系知和，则得方向导数的直角表达式

在标量场中，从给定点出发有无限多个方向，而且在不同方向的变化率往往不同。那么，沿哪个方向变化率最大？其最大变化率又是多少？由于方向导数的不确定性，无法回答这些问题，为此可以引入梯度的定义。显然，在无限多个方向中，必定存在一个具有最大变化率的方向导数。由于它具有确定方向，应当用矢量表示梯度。

标量场在某点的梯度是一个矢量， 其大小为具有最大变化率的方向导数， 其方向为变化率最大的方向。设标量场u在点P变化率最大时的方向导数为（∂u/∂l）_max，该变化率最大的方向用单位矢量a_l表示，引入记号grad表示u的梯度，则梯度定义式记为

在图1.20中，考虑直角坐标系中两矢量a_l和G_m的点积。其中，a_l为任意方向射线l上的单位矢量，G_m为与u有关的固定矢量，表示为

图1.20 梯度与方向导数的投影关系

由式（1.38）可得

讨论：

（1）当矢量l旋向矢量G_m时，（G_m，a_l）=0，是G_m的模，标量场u有最大变化率，G_m就是标量场u的梯度，由式（1.39c）知，梯度在直角坐标系中的表达式为

（2）当矢量l旋至与矢量G_m垂直时，，标量场u在垂直于矢量G_m的方向无变化，是等值面所在位置。

标量场u中点P处场量的方向导数、梯度和等值面间的关系，如图1.21所示。看出，梯度具有如下特性：

（1）标量场u的梯度gradu是一个矢量场，称为梯度场；

（2）标量场u在给定点P沿l方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影（如图1.20所示）；

（3）梯度方向的方向导数为正值，梯度总是指向标量函数u增大最快的方向；

（4）标量场u在点P的梯度垂直于过该点的等值面，即在等值面的法线方向，标量场变化最快。

以高楼建筑为例，它处于垂直向下的地球引力场中，等势面平行于地面，其量值向上递增，如图1.22所示。要到达高层建筑物，若沿楼梯上去，其陡度由沿梯格方向的方向导数来表示；若沿电梯垂直上楼，陡度最大，标量势具有最大变化率，其陡度由沿电梯上升方向的梯度来表示。梯度G_m与引力F_g等值反向。

图1.21 方向导数、梯度和等值面的关系

图1.22 势场的方向导数、梯度和等势面实例

在矢量分析中，常引入矢性微分算符“▽”（读作“del”或“Nabla”），以简化分析和计算。在直角坐标系中

将之作用于标量场u，可得

当矢性微分算符▽作用于标量或矢量函数时，它同时具有矢量性和微分性。显然，梯度是表示标量场在某点的空间变化率，且在特定方向有最大值。在数学上，我们自然会想到采用矢量空间导数（三维）来表示，而▽正好是这样的运算符号。其中，三维空间导数表示空间变化率，矢量表示方向。需要指出，当函数置于▽之前时，▽就只能作为矢量参与函数的运算。

【例1.1】 已知R为场点P（x，y，z）与源点P′（x′，y′，z′）的距离，▽和▽′分别表示对场点和源点求导，如图1.23所示。计算）之值，并表示出它们间的关系。

解：

点P和点P′的位置矢量为

图1.23 场点和源点的矢量表示

对场点和源点求导的算符为

代入式（1.42），得

1 R对y，z求导可得类似关系式，故有

同理，对x′，y′和z′做类似微分运算时，必须反号，故得

【例1.2】 如图1.24所示，已知点电荷q在场点P的电位为

求Φ的梯度，并讨论

....