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作者：法林、

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2013-01-01

书籍编号：30470901

ISBN：9787115293220

正文语种：中文

字数：185073

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：电磁场与电磁波

作者：法林　申宁　张延冬等

ISBN：9787115293220

版权所有 · 侵权必究

前言

“电磁场与电磁波”是高等院校电子信息类专业的一门重要基础课，其理论涉及通信、雷达、遥感、导航、电子对抗、地球物理等各个领域。本门课程是学生在学完“高等数学”、“大学物理”和“数学物理方程”等课程之后开设的后续课程，通过该门课程的学习，可以使学生掌握电磁场与电磁波的基本理论，学会用“场”的思想分析和解决问题，提高学生的抽象思维能力和科技创新能力。

本书是基于编者多年从事电磁场与电磁波教学和科研工作的经验编写的，在编写过程中吸取了国内、外同类教材的优点，力求做到结构合理、层次分明、重点突出，理论和概念的表述准确明了，数学推导严谨易懂。对于基本方法通过例题说明，注重与实际应用相结合。

全书共分6章，由矢量分析、静态场、时变场三部分内容构成。第一部分为第1章矢量分析，介绍了矢量分析的概念、定理、公式，并给出亥姆霍兹定理，它是学习本课程的主要数学工具；第二部分静态场（包括静电场、恒定电场和恒定磁场），内容包括第2章静态电场、第3章恒定磁场和第4章静态场的边值问题，详细阐述了静态场的基本方程、基本性质和各种求解方法以及电容、电感、能量和力的计算，以唯一性定理为理论依据，重点介绍了镜像法和分离变量法的基本思想和具体求解方法；第三部分时变场，内容由第5章时变电磁场和第6章正弦平面电磁波构成，主要讨论了时变场和时谐场的麦克斯韦方程、位函数、边界条件和能量，以及平面波的传播、极化、反射和透射的规律和现象。它们是进一步学习电磁波的基础。附录列出了常用的矢量公式，可供学生查阅。另外，为了加深学生的理解，培养学生分析和解决问题的能力，每章之后附有一定数量的习题，同时书后附有简单的习题答案。

本书的内容结构安排特点如下。

（1）根据编者的教学经验和体会，先学习静态场，学生更容易学习时变场的内容。以亥姆霍兹定理为理论依据，给出一个整体框架，使学生明白每章所要学习的内容，通过静态场的学习，引出时变场的麦克斯韦方程组，给出静态场是时变场的特例。

（2）不同于大多数的教材，本书去掉了导行电磁波与电磁辐射的内容。这主要是基于48学时课程的考虑，并且“微波技术基础”和“天线与电波”等后续课程中都有此内容的详细阐述。

（3）在内容安排上注意重点和难点问题，或一般教材中讲述较少的内容。例如：从物理概念上清楚阐述了感生电动势和动生电动势的相对关系，从而可以加深对麦克斯韦第二方程的理解。

（4）在内容讲解上，对全书核心内容的麦克斯韦方程组的各个方程都做了详细的推证和讲解。

（5）本书注重教学内容和实际应用相结合，例如文中给出了磁偶极子在石油测井中的应用实例。

本书采用SI国际单位制，以黑斜体表示矢量，时谐场的时间因子采用ejωt。

本书第1章和附录由范瑾编写，第2章由张延冬编写，第3章由申宁编写，第4章由法玉晓编写，第5章和第6章由法林编写。李国辉、孙继刚、王蕾和史盟对编写此教材做了大量工作，在此致谢。本书的编写得到了国家自然科学基金项目40974078的资助。由于编者水平有限，书中不妥之处在所难免，敬请广大读者提出宝贵意见，联系方式：fa_yy@yahoo.com.cn。

编者

2012年7月9日

第1章 矢量分析

在学习和研究电磁现象时，会涉及一些主要的物理量，如电场强度、电通密度、磁场强度、磁通密度，这些物理量都是矢量。这些矢量型物理量的时间和空间分布构成了电磁矢量场。分析、处理电磁矢量场的数学方法是矢量分析，其主要内容是关于标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的计算。本章将给出梯度、散度和旋度的定义及相关的运算法则、公式，并在此基础上介绍亥姆霍兹定理。

1.1 标量场和矢量场

1.1.1 标量

电磁理论中遇到的物理量可分为标量和矢量两类。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。电荷量、电位、能量等都是标量。这些量中的每一个量，用单纯的一个数就可以完整的描述，如0.1C的电荷、220V的电压等。

1.1.2 矢量

一个不仅有大小而且有方向的物理量称为矢量。如电场强度、磁场强度、速度等。

图1.1.1 矢量图示

在三维空间中，一个矢量常用一条有向线段来图示，有向线段的长度表示该矢量的大小，而有向线段的方向即该矢量的方向，如图1.1.1所示。其中Α表示一个从O点指向P点的矢量。

矢量Α可以表示为

Α=AeA　　　　　　　　　　　　(1.1.1)

其中A是Α的大小，称为模，由式（1.1.2）表示；eΑ是Α的单位矢量，即方向与Α的方向相同，大小为1的矢量，由式（1.1.3）表示。

1.1.3 标量场和矢量场

在电磁场与电磁波这门课程中，我们从头到尾都在和场打交道。实际上，人们周围的空间也确实存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；人们能感觉到室内外的冷暖，说明我们周围分布着一个温度场等。那么到底什么是场呢？

从数学意义上理解，场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。从物理意义上理解，场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的、能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。

例如，温度场就由温度T这个特定量来描述，只要知道了场中各点温度的大小，该温度场就被确定了，这种只有数值大小的物理量称为标量，该场称为标量场；还有一种场，如本书中讨论的电场，电场强度E是描述电场的特定量之一，不仅需要知道它的大小，还要知道它的方向，这样才能完全确定它，这样的物理量称为矢量，该场称为矢量场。

1.2 矢量运算

1.2.1 矢量加法

两个矢量相加，其和服从平行四边形法则，如图1.2.1所示。

C=Α+B　　　　　　　　　　　　　　(1.2.1)

矢量加法服从交换律和结合律，即

C=Α+B=B+Α　　　　　　　　　　　　(1.2.2)

Α+B+C+D=(Α+B)+(C+D)=Α+(B+C)+D　　　　　　(1.2.3)

矢量加法是几个矢量的合成问题，反之，一个矢量也可以分解成几个矢量。例如把矢量Α放在直角坐标系中，可以分解为Αx、Αy和Αz。根据矢量加法，Α为这 3 个矢量之和，如图 1.2.2所示。

图1.2.1 矢量相加

图1.2.2 直角坐标系中的矢量

Α=Αx+Αy+Αz　　　　　　　　　　　(1.2.4)

在直角坐标系中，3个轴方向上的单位矢量分别为ex、ey、ez。矢量Αx，Αy和Αz分别为矢量Α在x、y、z轴方向上的投影，用Ax、Ay、Az表示，则

Α=exAx+eyAy+ezAz　　　　　　　　　　(1.2.5)

可见，Α的模为

Α的单位矢量eA为

由图1.2.2可知

其中α、β和γ分别为矢量Α与3个坐标轴方向的夹角。cosα、cosβ和cosγ称为矢量Α的方向余弦。

设有3个矢量Α、B和C，在直角坐标系中可分别表示为

Α=exAx+eyAy+ezAz　　　　　　　　　　(1.2.9)

B=exBx+eyBy+ezBz　　　　　　　　　　(1.2.10)

C=exCx+eyCy+ezCz　　　　　　　　　　(1.2.11)

则3个矢量相加为

Α+B+C=ex(Ax+Bx+Cx)+ey(Ay+By+Cy)+ez(Az+Bz+Cz)　　　(1.2.12)

1.2.2 矢量减法

矢量减法的定义为

Α−B=Α+(−B)　　　　　　　　　　　　(1.2.13)

式中−B称为B的逆矢量，它的大小和矢量B的大小相等，但方向与B相反，如图1.2.3所示。

图1.2.3 矢量减法

1.2.3 标量和矢量乘积

一个标量k与一个矢量Α的乘积仍为一个矢量，即kΑ。显然，该矢量的大小为Α矢量的|k|倍。若k＞0，则kΑ与Α同向；若k＜0，则kΑ与Α反向。

1.2.4 两矢量的标量积

两矢量的标量积亦称点积，定义为两矢量的大小与它们之间较小的夹角的余弦之积，结果是一个标量，可表示为

如图1.2.4所示。

图1.2.4 矢量点积

由式（1.2.14）可知，时，标量积为零，因此，两非零矢量Α与B的正交条件为

Α· B=0　　　　　　　　(1.2.15)

两矢量点积服从交换律和分配律，即

在直角坐标系中，ex、ey、ez3个单位矢量互相正交，根据标量积定义可得

于是两矢量的标量积可表示为

1.2.5 两矢量的矢量积

两矢量Α和B的矢量积亦称叉积，其结果是一个矢量，用矢量C表示。矢量C的大小定义为|Α||B|sinθ，方向垂直于矢量Α和B构成的平面，且矢量Α、B和C三者符合右手螺旋法则，其数学定义式为

式（1.2.21）中，θ为矢量Α和B的夹角，如图1.2.5所示。

图1.2.5 矢量叉积

根据两矢量叉积的定义和右手螺旋法则可以看出

Α×B=−B×Α　　　　　　　(1.2.22)

式（1.2.22）说明两矢量叉积不服从交换律，但服从分配率，即

Α×(B+C)=Α×B+Α×C　　　　(1.2.23)

两矢量叉积不服从结合律，即

(Α×B)×C≠Α×(B×C)　　　　　　　　(1.2.24)

对于直角坐标系，由矢量积定义可得到单位矢量之间的关系

于是矢量积在直角坐标系中可表示为

式（1.2.27）也可用行列式表示，即

1.2.6 矢量三重积

3个矢量Α、B和C相乘可以分为两种情况：Α·(B×C)结果是一个标量，称为标量三重积；Α×(B×C)结果是一个矢量，称为矢量三重积。在矢量运算中，规定先进行叉积运算，后进行点积运算。

标量三重积和矢量三重积具有如下运算性质

Α·(B×C)=B·(C×Α)=C·(Α×B)　　　　　　　(1.2.29)

Α×(B×C)=(Α·C)B−(Α·B)C　　　　　　　(1.2.30)

1.3 3种正交坐标系

在矢量微积分中，经常要进行曲线积分、曲面积分和体积分，需要写出对应的微分元，如微分长度、微分面积和微分体积，它们分别称为线元、面元和体积元。这里的线元和面元均为矢量，是有方向的。

在不同的坐标系中，微分元的表达式也各不相同。在电磁理论中，最常用的坐标系为直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。下面来阐述在不同坐标系下各微分元的构成。

1.3.1 直角坐标系

在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，变化范围分别是：−∞＜x＜+∞，−∞＜y＜+∞和−∞＜z＜+∞。坐标变量x、y和z都是长度量。点P(x0,y0,z0)是x=x0、y=y0、z=z03个坐标平面的交点。由图1.3.1可看出，线元、面元和体积元的表达式如下。

图1.3.1 直角坐标系

（1）线元

dl=exdx+eydy+ezdz　　　　　　　　　　(1.3.1)

（2）面元

dSx=exdydz　　　　　　　　　　　　(1.3.2)

dSy=eydxdz　　　　　　　　　　　　(1.3.3)

dSz=ezdxdy　　　　　　　　　　　　(1.3.4)

（3）体积元

dV=dxdydz　　　　　　　　　　　　　(1.3.5)

1.3.2 圆柱坐标系

在圆柱坐标系中，坐标变量为(ρ,φ,z)，变化范围分别是：0≤ρ≤+∞、0≤φ≤2π、−∞＜z＜+∞。坐标变量ρ和z是长度量，φ是角度量。如图1.3.2所示，点P(ρ0,φ0,z0)是ρ=ρ0的柱面、φ=φ0的半无限大平面、z=z0的平面的交点。由图 1.3.2 可看出，线元、面元和体积元的表达式如下。

图1.3.2 圆柱坐标系

（1）线元

dl=eρd ρ+eφρd φ+ezd z　　　　　　　　　　(1.3.6)

（2）面元

dSρ=eρρd φd z　　　　　　　　　　　(1.3.7)

dSφ=eφdρdz　　　　　　　　　　　　(1.3.8)

dSz=ezρdρdφ　　　　　　　　　　　(1.3.9)

（3）体积元

dV=ρdρdφdz　　　　　　　　　　　　(1.3.10)

1.3.3 球坐标系

坐标变量r是长度量，θ和φ是角度量。如图 1.3.3 所示，点P(r0,θ0,φ0)是r=r0的球面、φ=φ0的半无限大平面、θ=θ0的锥面的交点。由图1.3.3可以看出，线元、面元和体积元的表达式如下。

图1.3.3 球坐标系

（1）线元

dl=erd r+eθr dθ+eφr sinθdφ　　　　　　　　　(1.3.11)

（2）面元

dSr=err2sinθdθdφ　　　　　　　　　　(1.3.12)

dSθ=eθr sinθd r dφ　　　　　　　　　　(1.3.13)

dSφ=eφr d r dθ　　　　　　　　　　　(1.3.14)

（3）体积元

dV=r2sinθdrdθdφ　　　　　　　　　　　(1.3.15)

1.4 矢量在不同坐标系中的变换

在工程计算中，为了简化计算公式，又需要将某一种坐标系变换到另外一种坐标系——经常遇到的是圆柱坐标系及球坐标系同直角坐标系之间的变换。

1.4.1 圆柱坐标系与直角坐标系间的变换

圆柱坐标系的坐标变量为ρ、φ和z，与直角坐标系中的坐标变量x、y和z之间满足下列变换关系（如图1.4.1所示）。

若矢量Α在直角坐标系中为

Α=exAx+eyAy+ezAz　　　　　(1.4.2)

图1.4.1 圆柱坐标系和直角坐标系中单位矢量间的变换关系

式（1.4.2）中分量Ax、Ay和Az是坐标x、y和z的标量函数。同理，矢量Α在圆柱坐标系中为

Α=eρAρ+eφAφ+ezAz　　　　　　　　　　(1.4.3)

式（1.4.3）中分量Aρ、Aφ和Az是坐标ρ、φ和z的标量函数。根据标量积定义可得

进一步将标量积展开可得

只要求出直角坐标系和圆柱坐标系单位矢量的标量积，式（1.4.5）中矢量分量间的变换就可完全确定。如图1.4.1所示，直角坐标系单位矢量ex、ey和ez在圆柱坐标系eρ、eφ和ez方向上的投影分别为

式（1.4.5）和式（1.4.6）是将直角坐标系中矢量变换到圆柱坐标系中的关系式。采用类似的方法，也可得到圆柱坐标系中的矢量变换到直角坐标系中的关系式。为了便于记忆，这里采用矩阵形式。我们将上述关系用矩阵方式表示为

同理可得

【例1.4.1】 试将圆柱坐标系中的矢量Α=−eφρ+ezz变换为直角坐标系中的表达式。

解法1 按题意有

Aρ=0，Aφ=−ρ，Az=z

设Α矢量在直角坐标系中表示为

Α=exAx+eyAy+ezAz

其中

Ax=eφAφ· ex=ρsin φ

Ay=eφAφ· ey=−ρcos φ

Az=Az=z

根据坐标变换关系，由式（1.4.1b）最后可得

Ax=y

Ay=−x

Az=z

因此

Α=exy−eyx+ezz

解法2 直接利用矩阵式（1.4.7）

同样得

Α=exy−eyx+ezz

1.4.2 球坐标系与直角坐标系间的变换

类似地，从图1.3.3（a）中可以看出，球坐标系的坐标变量r、θ和φ与直角坐标系的坐标变量x、y和z之间的关系为

若矢量Α在直角坐标系中为

Α=exAx+eyAy+ezAz

式中分量Ax、Ay和Az是坐标x、y和z的标量函数。同理，矢量Α在球坐标系中为

Α=erAr+eθAθ+eφAφ　　　　　　　　　　(1.4.10)

式（1.4.10）中分量Ar、Aθ和Aφ是坐标r、θ和φ的标量函数。根据标量积定义可得

进一步将标量积展开得

Ar=Α·er=exAx·er+eyAy·er+ezAz·er　　　　　　　(1.4.12a)

Aθ=Α·eθ=exAx·eθ+eyAy·eθ+ezAz·eθ　　　　　　　(1.4.12b)

Aφ=Α·eφ=exAx·eφ+eyAy·eφ+ezAz·eφ　　　　　　　(1.4.12c)

由图1.3.3，不难看出，两坐标系单位矢量的标量积为

将式（1.4.13）代入式（1.4.12）中，可写出矢量Α从直角坐标系变换到球坐标系中的表达式，反之，也可写出从球坐标系变换到直角坐标系的变换表达式。为了便于记忆，我们将上述关系用矩阵方式表示为

同理可得

【例1.4.2】 已知矢量，试将其变换为球坐标系的表达式。

解 按题意有

根据式（1.4.12）得

再根据式（1.4.13）得

最后利用坐标变换式（1.4.9b）可得

Gφ=−r cosθcos φ

则球坐标系中，矢量G表示为

G=r cosθcosφ(ersinθcotφ+eθcosθcotφ−eφ)

1.5 标量场的梯度

1.5.1 方向导数

在标量场中的一点，沿不同方向，标量值的空间变化率一般不同。标量场的方向导数描写的是标量函数在标量场中每一点上沿给定方向的变化率。

设M0是空间中的任一点，l是发自M0沿着某一方向的射线，M 是l上M0的邻近一点，如图1.5.1所示。

图1.5.1 发自M0的射线l

定义标量函数u(r,t)在点M0处沿l方向的方向导数为

显然， 表示标量函数u(r,t)从M0点起，沿l所指的方向是增大的；表示标量函数u(r,t)从M0点起，沿l所指的方向是减小的；表示标量函数u(r,t)从M0点起，沿l所指的方向不变。

在直角坐标系中，有

其中，、、是l的方向余弦。

由式（1.5.1）得，直角坐标中方向导数的表达式为

1.5.2 梯度

梯度是空间任一点的矢量函数，其方向是标量场在该点有最大增加率的方向，其值则为沿该方向的方向导数值。

设射线l的单位矢量为

el=excosα+eycosβ+ezcosγ　　　　　　　　　(1.5.3)

引入常矢量

则由式（1.5.2）至式（1.5.4），有

显然，当el与G同向时，有正的最大值|G|。因此，矢量函数G同时给出了有最大方向导数的方向和该最大方向导数值。按照梯度的定义，矢量函数G就是标量场u(r,t)的梯度，记为grad u。

因此，直角坐标系中梯度的表达式为

引入哈密顿算符∇，在直角坐标系中

可见，∇算符为矢量微分算符，规定其作用于右边的函数或矢量上时，总是先做微分运算，后做矢量运算。

利用∇算符，梯度可写为

grad u=∇u　　　　　　　　　　　　　(1.5.8)

于是，式（1.5.5）可写为

应当注意，由梯度grad u的定义式（1.5.5）或式（1.5.9）可知，u沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向的分量；式（1.5.6）的右边仅仅是梯度矢量在直角坐标系中的具体计算公式；而式（1.5.8）则仅仅给出了grad u的简写符号。

由式（1.5.8），式（1.5.5）可写为。注意到u为任意标量函数，故有

上式为方向导数算符与梯度算符的关系，应用该式常可简化运算。

标量场中，使函数u(r,t) 取相等数值的所有空间点组成的曲面称为等值面，其方程为

u(r,t)=const　　　　　　　　　　(1.5.11)

因此，u沿等值面的任一切向（单位矢量为el）的导数为零，即。可见，梯度矢量总垂直于等值面。

【例1.5.1】 对标量函数，求∇r和。

解

事实上，标量函数r的等值面是以原点为心的球面，显然r沿径向（er方向）的变化率最快，而且其变化率为，故有∇r=er。

利用上面结果以及式（1.5.6），又有

【例1.5.2】 若R=r−r′、r=exx+eyy+ezz、r′=exx′+eyy′+ezz′，求∇R和∇′R。其中R=|r−r′|，∇′和∇分别对带撇和不带撇的坐标进行运算。

解

注意，本例证明了一个常用的公式

类似地还可以证明

证明留给读者完成。

【例1.5.3】 求∇e−jk·r，其中k为与坐标无关的常矢量。

解 按式（1.5.6），有

本例的结果在以后的电磁波计算中常用。

1.6 矢量场的散度

1.6.1 矢量场的矢线

已知描述矢量场特性的函数是一个矢量，它不仅有大小而且有方向，若一条曲线上每一点的切线方向与该点的场矢量方向重合，则该曲线称为矢量场的矢线或场线。我们常说的电场线和磁场线就是矢线的例子。图 1.6.1 是旋转圆盘上不同点线速度的矢量场，圆盘上某点线速度的方向由通过转动的切线决定。而线速度的大小等于该点到圆心的距离和角速度的乘积，线速度的大小和半径成正比。

图 1.6.1（a）中给出的矢量场图形是很直观的，不足之处是图形中挤满了矢量线段，看起来让人眼花缭乱。为此，可以简化作图，用一组带箭头的圆代替，如图 1.6.1（b）所示，图中带箭头的线称为矢量线或场线，代表了各点的矢量的方向，但不代表矢量的大小；而矢线的疏密情况，则反映了矢量大小的变化情况。

图1.6.1 矢量场的图线表示

1.6.2 通量

如前所述，矢量场可以用矢线图来表示。若在该矢量场中取一曲面，那么通过该曲面的矢线量称为通量，如图1.6.2所示。

图1.6.2 矢线和通量

设S为空间中的某一曲面。在S上的一个给定点r处取一矢量面元dS，规定其法向单位矢量en与面元周围界线的绕向成右手螺旋，则矢量场Α(r)穿过面元dS的通量定义为

dΦ=Α · dS　　　　　　　(1.6.1)

显然，dΦ＞0意味着穿过面元dS的矢量Α(r)与法向的夹角小于90°。

Α穿过整个曲面S的通量为

若S为闭曲面，则

对于闭合曲面，规定其法向矢量向外。若Φ＞0，则表示穿出闭合曲面S的矢线数多于穿入闭合曲面S的矢线数，这表明S中存在正的通量源；反之，若Φ＜0，则存在负通量源，负通量源也称沟，正源是矢线出发处，沟是矢线的终止处；若Φ=0，表明封闭曲面内不存在源和沟，或者是源和沟的作用相互抵消为零，在这种情况下，矢线是连续的。可见，穿过闭合曲面的通量反映了闭合曲面所围空间内通量源的总体情况。但是，有限大闭合面的通量不能反映源在面内各点的具体分布。

1.6.3 散度

为了了解矢量场Α(r)中某空间点a处通量源的情况，可以包围a点取一小的闭合曲面，然后令其向a点无限收缩。在极限情况下，单位体积内发出的通量就反映了点a处通量源的情况，这就是散度，记为div Α，即

式中ΔV 是闭合曲面S包围的体积，a点始终在S内。

显然，散度是标量。矢量场的散度构成标量场。

散度运算实际上是一种矢量微分运算，下面导出其运算公式。

在直角坐标系中，以M(x,y,z)点为顶点，以Δx、Δy、Δz为边长，构成一微分体积元，如图1.6.3所示。

图1.6.3 在直角坐标系中计算散度

矢量场Α(r)可表示为

穿过该微分体积6个面的总通量为

穿过S1面的通量为

穿过S2面的通量为

考虑到 S2处的Ax(x+Δx,y,z)与S1处的Ax(x,y,z)随着Δx的增加有一微小增量，可以将Ax(x+Δx,y,z)展开为S1处Ax(x,y,z)的泰勒级数形式

因为Δx无限小，可略去高阶无穷小量，式（1.6.8）改写为

将式（1.6.7）和式（1.6.10）相加，可得到ex方向上的净通量

同理，可得到穿过ey方向上的两个曲面S3和S4的净通量

类似地可得到穿过曲面S5和S6的净通量

于是穿过闭合曲面的总通量为

而体积元ΔV=ΔxΔyΔz。

当ΔV→0，体积缩为一个点，根据散度定义

1.6.4 散度定理

散度定理数学表达式

该式的物理意义为：某一矢量散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量。曲面S包围的体积是任意的，并规定闭曲面的正法线方向是向外的。

对散度定理可证明如下：

设将体积V 分割成N个体积元，ΔVi表示第i个体积元，相应的封闭曲面为Si(i=1，2，3，…， N)，如图1.6.4所示。

图1.6.4 体积V的分割

由ΔVi发散的净通量应等于其封闭曲面Si上的曲面积分值

另外，根据散度的定义，由ΔVi发散的净通量为

于是

当N→∞，ΔVi→0，则N个体积元发散的通量为

根据积分定义，式（1.6.20）的左边为∇· Α的体积分

式（1.6.20）右边表示在各微分体积元的表面上的面积分的代数和。因相邻体积元公共表面上的面元方向总是相反的，所以在累加过程中相互抵消，最终仅剩下包围体积V的外表面S上的面积分，即

将式（1.6.21）和式（1.6.22）代入式（1.6.20），就得到式（1.6.16）所示的散度定理。在电磁学中，散度定理是非常有用的，它可以将面积分问题转换成体积分问题，反之亦然。

【例1.6.1】 试求∇·r和，设r≠0。

解

由矢量运算公式∇·(ab)=(∇a)·b+a∇·b得到

【例 1.6.2】 设S为以(0,0,a)为球心，半径为R(＜a)的球面。求积分，其中。

解 根据散度定理，有

因为在S面内部，r≠0，由例1.6.1知在S面内，于是

注意，若R(＞|a|)，则本题结果不成立，因为闭合曲面里存在电荷q。

1.7 矢量场的旋度

1.7.1 矢量场的环量

图1.7.1 矢量的环量

矢量场Α沿空间某一闭合路径的线积分称为Α的环量。如图 1.7.1 所示，在矢量场Α中，任意取一闭合回路C，矢量Α沿该闭合路径的环量为

环量是一个标量，其大小不仅与闭合曲线的大小有关，还取决于该曲线相对于矢量Α的取向。若环量Γ不等于零，说明闭合路径内存在环量源。

环量不为零的矢量场中，矢量线是闭合的涡旋线，这样的矢量场称为涡旋场，故环量源又称涡旋源。

环量的物理意义随矢量所代表的场的不同而不同。若Α代表作用

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