书名：概率论与数理统计pdf/doc/txt格式电子书下载

推荐语：

作者：同济大学数学系编

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2017-03-01

书籍编号：30489010

ISBN：9787115422743

正文语种：中文

字数：146917

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：概率论与数理统计

作者：同济大学数学系

ISBN：9787115422743

免责声明：本站所有资源收集整理于网络，版权归原作者所有。
本站所有内容不得用于商业用途。本站发布的内容若侵犯到您的权益，请联系站长删除，我们将及时处理！

内容提要

本书是在教育部制定的教学大纲基础上，参照同济大学“概率论与数理统计”课程及教材建设的经验和成果，按照全国硕士研究生入学统一考试数学一的考试大纲要求，根据作者十多年的教学实践经验编写而成．全书共分八章，包括随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律及中心极限定理、统计量和抽样分布、参数估计和假设检验．

本书着眼于“概率论与数理统计”中的基本原理和基本方法，强调直观性；语言通俗，注重用生动浅显的方式说明基本概念的直观意义；例题丰富，可读性强．本书可作为高等院校本科生（理工类和经管类）“概率论与数理统计”课程的教材或参考书，也可供概率统计初学者自学使用．

前言

本书是同济大学数学系多年教学经验的总结，编者参考了近年来国内外出版的多本同类教材，吸取它们在内容安排、例题配置、定理证明等方面的优点，并结合工科院校的实际需求来编写，形成了本书如下特点．

一、优化编排，重点突出

概率部分从随机事件到随机变量，着重强调一维随机变量和多维随机变量这两部分内容，把常用的数字特征归纳总结在同一章中，而将大数定律和中心极限定理单独成章．统计部分着重强调参数的点估计和区间估计，假设检验可作为课外选读．

二、难度降低，帮助理解

在满足教学基本要求的前提下，适当减少或降低了理论推导的要求，注重用生动浅显的方式对概念进行解释．对所有章节中的部分性质或定理进行了处理．例如，分布函数的性质的证明没有列出，取而代之的是通过例题图像来进行说明，让初学者可以更直观地学习．另外，对选学内容加*号处理，如泊松定理的证明．

三、习题丰富，题型多样

每小节和每章结束时均设置练习题，每小节的习题与该小节内容匹配，用以帮助理解和巩固基本知识；每章的测试题在题型上更为多样，且难度高于每小节的习题，用于帮助学生提高．另外，本书将部分考研真题编入测试题中，供学有余力的学生选做．

四、归纳总结，提升素养

设置章总结，并通过微课视频的形式呈现．章总结阐明了这一章内容的重点和基本要求，对某些重点概念和方法作了进一步的阐述，并指出了学习该章内容时应注意的地方．章总结能帮助学生系统性地归纳该章所学重点，起到提纲挈领的作用．另外，每章还设置了拓展阅读栏目，在增强趣味性的同时让学生能够了解学科背景．

本书由杨筱菡编写第一、二、六、七、八章，由王勇智编写第三、四、五章，并由杨筱菡完成统稿．在编写过程中，钱伟民教授耐心细致地审阅了本书的初稿，提出了很多宝贵建议，同济大学数学系殷俊峰教授和概率统计教研组多位老师也提供了很多的帮助，在此表示衷心感谢．另外，南京理工大学侯传志和南京师范大学李启才对书稿进行了审查，提出了很多可行的修改意见，也在此表示感谢．

编者
2016年4月

第一章 随机事件与概率

［课前导读］

这一章要介绍随机事件的定义，以及怎样求解随机事件发生的概率问题．正确计数对概率求解十分重要，需要回忆和计数相关的排列组合的基础知识．

加法原理：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同方法．

乘法原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步时有m1种不同的方法，做第二步时有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法．

组合：从n个不同的元素中任取r（1≤r≤n）个不同元素，不考虑次序将它们并成一组，称之为组合．所有不同的组合种数记为或

排列：从n个不同的元素中任取r（1≤r≤n）个不同元素，按一定的顺序排成一列，称之为排列．所有不同的排列种数记为

组合数的计算公式：

排列数的计算公式：

第一节 随机事件及其运算

一、随机试验

在自然界和人类活动中，发生的现象多种多样，偶数能被2整除，函数在间断处不存在导数，课程结束时要通过考试测评，必修课程不及格要重修等．这一类现象在一定条件下必然发生，因此称这类现象为确定性现象．一个新生婴儿可能是男孩也可能是女孩，期末考试可能及格也可能不及格，一条高速公路上一天之内经过的车辆数量等，在这些现象中，事先无法预知会出现哪个结果，因此称这类结果不确定的现象为随机现象．概率论便是一门研究随机现象的统计规律性的数学学科．随机现象在一次试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果将呈现某种规律性，例如相对比较稳定的性别比例，这种规律性称为统计规律性．为了研究随机现象的统计规律性，就要对客观事物进行观察，观察的过程叫随机试验（简称试验）．例如，为了验证骰子是否均匀，可以将这颗骰子反复地投掷并记录其结果．本小节将讨论概率论中的随机试验，随机试验有以下三个特点．

（1）在相同的条件下试验可以重复进行；

（2）每次试验的结果不止一种，但是试验之前必须明确试验的所有可能结果；

（3）每次试验将会出现什么样的结果是事先无法预知的．

例1　随机试验的例子：

（1）抛掷一枚均匀的硬币，观察其正反面出现的情形；

（2）抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数；

（3）某快餐店一天内接到的订单量；

（4）某航班起飞延误的时间；

（5）一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅．

二、样本空间

随机试验的一切可能结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示试验的每一个可能结果，又称为样本点，即样本空间为全体样本点的集合．

例2　下面给出例1中随机试验的样本空间：

（1）抛掷一枚均匀硬币的样本空间为Ω1={H，T}，其中H表示正面朝上，T表示反面朝上；

（2）抛掷一枚均匀骰子的样本空间为Ω2={1，2，…，6}；

（3）某快餐店一天内接到的订单量的样本空间为Ω3={0，1，2，…，n，…}；

（4）某航班起飞延误时间的样本空间为Ω4={t：t≥0}；

（5）一支正常交易的A股股票每天涨跌幅的样本空间为Ω5={x：-10%≤x%≤10%}．

从这个例子中可以看出，样本空间中的元素可以是数，也可以不是数．从样本空间中含有样本点的个数来看，可以是有限个也可以是无限个；可以是可列个也可以是不可列个．例如，Ω1和Ω2中样本点的个数是有限个，Ω3、Ω4和Ω5中样本点的个数是无限个；Ω1、Ω2和Ω3中样本点的个数是可列个，而Ω4和Ω5中样本点的个数是不可列个．

三、随机事件

随机事件

当我们通过随机试验来研究随机现象时，每一次试验都只能出现Ω中的某一个结果ω，各个可能结果ω是否在一次试验中出现是随机的．在随机试验中，常常会关心其中某一些结果是否出现．例如，抛掷一枚均匀的骰子，关心掷出的点数是否是奇数；航班起飞关心延误时间是否超过3个小时等．这些在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件，随机事件通常用大写字母A，B，C，…表示．

如上述，抛掷一枚均匀的骰子，关心掷出的点数是否是奇数，定义A=“掷出的点数是奇数”即是一个可能发生也可能不发生的随机事件，可描述为A={1，3，5}，它是样本空间Ω={1，2，…，6}的一个子集．所以，从集合的角度来说，样本空间的部分样本点组成的集合称为随机事件．

在事件的定义中，注意以下几个概念．

（1）任一随机事件A是样本空间Ω的一个子集．

（2）当试验的结果ω属于该子集时，就说事件A发生了．相反地，如果试验结果ω不属于该子集，就说事件A没有发生．例如，如果掷骰子掷出了1，则事件A={1，3，5}发生，如果掷出2，则事件A不发生．

（3）仅含一个样本点的随机事件称为基本事件．

（4）样本空间Ω也是自己的一个子集，所以它也称为一个事件．由于Ω包含所有可能的试验结果，所以Ω在每一次试验中一定发生，又称为必然事件．

（5）空集∅也是样本空间Ω的一个子集，所以它也称为一个事件．由于∅中不包含任何元素，所以∅在每一次试验中一定不发生，又称为不可能事件．

例3　抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为Ω={1，2，…，6}；

随机事件A=“出现6点”={6}；

随机事件B=“出现偶数点”={2，4，6}；

随机事件C=“出现的点数不超过6”={1，2，…，6}=Ω，即一定会发生的必然事件；

随机事件D=“出现的点数超过6”=∅，即一定不会发生的不可能事件．

四、随机事件间的关系与运算

众所周知，集合之间有各种关系，是可以进行运算的．因此，在随机事件之间也可以讨论相互的关系，进行相应的运算．

1. 给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，A，B，C，…都为Ω的子集，随机事件间的关系有以下几种．

（1）如果（或），则称事件A包含在B中（或称B包含A），如图1.1所示．从概率论的角度来说：事件A发生必然导致事件B发生．

图1.1　

在例3中，事件A=“出现6点”的发生必然导致事件B=“出现偶数点”的发生，故

（2）如果同时成立，则称事件A与B相等，记为A=B．从概率论的角度来说：事件A发生必然导致事件B发生，且B发生必然导致A发生，即A与B是同一个事件．

（3）如果A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容（或称为互斥），如图1.2所示．从概率论的角度来说：事件A与事件B不可能同时发生．

图1.2　A与B互不相容

例如，在抛掷一枚均匀骰子的试验中，“出现6点”与“出现奇数点”是两个互不相容的事件，因为它们不可能同时发生．

2. 与集合的运算一样，随机事件的运算也有并、交、差和余四种运算．

（1）事件A与B的并，记为A∪B，如图1.3所示，表示由事件A与B中所有样本点组成的新事件．从概率论的角度来说：事件A与B中至少有一个发生．

（2）事件A与B的交，记为A∩B（或AB），如图1.4所示，表示由事件A与B中公共的样本点组成的新事件．从概率论的角度来说：事件A与B同时发生．

图1.3　A∪B

图1.4　A∩B

（3）事件A与B的差，记为A-B，如图1.5所示，表示由在事件A中且不在事件B中的样本点组成的新事件．从概率论的角度来说：事件A发生且B不发生．

（4）事件A的对立事件（或称为逆事件、余事件），记为如图1.6所示，表示由Ω中且不在事件A中的所有样本点组成的新事件，即=Ω-A．从概率论的角度来说：事件A不发生．

图1.5　A-B

图1.6　

例如，抛掷一枚均匀骰子，记事件A=“出现点数不超过3”={1，2，3}，事件B=“出现偶数点”={2，4，6}，则并事件A∪B={1，2，3，4，6}，交事件A∩B={2}，差事件A-B={1，3}，对立事件={4，5，6}．

从随机事件间的关系和运算中可以看出：

（1）对立事件一定是互不相容的事件，即但互不相容事件不一定是对立事件；

（2）根据差事件和对立事件的定义，事件A与B的差还可以表示成

（3）必然事件Ω与不可能事件∅互为对立事件，即

3. 事件的运算性质，如集合的运算性质一样满足下述定律．

（1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A．

（2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（AB）C=A（BC）．

（3）分配律：（A∪B）∩C=AC∪BC，（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）．

（4）对偶律：

事件运算的对偶律是非常有用的公式，且以上的定律都可以推广到任意多个事件．

例4　用事件A，B，C的运算关系式表示下列事件，则

（1）A出现，B，C都不发生（记为E1）；

（2）所有三个事件都发生（记为E2）；

（3）三个事件都不发生（记为E3）；

（4）三个事件中至少有一个发生（记为E4）；

（5）三个事件中至少有两个发生（记为E5）；

（6）至多一个事件发生（记为E6）；

（7）至多两个事件发生（记为E7）．

解　（1）

（2）E2=ABC；

（3）

（4）E4=A∪B∪C；

（5）E5=AB∪AC∪BC；

（6）

（7）

习题1-1

1. 写出下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A：

（1）抛掷三枚均匀的硬币；事件A=“至少两枚硬币是正面朝上”；

（2）对一密码进行破译，记录破译成功时总的破译次数，事件A=“总次数不超过8次”；

（3）从一批手机中随机选取一个，测试它的电池使用时间长度；事件A=“使用时间在72到108小时之间”．

2. 抛掷两枚均匀骰子，观察它们出现的面．

（1）试写出该试验的样本空间Ω；

（2）试写出下列事件所包含的样本点：A=“两枚骰子上的点数相等”，B=“两枚骰子上的点数之和等于8”．

3. 在以原点为圆心的一单位圆内随机取一点．

（1）试描述该试验的样本空间Ω；

（2）试描述下列事件所包含的样本点：A=“所取的点与圆心的距离小于0.5”，B=“所取的点与圆心的距离小于0.5且大于0.3”．

4. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝“取得球的号码是偶数”，B＝“取得球的号码是奇数”，C=“取得球的号码小于5”，问下列运算表示什么事件：

（1）A∪B；

（2）AB；

（3）AC；

（4）

（5）

（6）

（7）A-C．

5. 在区间［0，10］上任取一数，记A={x：1<x≤5}，B={x：2≤x≤6}，求下列事件的表达式：

（1）A∪B；

（2）

（3）

（4）

6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设事件Ai=“第i次抽到废品”，试用Ai的运算表示下列各个事件：

（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

（2）只有第一次抽到废品；

（3）三次都抽到废品；

（4）至少有一次抽到合格品；

（5）只有两次抽到废品．

7. 试给出下列事件的对立事件：

（1）事件A=“三门课程的考核成绩都为优秀”；

（2）事件B=“三门课程的考核成绩至少一门为优秀”．

8. 证明下列等式：

（1）

（2）

第二节 概率的定义及其性质

在n次试验中如果事件A出现了nA次，则称比值为这n次试验中事件A出现的频率．记为nA称为事件A发生的频数．概率的统计定义为：随着试验次数n的增大，频率值逐步“稳定”到一个实数，这个实数称为事件A发生的概率．

1933年柯尔莫哥洛夫（苏联）首次提出了概率的公理化定义，这是概率论发展史的第一个里程碑，有了这个公理化定义后，概率论得到了迅速发展．概率的公理化定义如下．

定义　设任一随机试验E，Ω为相应的样本空间，若对任意事件A，有唯一实数P（A）与之对应，且满足下面条件，则数P（A）称为事件A的概率：

（1）非负性公理　对于任意事件A，总有P（A）≥0；

（2）规范性公理　P（Ω）=1；

（3）可列可加性公理　若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则有

由概率的三条公理，可以得到以下概率的一些重要基本性质．

性质1　P（∅）=0．

证明　由可列可加性公理，不妨取Ai=∅，i=1，2，…，则

由非负性公理，P（∅）≥0．因此，由上述可得P（∅）=0．

性质2（有限可加性）　设A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则有

证明　在可列可加性公理中，不妨取Ai=∅，i=n+1，n+2，…，则

得证．

性质3　对任意事件A，有

证明　因为事件A与互不相容，且由规范性公理和性质2可知，由此得证．

这个性质告诉我们，有时某些事件的概率直接求解较为复杂，而考虑其对立事件则相对比较简单，对这一类的问题可以利用该性质求解．

例1（生日问题）　n（n≤365）个人中至少有两个人的生日相同的概率是多少？

解　设一年以365天计，记事件A表示“n个人中至少有两个人的生日相同”，对该事件的讨论非常复杂，故我们考虑其对立事件即可以表示为“n个人的生日全不相同”，事件的发生过程比较单一，故其概率的求解就很简单，概率为

通过计算，我们发现有趣的是，当n=23时，P（A）>0.5；当n=60时，n个人中至少有两个人的生日相同的概率约为0.9922．也就是说，当有随机的60个人聚在一起，则他们中至少有两个人的生日在同一天的可能性非常大；随着n的增大，这个概率将更大．在这个例子中，当n很大时，n个人的生日全不相同可以视为小概率事件，人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为实际推断原理），因此可以说，在实际情况中，虽然n个人中至少有两个人的生日相同的概率不为1，但几乎一定会发生．

性质4　若事件则P（B-A）=P（B）-P（A）．

证明　因为事件所以B=A∪（B-A），且A与B-A互不相容，由性质2有限可加性得

P（B）=P（B-A）+P（A），

即得

P（B-A）=P（B）-P（A）．

推论　若事件则P（A）≤P（B）．

证明　由非负性公理得P（B-A）=P（B）-P（A）≥0，因此P（A）≤P（B）．

值得注意的是，这个推论的逆命题不一定成立，即使P（A）≤P（B），也无法判断事件A与B的关系．

性质5（减法公式）　设A，B为任意事件，则P（A-B）=P（A）-P（AB）．

证明　A-B=A-AB，且由性质4得

P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）．

性质6（加法公式）　设A，B为任意事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）．

证明　因为A∪B=A∪（B-AB），且A与B-AB互不相容，由性质2有限可加性得

P（A∪B）=P（A）+P（B-AB）=P（A）+P（B）-P（AB）．

我们还可以将性质6的加法公式推广到多个事件的情况．例如，设A，B，C为任意的三个事件，则

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）．

更一般地，设A1，A2，…，An为任意的n个事件，则

例2　已知事件A，B，A∪B的概率依次为0.2，0.4，0.5，求概率）．

解　由性质6的加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）及已知条件可得0.5=0.2+0.4-P（AB），由此解得P（AB）=0.1．

再由性质5的减法公式得

例3　设事件A，B，C为三个随机事件，已知P（A）=0.2，P（B）=0.3，P（C）=0.4，P（AB）=0，P（BC）=P（AC）=0.1，则A，B，C至少发生一个的概率是多少？A，B，C都不发生的概率是多少？

解　因为由性质4的推论P（ABC）≤P（AB）=0及非负性公理P（ABC）≥0，可知P（ABC）=0．再由加法公式，A，B，C至少发生一个的概率为

又因为“A，B，C都不发生”的对立事件是“A，B，C至少发生一个”，所以

习题1-2

1. 已知事件A，B有包含关系，P（A）=0.4，P（B）=0.6，求：

（1）

（2）P（A∪B）；

（3）P（AB）；

（4）

（5）

2. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，P（A∪B）=0.8，试求：

（1）P（AB）；

（2）P（A-B）；

（3）P（B-A）．

3. P（A）=0.4，P（B）=0.3，分别在（1）A，B互不相容；（2）A，B有包含关系情况时，求P（A-B）．

4. 已知P（A）=P（B）=P（C）=0.25，P（AB）=0，求：

（1）P（A∪B）；

（2）P（A∪B∪C）；

（3）

5. 设随机事件A，B，C的概率都是且求P（ABC）．

6. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.6，P（B）=0.7，求：

（1）在什么条件下，P（AB）取最大值？最大值是多少？

（2）在什么条件下，P（AB）取最小值？最小值是多少？

7. 对任意的随机事件A，B，C，证明：

（1）P（AB）≥P（A）+P（B）-1；

（2）P（AB）+P（AC）+P（BC）≥P（A）+P（B）+P（C）-1．

第三节 等可能概型

在概率论发展的历史上，最先研究的是一类最直观、最简单的随机现象．在这类随机现象中，样本空间中的每个基本事件发生的可能性都相等，这样的数学模型我们称之为等可能概型．其中，当样本空间只包含有限个不同的可能结果（即样本点），如抛掷一枚均匀的硬币、抛掷一枚均匀的骰子等，研究这一类随机现象的数学模型我们称之为古典概型．而当样本空间是某个区域（可以是一维区间、二维平面或三维空间），如搭乘地铁等待时间、蒲丰投针问题等，研究这一类随机现象的数学模型我们称之为几何概型．

一、古典概型

一般地，古典概型的基本思路如下：

（1）随机试验的样本空间只有有限个样本点，不妨记作Ω={ω1，ω2，…，ωn}；

（2）每个基本事件发生的可能性相等，即

若随机事件A中含有nA个样本点，则事件A的概率为

古典概型是概率论发展初期确定概率的常用方法，所得的概率又称为古典概率．在古典概型中，关键在于计算样本空间及事件A中样本点的个数，所以在计算中经常用到排列组合的计算工具．

例1　抛掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数，设事件A表示“两个骰子的点数一样”，求P（A）．

解　按照定义，样本空间Ω是由两枚骰子可能出现的所有不同结果组成的．因此，Ω={（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），…，（6，6）}，共包含36个样本点，而A={（1，1），（2，2），…，（6，6）}，共6个样本点，因而

例2（抽样模型）　已知N件产品中有M件是不合格品，其余N-M件是合格品．今从中随机地抽取n件．试求：

（1）不放回抽样　n件中恰有k件不合格品的概率；

（2）有放回抽样　n件中恰有k件不合格品的概率．

解　抽样方式有两种：有放回抽样和不放回抽样，有放回抽样是抽取一件后放回，再抽取下一件，如此重复至抽取n件完成；不放回抽样是抽取一件后不放回，再抽取下一件，如此重复．

（1）先计算样本空间Ω中样本点的总数，因为是不放回抽样，从N件抽取n件，所以样本点的总数为，因为是随机抽样的，故这个样本点是等可能发生的．

再计算事件A中样本点的个数，因为事件A要求n件中恰有k件不合格品，即必须从M件不合格品中选取k件不合格品，还要从N-M件合格品中选取n-k件合格品，根据乘法原理，事件A中含有个样本点，因此可得事件A的概率为

（2）如果是有放回抽样，每一次都是从N件抽取1件，共抽n次，故样本空间Ω中样本点的总数为Nn，因为是随机抽样的，故这Nn样本点还是等可能发生的．

n件中恰有k件不合格品，可以看成在n次抽取过程中有k次抽到不合格品，考虑到这k次可以在总的n次中的任何k次抽取中得到，故有种不同的出现顺序，每次抽到不合格品都是从M件不合格品中选取1件不合格品，故有Mk种，还要从N-M件合格品中选取n-k次合格品，故有（N-M）n-k种，根据乘法原理和加法原理，事件A中含有（N-M）n-k个样本点，因此可得事件A的概率为

例3（抽奖（抓阄）模型）　今有某公司年会的抽奖活动，设共有n张券，其中只有一张有奖，每人只能抽一张，设事件A表示为“第k个人抽到有奖的券”，试在有放回、不放回两种抽样方式下，求P（A）．

解　在有放回情形中，第k个人抽与第1个人抽情况相同，因而所求概率为

在不放回情形中，样本空间的样本点总数为n（n-1）…（n-k+1），而事件A的样本点个数为（n-1）（n-2）…（n-1-（k-1）+1）·1，故所求概率为

值得注意的是，此概率值与抽样次数k无关．尽管每个人抽奖先后次序不同，但是每个人中奖的概率是一样的，大家机会相同．另外还值得注意的是，有放回抽样和不放回抽样情况下概率是一样的．

二、几何概型

几何概型是古典概型的推广，保留每个样本点发生的等可能性，但去掉了Ω中包含有限个样本点的限制，即允许试验可能结果有无穷不可列个．

一般地，几何概型的基本思路如下：

（1）随机试验的样本空间Ω是某个区域（可以是一维区间、二维平面区域或三维空间区域）；

（2）每个样本点发生的可能性相等．

则事件A的概率为

其中，m（·）在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积．求几何概型的关键在于用图形正确地描述样本空间Ω和所求事件A，然后计算出相关图形的度量（一般为长度、面积或体积）．

例4　在［0，1］区间内任取一个数，求：

（1）这个数落在区间（0，0.25）内的概率；

（2）这个数落在区间中点的概率；

（3）这个数落在区间（0，1）内的概率．

解　以x表示取到的这个数，因为这个数都是在［0，1］区间内等可能取到，所以由等可能性可知这是一个几何概型的问题．

样本空间Ω={x：0≤x≤1}，m（Ω）=1．

（1）设事件A表示“这个数落在区间（0，0.25）内”，即A={x：0<x<0.25}，m（A）=0.25．由几何概率的计算公式，有

（2）设事件A表示“这个数落在区间中点”，即A={x：x=0.5}，m（A）=0，于是

（3）设事件A表示“这个数落在区间（0，1）内”，即A={x：0<x<1}，m（A）=1，于是

这个例子中，我们对样本空间Ω和事件A的度量采用区间线段的长度来表示，这是一维的情形．此外，这个例子的（2）和（3）告诉我们，概率为零的事件未必就是不

....