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推荐语：增加章前导读及扩展阅读，细化考研题目，配套辅导教材，轻松实现重点难点突破

作者：同济大学数学系编

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2017-01-01

书籍编号：30489021

ISBN：9787115422750

正文语种：中文

字数：66823

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：线性代数

作者：同济大学数学系

ISBN：9787115422750

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内容提要

本书根据工科类本科“线性代数”课程教学基本要求，参考同济大学“线性代数”课程及教材建设的经验和成果，按照硕士研究生考研大纲的要求编写而成．编者在内容编排、概念叙述、定理证明等诸多方面都做了精心安排，以使全书结构流畅，主次分明，通俗易懂．

本书共分五章，包括线性方程组与矩阵、方阵的行列式、向量空间与线性方程组解的结构、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换．每小节配有习题，每章末配有拓展阅读和测试题，拓展阅读用于讲解线性代数发展的相关知识；测试题难度高于习题难度，用于学生加强练习，部分习题和测试题答案放于本书最后章节．另外，为了更加清楚地讲解每章的重点、难点以及典型例题，本书还配有微课视频．

本书可作为高等院校非数学类专业“线性代数”课程的教材，也可作为自学者的参考书．

前言

本书是同济大学数学系多年教学经验的总结，编者参考了近年来国内外出版的多本同类教材，吸取它们在内容安排、例题配置、定理证明等方面的优点，并结合工科院校的实际需求编写而成，本书主要特点如下．

一、优化编排，重点突出

本书第一章到第三章的内容以解线性方程组为主线，以矩阵为主要工具，内容由易到难、由浅入深、重点突出、层次分明．

第一章突出了初等变换在矩阵运算和求解线性方程组中的作用，首先通过线性方程组与矩阵的关系引入矩阵的定义，然后给出矩阵的各种运算和分块法，最后通过高斯消元法解线性方程组引入矩阵初等变换的概念，并利用矩阵的初等变换解线性方程组、求可逆阵的逆矩阵以及解矩阵方程，在求解线性方程组的同时给出了线性方程组的解的讨论．

第二章结合行列式和矩阵的初等变换，给出矩阵可逆的充分必要条件、求逆公式，以及克莱姆法则．

第三章讨论向量组的线性相关性，引进向量组的秩和矩阵的秩的概念，给出两者之间的联系和求秩的方法，并利用矩阵的秩的概念完善对线性方程组的解的讨论．

二、难度降低，帮助理解

在第三章中，本书重点关注向量组的线性相关性、向量组的秩以及矩阵的秩的有关概念，通过概念和线性方程组的解来讨论有关问题，降低了关于矩阵的秩的应用难度．

因为向量的内积与正交性、特征值与特征向量、矩阵的相似对角化等内容不仅可以看成独立的内容体系，也可作为二次型的预备知识，所以本书将它们单独作为第四章，有助于学生学习．

书中将一些理论性较强的定理的证明用*号标出，以示区别，便于选读．如第二章中关于排列、对换的定理的证明以及关于行列式按行（列）展开的定理的证明．

三、习题丰富，题型多样

每小节和每章结束时均设置练习题，每小节后的习题与该小节内容匹配，用以帮助理解和巩固基本知识；每章的测试题在题型上更为多样，且难度高于每小节的习题，用于帮助学生提高．

本书将部分考研真题编入测试题中，可供学有余力的学生选做．

四、归纳总结，提升素养

设置章总结，并通过微课视频的形式呈现，总结的内容包括本章的基本要求、重点和难点、基本题型和综合例题等，帮助学生系统性地归纳该章所学重点．设置拓展阅读栏目，在增强趣味性的同时让学生能够了解学科背景．

本书第一章到第三章由同济大学濮燕敏编写，第四章、第五章由同济大学殷俊峰编写，并由濮燕敏统稿．中央民族大学李成岳和南京理工大学侯传志对书稿进行了审查，提出了很多可行的修改意见，在此表示感谢．

编者

2016年4月

第一章 线性方程组与矩阵

第一节 矩阵的概念及运算

［课前导读］

线性方程组的求解是线性代数要研究的重要问题之一，而矩阵是求解线性方程组的核心工具．另一方面，矩阵理论在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用，是一些实际问题得以解决的基本工具．这一节我们通过线性方程组和矩阵的关系引出矩阵的定义，并给出矩阵的运算及运算性质．在正式学习矩阵之前，需要读者了解线性方程组的相关知识．

一、矩阵的定义

由m个方程n个未知量x1，x2，…，xn构成的线性（即：一次）方程组可以表示为

在线性方程组中，未知量用什么字母表示无关紧要，重要的是方程组中未知量的个数以及未知量的系数和常数项．也就是说，线性方程组（1-1）由常数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）和bi（i=1，2，…，m）完全确定，所以可以用一个m×（n+1）个数排成的m行n+1列的数表

来表示线性方程组（1-1）．这个数表的第j（j=1，2，…，n）列表示未知量xj（j=1，2，…，n）前的系数，第i（i=1，2，…，m）行表示线性方程组（1-1）中的第i（i=1，2，…，m）个方程，这个数表反映了线性方程组（1-1）的全部信息．反之，任意给定一个m行n+1列的数表，可以通过这个数表写出一个线性方程组．因此，线性方程组与这样的数表之间有了一个对应关系．

定义1　m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成的m行n列的数表

称为一个m×n矩阵，简记为（aij），有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为（aij）m×n．数aij位于矩阵（aij）的第i行第j列，称为矩阵的（i，j）元素，其中i称为元素aij的行标，j称为元素aij的列标．

一般地，常用英文大写字母A，B，…或字母α，β，γ，…表示矩阵，如A=（aij），B=（bij），Am×n，Bm×n等．

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．本书中的矩阵除特别指明外，都是指实矩阵．

1×1的矩阵A=（a）就记为A=a．

1×n的矩阵

（a1，a2，…，an）

称为行矩阵，也称为n维行向量．

n×1的矩阵

称为列矩阵，也称为n维列向量．

所有元素都是零的m×n矩阵称为零矩阵，记为Om×n，或简记为O．

n×n矩阵

称为n阶方阵．元素aii（i=1，2，…，n）所在的位置称为n阶方阵的主对角线．

一个n阶方阵主对角线上方的元素全为零，即

称该n阶方阵为下三角矩阵．下三角矩阵的元素特点是：当i<j时，aij=0．

类似地，有上三角矩阵

上三角矩阵的元素特点是：当i>j时，aij=0．

n阶方阵

称为n阶对角矩阵，简称对角阵，记为diag（a1，a2，…，an）．

如果n阶对角矩阵diag（a1，a2，…，an）对角线上的元素全相等，即a1=a2=…=an，则称其为数量矩阵．当a1=a2=…=an=1时，这个数量矩阵就称为n阶单位矩阵，简称为单位阵，记为En或E，即

定义2　两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵．如果两个同型矩阵A=（aij）m×n和B=（bij）m×n中所有对应位置的元素都相等，即aij=bij，其中i=1，2，…，m；j=1，2，…，n，则称矩阵A和B相等，记为A=B．

二、矩阵的线性运算

1. 矩阵的加法

定义3　设A=（aij）m×n和B=（bij）m×n是两个同型矩阵，则矩阵A与B的和记为A+B，规定

同型矩阵的加法就是两个矩阵对应位置上元素的加法，由此易知矩阵的加法满足如下的运算规律：设A，B，C是任意三个m×n矩阵，则

（1）交换律：A+B=B+A；

（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）；

（3）A+Om×n=Om×n+A=A．

对于矩阵A=（aij）m×n，称矩阵（-aij）m×n为矩阵A的负矩阵，记为-A．显然，A+（-A）=Om×n．由此可以定义矩阵A=（aij）m×n和B=（bij）m×n的减法为

A-B=A+（-B）=（aij-bij）m×n．

2. 矩阵的数乘

定义4　用一个数k乘矩阵A=（aij）m×n的所有元素得到的矩阵（kaij）m×n称为矩阵的数乘，记为kA或者Ak，即kA=Ak=（kaij）m×n．

如果k，l是任意两个数，A，B是任意两个m×n矩阵，则矩阵的数乘运算满足：

（1）k（A+B）=kA+kB；

（2）（k+l）A=kA+lA；

（3）（kl）A=k（lA）=l（kA）；

（4）1A=A；

（5）（-1）A=-A；

（6）0A=Om×n．

矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算．

例1　设求A+B和2A-B．

三、矩阵的乘法

定义5　设矩阵A=（aij）是一个m×p矩阵，矩阵B=（bij）是一个p×n矩阵，定义矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵C=（cij），其中矩阵C=（cij）的第i行第j列元素cij是矩阵A的第i行元素ai1，ai2，…，aip与矩阵B的第j列相应元素b1j，b2j，…，bpj的乘积之和，即

必须注意：只有当第一个矩阵（左边的矩阵）的列数与第二个矩阵（右边的矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘．

例2　求矩阵的乘积AB．

解　因为矩阵A是2×3矩阵，矩阵B是3×3矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘，乘积AB是一个2×3矩阵．按公式（1-2）有

例3　求矩阵的乘积AB及BA．

在例2中，矩阵A是2×3矩阵，矩阵B是3×3矩阵，所以乘积AB有意义，而矩阵B与A却不能相乘．在例3中，虽然乘积AB与乘积BA都有意义，但是AB≠BA．在例3中还看到，尽管A≠O，B≠O，仍旧有BA=O．所以在做矩阵乘法时，我们要注意：

（1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA；

（2）尽管矩阵A与B满足AB=O，但是得不出A=O或B=O的结论．

但是，矩阵乘法仍满足下列运算规律（假设运算都是可行的）．

（1）结合律：（AB）C=A（BC）．

（2）矩阵乘法对矩阵加法的分配律：A（B+C）=AB+AC，（A+B）C=AC+BC．

（3）（kA）B=A（kB）=k（AB）．

（4）EmAm×n=Am×nEn=Am×n．

（5）Om×sAs×n=Om×n；Am×sOs×n=Om×n．

证明　这几个运算律的证明都是验证式的证明，在此我们只写出结合律的证明，而将其余证明留给读者．

设矩阵A=（aij）是一个m×s矩阵，矩阵B=（bij）是一个s×p矩阵，矩阵C=（cij）是一个p×n矩阵．由矩阵乘法的定义知，矩阵（Am×sBs×p）Cp×n与Am×s（Bs×pCp×n）都有意义，且都是m×n矩阵．由矩阵相等的定义，我们只需验证这两个矩阵在相应位置的元素相等即可．

矩阵Am×sBs×p中第i行元素为于是矩阵（Am×sBs×p）Cp×n中（i，j）元素为矩阵Am×sBs×p中第i行元素与矩阵Cp×n中第j列对应元素c1j，c2j，…，cpj乘积之和，即

同理可以验证矩阵Am×s（Bs×pCp×n）中（i，j）元素也是所以矩阵乘法的结合律成立．

例4　设有线性方程组

矩阵称为该线性方程组的系数矩阵．令按公式（1-2）有

再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：Ax=β．

由于矩阵乘法满足结合律，我们可以定义方阵的方幂如下：

并且规定：对非零方阵A，有A0=E．

方阵的方幂满足以下运算规律（这里k，l均为非负整数）：

AkAl=Ak+l；（Ak）l=Akl．

由于矩阵乘法不满足交换律，一般来讲（AB）k≠AkBk，（A+B）2≠A2+2AB+B2. 只有当A与B可交换（即AB=BA）时，公式

（AB）k=AkBk，（A+B）2=A2+2AB+B2，（A+B）（A-B）=A2-B2

等才成立．

例5　设矩阵求A2和A3.

四、矩阵的转置

定义6　设m×n矩阵把矩阵A的行换成同序数的列，得到的n×m矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为AT，即

矩阵的转置满足下面的运算规律（这里k为常数，A与B为同型矩阵）：

（1）（AT）T=A；

（2）（A+B）T=AT+BT；

（3）（AB）T=BTAT；

（4）（kA）T=kAT．

证明　这些性质的证明仍属验证式的证明，可仿照矩阵乘法性质的证明，留给读者自己验证．

例6　设矩阵求（AB）T．

解法一

所以

解法二

定义7　n阶方阵A如果满足AT=A，则称A为对称矩阵，如果满足AT=-A，则称A为反对称矩阵．

由定义可知，如果n阶方阵A=（aij）是对称矩阵，则aij=aji（i≠j；i，j=1，2，…，n）．如果n阶方阵A=（aij）是反对称矩阵，则aij=-aji（i≠j；i，j=1，2，…，n），且aii=0（i=1，2，…，n）．

例7　设矩阵A是m×n矩阵，证明：ATA和AAT都是对称矩阵．

证明　因为

（ATA）T=AT（AT）T=ATA，（AAT）T=（AT）TAT=AAT，

所以ATA和AAT都是对称矩阵．

习题1-1

1. 设写出为增广矩阵的线性方程组．

2. 设等式成立，求a，b，x，y．

3. 设计算

（1）A+2B，3A-B；　（2）ABT和ATB．

4. 设矩阵求（A+B）（A-B）．

5. 设矩阵求A2+3A-2B．

6. 计算下列各题：

7. 设求所有与A可交换的矩阵．

8. 设A是n阶矩阵，证明AT+A是对称矩阵，AT-A是反对称矩阵．

9. 设矩阵求An．

第二节 分块矩阵

［课前导读］

当矩阵的行数和列数较高时，为了证明或计算的方便，常把矩阵分成若干小块，把每个小块当作“数”来处理，这便是矩阵的分块．这一节我们将讨论矩阵的分块方式和分块矩阵的计算．在学习这一节之前，需要读者熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵乘法和矩阵的转置运算．

一、分块矩阵的概念

对于行数和列数较高的矩阵A，运算时常用一些横线和竖线将矩阵A分划成若干个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．一个矩阵的分块方式会有很多种，例如，将4×5矩阵

划分成如下三种形式：

按（1）的分块，我们可以记为

其中

按（2）的分块，我们可以记为

其中

按（3）的分块，我们可以记为

A=（A11，A12，A13，A14，A15），

其中

第三种分块方式称为矩阵的按列分块．类似地，也有矩阵的按行分块，分块矩阵请读者写出．

对于线性方程组

其系数矩阵

按列分块可写成

A=（α1，α2，…，αn），

其中，表示A的第j列．记则该线性方程组的增广矩阵

按分块矩阵的记法，可记为

二、分块矩阵的运算

分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，不同的计算方式，分块的原则不同，下面分情况讨论．

（1）分块矩阵加（减）运算：设A、B都是m×n矩阵，对两个矩阵的行和列采用相同的分块方式，不妨设

其中Aij和Bij的行数相同、列数相同，则有

例1　求矩阵的和A+B．

解　因为矩阵A与B都是4×4的矩阵，为了方便计算，我们用矩阵的分块来求A+B．先根据矩阵A的特点划分矩阵A，再根据矩阵加法的分块原则来划分矩阵B．将矩阵A与B写成分块矩阵如下：

于是，

而

所以

（2）分块矩阵的数乘运算：矩阵的分块方式没有特别规定，对任意的分块

都有

所以在矩阵的数乘运算中，对矩阵的分块可以根据矩阵本身的特点而定．

（3）分块矩阵的乘法：设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，要求矩阵A的列分块方式与矩阵B的行分块方式保持一致，而对矩阵A的行分块方式及矩阵B的列分块方式没有任何要求和限制．不妨设

其中Ai1，Ai2，…，Aik的列数分别等于B1j，B2j，…，Bkj的行数，则

其中　

例2　设求AB．

解　把矩阵A与B进行如下分块：

而

所以

（4）分块矩阵的转置：设

（5）分块对角阵：设A是n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，且这些非零子块都是方阵，而其余子块都是零矩阵，即

其中Ai（i=1，2，…，t）都是方阵，这样的分块阵称为分块对角阵．

例3　设ei=（0，…，0，1，0，…，0）T为第i个分量为1而其余元素全为0的列向量，则n阶单位矩阵可以分块为En=（e1，e2，…，en）．将矩阵A按列分块为A=（A1，A2，…，An），其中Ak为矩阵A的第k个列向量，则有

（A1，A2，…，An）=A=AE=A（e1，e2，…，en）=（Ae1，Ae2，…，Aen），

从而有

Aek=Ak（k=1，2，…，n），

即Aek为矩阵A的第k列．同理，是矩阵A的第k行．易知是A的（k，l）元素．

例4　设A是m×n矩阵，如果对任意的n×1矩阵α都有Aα=O，证明A=O．

证明　由矩阵α的任意性，可选取α分别等于ej（j=1，2，…，n），根据例3则有

Aα=Aej=Aj=O（j=1，2，…，n），

所以A=O．

习题1-2

1. 设求AC及AB-BTA．

2. 设A是一个3阶方阵，矩阵利用分块矩阵的乘法求AB．

3. 设n阶方阵其中En-1表示n-1阶单位阵，证明：k=1，2，…，n-1，An=En．

4. 设A1，A2，…，As分别是ni（i=1，2，…，s）阶方阵，分块对角阵求Dk，其中k是正整数．

第三节 线性方程组与矩阵的初等变换

［课前导读］

本节通过高斯消元法解线性方程组，引入矩阵的初等行变换，并给出矩阵的初等变换、阶梯形矩阵、行最简形矩阵、矩阵等价等概念．最后，我们利用矩阵的初等行变换来求解线性方程组．在学习本节之前，需要读者回忆消元法解线性方程组的相关知识．当然，正文中会详细给出如何用消元法解线性方程组．

一、矩阵的初等变换

在中学时我们就学过高斯消元法解线性方程组，简单地说，就是通过方程组中方程之间的运算，把一些方程中的未知量消去，从而得到方程组的解．

下面，我们用高斯消元法来解一个线性方程组．由于线性方程组与它的增广矩阵有着对应关系，为了了解在求解过程中线性方程组的增广矩阵的变化，我们把在消元过程中出现的线性方程组的增广矩阵写在该方程组的右边．

矩阵的初等变换

例1　求解线性方程组

解

在用消元法解线性方程组的过程中，我们主要用到了下列三种方程之间的变换：

（1）交换两个方程的次序；

（2）一个方程乘上一个非零数；

（3）一个方程乘上一个非零数加到另一个方程上．

这三种方程之间的变换都是可逆的，比如在例1中，交换原方程组的第一个方程和第二个方程得到方程组（1），于是交换方程组（1）的第一个方程和第二个方程就得到原方程组；把方程组（1）的第一个方程乘以-2分别加到第二个方程和第三个方程上得到方程组（2），则方程组（2）的第一个方程乘以2分别加到第二个方程和第三个方程上就得到方程组（1）；方程组（2）的第二个方程乘以-1加到第三个方程上，然后第三个方程乘以-1得到方程组（3），则方程组（3）的第三个方程乘以-1，然后第二个方程乘以1加到第三个方程上就得到方程组（2）．因此，变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．从而最后求得的方程组（5）的解就是原方程组的解，即原方程组有唯一解：x1=1，x2=1，x3=4．由此可见，对矩阵实施这些变换是十分必要的，我们引入如下定义．

定义1　下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

（1）交换矩阵的某两行，我们用ri↔rj表示交换矩阵的第i、j两行；

（2）矩阵的某一行乘以非零数，用kri表示矩阵的第i行元素乘以非零数k；

（3）将矩阵的某一行的倍数加到另一行，用rj+kri表示将矩阵第i行的k倍加到第j行．

将上面定义中的“行”换成“列”（记号由“r”换成“c”），就得到了矩阵的初等列变换的定义．

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换．

显然，三种初等行（列）变换都是可逆的（简单的说，就是变换可以还原），它们的逆变换分别为：变换ri↔rj的逆变换就是其本身；变换kri的逆变换是变换rj+kri的逆变换是rj+（-k）ri．

在例1中，线性方程组（3）、（4）、（5）对应的增广矩阵有一个共同特点，就是：可画一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数就是非零行的行数；每一非零行的第一个非零元位于上一行第一个非零元的右侧，即

这样的矩阵，我们称为行阶梯形矩阵．对于最后一个矩阵，它的非零行的第一个非零元全为1，并且这些“1”所在的列的其余元素全为零，这样的阶梯形矩阵，我们称为行最简形矩阵．

例2　矩阵不是行阶梯形矩阵，因为第一行第一个非零元2下方有非零元素4；

矩阵也不是行阶梯形矩阵，因为第二行第一个非零元3不在上一行第一个非零元1的右侧；

矩阵也不是行阶梯矩阵，因为全零行（第二行）下面有非全零行（第三行）；

矩阵是行阶梯形矩阵，并且是行最简形矩阵．

例3　试用矩阵的初等行变换将矩阵先化为行阶梯形矩阵，再进一步化为行最简形矩阵．

对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵．例如，将例3中的行最简形矩阵再实施初等列变换，得

最后一个矩阵F称为矩阵A的标准形，写成分块矩阵的形式，则有

对于一般的矩阵，我们有下面的结论．

定理　（1）任意一个m×n矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵；

（2）任意一个m×n矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；

（3）任意一个m×n矩阵总可以经过若干次初等变换（行变换和列变换）化为它的标准形其中r为行阶梯形矩阵中非零行的行数．

定义2　若矩阵A经过有限次初等行（列）变换化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B行（列）等价；若矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价．

我们用表示矩阵A与矩阵B行等价，用表示矩阵A与矩阵B列等价，用A~B表示矩阵A与矩阵B等价．

注意：矩阵间的行（列）等价以及矩阵间的等价是一个等价关系，即满足

（1）自反性：任意矩阵A与自身等价．

（2）对称性：若矩阵A与矩阵B等价，则矩阵B与矩阵A等价．

（3）传递性：若矩阵A与矩阵B等价，矩阵B与矩阵C等价，则矩阵A与矩阵C等价．

等价关系是数学中一个十分重要的概念．等价的对象具有某种共性，这在以后可以得到具体的体现．

二、求解线性方程组

对于n元线性方程组

如果bi（i=1，2，…，m）不全为零，那么这个线性方程组称为n元非齐次线性方程组，如例1中的方程组就是3元非齐次线性方程组．如果b1=b2=…=bm=0，即形如

的线性方程组称为n元齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组一定有解x1=x2=…=xn=0，这个解称为齐次线性方程组的零解．如果齐次线性方程组有唯一解，则这个唯一解必定是零解．当齐次线性方程组有无穷多解时，我们称齐次线性方程组有非零解．下面，我们用矩阵的初等行变换来求解线性方程组．

消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组的增广矩阵做初等行变换，将原方程组的增广矩阵先化为行阶梯形矩阵，然后再化为行最简形矩阵的过程．而增广矩阵的行最简形矩阵所对应的线性方程组与原线性方程组是同解的．因此，解n元非齐次线性方程组的具体步骤如下：

（1）写出线性方程组（3-1）的增广矩阵

（2）对实施初等行变换，化为行最简形矩阵

（3）写出以为增广矩阵的线性方程组；

（4）以第一个非零元为系数的未知量作为固定未知量，留在等号的左边，其余的未知量作为自由未知量，移到等号右边，并令自由未知量为任意常数，从而求得线性方程组的解．

例4　解方程组

解　对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，得

从而原方程组等价于令x4=c，移项，得原方程组的解为：其中c为任意常数．

例5　解方程组

解　对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，得

从而原方程组等价于最后一个方程为矛盾方程，所以原方程组无解．

从例1、例4、例5可以看出，若线性方程组（3-1）的增广矩阵为的行最简形，则关于线性方程组（3-1）的解，我们有以下命题：

命题　（1）线性方程组（3-1）有解的充分必要条件是第一个非零元不出现在的最后一列；

（2）线性方程组（3-1）有唯一解的充分必要条件是第一个非零元不出现在的最后一列，且第一个非零元的个数等于未知量的个数；

（3）线性方程组（3-1）有无穷多解的充分必要条件是第一个非零元不出现在的最后一列，且第一个非零元的个数小于未知量的个数．

证明　只需证明条件的充分性，因为（1）、（2）、（3）的必要性可分别由（2）、（3），（1）、（3）和（1）、（2）的充分性利用反证法得到．对线性方程组（3-1）的增广矩阵实施初等行变换，化为行最简形矩阵为了书写方便，不妨设为

（1）如果首元出现在最后一列，即dr+1=1，于是的第r行对应矛盾方程0=1，从而线性方程组（3-1）无解．

（2）当dr+1=0（或dr+1不出现），且首元的个数等于未知量的个数时，变为

对应的方程组为

从而线性方程组（3-1）有唯一解．

（3）当dr+1=0（或dr+1不出现），且第一个非零元的个数小于未知量的个数时，变为

对应的方程组为

令自由未知数xr+1=k1，xr+2=k2，…，xn=kn-r，即得线性方程组（3-1）的含有n-r个参数的解

从而线性方程组（3-1）有无穷多解．

对于n元齐次线性方程组（3-2），由于等号右端的常数项全为零，所以只需对方程组的系数矩阵实施初等行变换即可．

例6　解线性方程组

解　对该线性方程组的系数矩阵实施初等行变换，得

所以该线性方程组只有零解．

例7　解方程组

解　对该线性方程组的系数矩阵实施初等行变换，得

从而原方程组等价于令x3=c，移项，得原方程组的解为：其中c为任意常数．

习题1-3

1. 用初等行变换将下列矩阵化为行最简形矩阵：

2. 解下列齐次线性方程组：

3.

....