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推荐语：内容经典，紧扣考研，习题全解步骤清晰

作者：同济大学数学系编

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2017-01-01

书籍编号：30489054

ISBN：9787115427663

正文语种：中文

字数：66430

版次：

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：高等数学习题全解.下册

编者：同济大学数学系

ISBN：9787115427663

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内容提要

本书是与同济大学数学系编写的《高等数学》（ISBN 978-7-115-42640-6，人民邮电出版社出版）配套的学习辅导书。全书按照教育部大学数学教学指导委员会的基本要求，充分吸取当前优秀高等数学教材辅导书的精华，并结合数年来的教学实践经验，针对当今学生的知识结构和习惯特点编写。全书分为上下两册。本书为下册，是多元函数微积分部分，一共有四章，主要内容包括向量与空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数。每章包含基本要求，主要方法，例题解析与习题详解四个部分。

本书具有相对的独立性，可为学习高等数学的工科和其他非数学专业学生提供解题指导，也可供准备报考硕士研究生的人员复习高等数学时参考使用。例题和习题解答还可供高等数学的老师在习题课时选用。

第五章 向量与空间解析几何

一、基本要求

二、主要方法

1. 向量的运算

向量的运算，重点是用向量的坐标进行运算.要做到运算正确、熟练，首先应熟记一些常用的公式.

向量的模：

方向余弦：

线性运算：a±b=（a_x±b_x，a_y±b_y，a_z±b_z），λa=（λa_x，λa_y，λa_z）.

数量积：a·b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.

向量积：

两向量的夹角：

向量的投影：

向量平行的充要条件：

向量垂直的充要条件：

以a、b为邻边的平行四边形的面积：S=|a×b|.

2. 平面和直线

根据几何条件，求出平面或直线的方程是这部分的主要内容.

平面方程有三种基本形式：

（1）点法式方程：A（x-x₀）+B（y-y₀）+C（z-z₀）=0.

（2）一般方程：Ax+By+Cz+D=0.

（3）截距式：

直线方程也有三种基本形式：

（1）点向式：

（2）参数式：

（3）一般式：

3. 曲面与曲线

旋转曲面：曲线L：f（y，z）=0绕z轴旋转所形成的旋转曲面方程为，绕y轴旋转所形成的旋转曲面方程为

柱面：准线是xOy面上的曲线C的柱面方程为F（x，y）=0.

二次曲面：

（1）椭球面：

（2）锥面：z²=a²x²+b²y²，特别地，

（3）抛物面：z=a²x²+b²y²，特别地，z=x²+y².

曲线方程：

（1）一般式：

（2）参数式：

三、例题解析

例1　已知向量a=3i-j+5k，b=2i+3j-7k，试求一向量x，使它与z轴垂直且满足x·a=5，x·b=-4.

解　设向量x=（x，y，z），由得x=（1，-2，0）.

例2　已知a、b是两个模都为2的向量，且它们的夹角为，若c₁=a×b，c₂=（c₁×a）×b，…，c_n+1=（c_n×a）×b，求|c_n|.

例3　求通过三平面2x+y-z=2，x-3y+z+1=0和x+y+z-3=0的交点，且平行于平面x+y+2z=0的平面方程.

解　所求平面平行于x+y+2z=0，所以该平面的法向量为（1，1，2）.

三平面的交点为解得x=1，y=1，z=1.

所以所求平面为（x-1）+（y-1）+2（z-1）=0，即

x+y+2z-4=0.

例4　求直线在平面x+y+z=0上的投影直线方程.

解　由平面束方程知，直线的投影平面方程为

（x+y-z-1）+λ（y-x-z-1）=0，

即　（1-λ）x+（1+λ）y-（1+λ）z-（1+λ）=0.

上述平面与平面x+y+z=0垂直，所以

（1-λ）·1+（1+λ）·1-（1+λ）·1=0，

得到λ=1.于是投影平面为

2y-2z-2=0，

即　y-z-1=0.

所求投影直线方程为

例5　求直线l：在平面π：x-y+2z-1=0上的投影直线l₀的方程，并求l₀绕y轴旋转一周所成的曲面方程.

解　l的方程可写成所以过l的方程可写成

（x-y-1）+λ（y+z-1）=0，

即　x+（λ-1）y+λz-（1+λ）=0.

因它与已知平面垂直，即1-（λ-1）+2λ=0，解得

λ=-2，

所以过l与已知平面垂直的平面方程为x-3y-2z+1=0，故l₀的方程为

于是l₀绕y轴旋转一周所成的曲面方程为

即　4x²-17y²+4z²+2y-1=0.

四、习题详解

习题5-1 向量及其运算

1. 填空题.

（1）已知点A（2，-1，1），则点A与z轴的距离是_____，与y轴的距离是_____，与x轴的距离是_____.

（2）向量a=（-2，6，-3）的模为|a|=_____，方向余弦为cosα=_____，cosβ=_____，cosγ=_____，其同方向的单位向量e_a=_____.

（3）设α、β、γ是向量a的三个方向角，则sin²α+sin²β+sin²γ=_____.

（4）设向量a=（2，-1，4）与向量b=（1，k，2）平行，则k=_____.

（5）已知三点M₁（1，-2，3），M₂（1，1，4），M₃（2，0，2），则_____，_____.

（6）以点A（2，-1，-2），B（0，2，1），C（2，3，0）为顶点，作平行四边形ABCD，此平行四边形的面积等于_____.

（7）向量a=（4，-3，1）在b=（2，1，2）上的投影Prj_ba=_____，b在a上的投影Prj_ab=_____.

（8）设a=（1，2，3），b=（-2，k，4），而a⊥b，则k=_____.

（4）因为两向量平行，故对应坐标成比例，即

（8）因为a⊥b，所以a与b的数量积为零，即

a·b=（1，2，3）·（-2，k，4）=-2+2k+12=0，

从而k=-5.

2. 一向量与x轴和y轴的夹角相等，而与z轴的夹角是与x轴、y轴夹角的两倍，求向量的方向角.

解　已知α=β，γ=2α，故由cos²α+cos²α+cos²（2α）=1得

2cos²α（2cos²α-1）=0，

解得cosα=0及，于是

3. 给定M（-2，0，1），N（2，3，0）两点，在x轴上有一点A，满足|AM|=|AN|，求点A的坐标.

解　因为点A在x轴上，可设所求点为A（x，0，0），依题设|AM|=|AN|，即

所以x=1，从而所求点为A（1，0，0）.

4. 从点A（2，-1，7）沿向量a=（8，9，-12）方向取长为34的线段AB，求点B的坐标.

解　设点B的坐标为，又，故设

，即x-2=8λ，y+1=9λ，z-7=-12λ，

解得λ=2，从而点B的坐标为（18，17，-17）.

5. 设点P在y轴上，它到点的距离为到点P₂（1，0，-1）的距离的两倍，求点P的坐标.

解　因为点P在y轴上，设点P的坐标为（0，y，0），

因为|PP₁|=2|PP₂|，即

解得y=±1，所求点为（0，1，0），（0，-1，0）.

6. 设点A位于第Ⅰ卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为和，且，求点A的坐标.

解　由关系式cos²α+cos²β+cos²γ=1，

因为点A在第Ⅰ卦限，知cosγ>0，故

于是点A的坐标为

7. 证明：Prj_u（λa）=λPrj_ua.

证明　记

当λ>0时，φ₁=φ，Prj_u（λa）=|λa|cosφ₁=λ|a|cosφ=λPrj_ua；

当λ<0时，φ₁=π-φ，

Prj_u（λa）=|λa|cosφ₁=-λ|a|cos（π-φ）=λ|a|cosφ=λPrj_ua.

当λ=0时，显然成立.

因此Prj_u（λa）=λPrj_ua.

8. 记e_a为非零向量a的同向单位向量，证明：

证明　由于e_a、a同向，故a=λe_a（λ>0），且|e_a|=1，因此|a|=λ|e_a|=λ，即a=|a|e_a，注意到|a|≠0，故结论成立.

9. 求平行于向量a=6i+7j-6k的单位向量.

解　所求向量有两个，一个与a同向，一个与a反向.

由于

从而

10. 设向量a与各坐标轴成相等的锐角，，求向量a的坐标表达式.

解　因为向量a与各坐标轴成相等的锐角，所以a的三个方向角α=β=γ，又因为

cos²α+cos²β+cos²γ=1，

因此3cos²α=1，

因为和a同方向的单位向量从而

11. 已知a=（1，1，-4），b=（1，-2，2），求：

（1）a·b；

（2）a与b的夹角θ；

（3）a在b上的投影.

解　（1）a·b=1·1+1·（-2）+（-4）·2=-9.

（2）从而

（3）因为a·b=|b|Prj_ba，所以

12. 已知两点和M₂（1，3，0），计算向量的模、方向余弦和方向角.

13. 设，求：

（1）（3a+2b）·（2a-5b）；

（2）|a-b|².

14. 已知点A（1，-3，4），B（-2，1，-1），C（-3，-1，1），求：

（1）∠ABC；

（2）上的投影.

15. 已知a=（2，3，1），b=（1，-2，1），求a×b及b×a.

16. 已知向量a=（2，-3，1），b=（1，-1，3），c=（1，-2，0），求：

（1）（a+b）×（b+c）；（2）（a×b）·c；（3）（a×b）×c；（4）（a·b）c-（a·c）b.

17. 求与a=3i-2j+4k，b=i+j-2k都垂直的单位向量.

18. 已知空间四点A（-1，0，3），B（0，2，2），C（2，-2，-1），D（1，-1，1），求与都垂直的单位向量.

19. 设向量a=2i+j，b=-i+2k，求以a、b为邻边的平行四边形的面积.

20. 求以点A（1，2，3），B（0，0，1），C（3，1，0）为顶点的三角形的面积.

21. 设A=2a+b，B=ka+b，其中|a|=1，|b|=2，a⊥b，问：

（1）k为何值时，A⊥B；

（2）k为何值时，以A与B为邻边的平行四边形的面积为6.

解　（1）A·B=0，所以

0=A·B=（2a+b）·（ka+b）=2k|a|²+|b|²=2k+4，k=-2；

（2）A×B=（2a+b）×（ka+b）=（2-k）（a×b），

平行四边形面积为A×B的模，所以

所以　k₁=5，k₂=-1.

22. 已知a=2m+3n，b=3m-n，m、n是两个互相垂直的单位向量，求：

（1）a·b；（2）|a×b|.

（2）a×b=（2m+3n）×（3m-n）=6m×m-2m×n+9n×m-3n×n=-11m×n，

23. 设a、b、c满足a+b+c=0.

（1）证明：

（2）若还满足|a|=3，|b|=4，|c|=5，求|a×b+b×c+c×a|.

证明　（1）因a+b+c=0，所以

0=（a+b+c）·（a+b+c）=a·a+b·b+c·c+2（a·b+b·c+c·a），

即有

（2）因c=-（a+b），故

b×c=-b×（a+b）=a×b，c×a=-（a+b）×a=a×b，

由于

所以

24. 设a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b之间的夹角θ.

解　由于（a+3b）⊥（7a-5b），所以（a+3b）·（7a-5b）=0，即

7|a|²-15|b|²+16a·b=0.　（1）

又（a-4b）⊥（7a-2b），所以（a-4b）·（7a-2b）=0，即

7|a|²+8|b|²-30a·b=0　（2）

联立方程（1）、（2）得

|a|²=|b|²=2a·b，

所以

25. 试用向量方法证明三角形的余弦定理.

证明　设在△ABC中，∠BCA=θ，|CB|=a，|CA|=b，|AB|=c，

现要证c²=a²+b²-2abcosθ.记则有c=a-b，从而|c|²=c·c=（a-b）·（a-b）=a·a+b·b-2a·b=|a|²+|b|²-2|a|·|b|cosθ.

由|a|=a，|b|=b，|c|=c，即得

c²=a²+b²-2abcosθ.

26. 试用向量积证明三角形正弦定理.

证明　设△ABC的三个内角为α、β、γ，三边长为a、b、c，

因为，所以

故即

两边取模，有，即bcsinα=acsinβ，故

同理可证

因此三角形正弦定理得证.

27. 已知向量a≠0，b≠0，证明

|a×b|²=|a|²·|b|²-（a·b）².

28. 已知a、b、c两两垂直，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求s=a+b+c的长度与它和a、b、c的夹角.

29. 已知a=（7，-4，-4），b=（-2，-1，2），向量c在向量a与b的角平分线上，且，求c的坐标.

解　取-7，2），

c=λ（1，-7，2），

注　这里向量e_a+e_b在a与b的角平分线上（见图5-1）.

图5-1

或设c=λ（|b|a+|a|b）=λ（3（7，-4，-4）+9（-2，-1，2））=3λ（1，-7，2），

30. 设向量x与j成60°角，与k成120°角，且求x.

解　由题意知，则

习题5-2 平面及其方程

1. 填空题.

（1）过原点且与向量a=（3，1，-1）垂直的平面方程为_____.

（2）平面x+2y+kz+1=0与向量a=（1，2，1）垂直，则k=_____.

（3）过点M（2，0，-1）且与向量a=（2，1，-1），b=（3，0，4）平行的平面方程为_____.

解　（1）因为向量a=（3，1，-1）与平面垂直，即向量a可取为平面的法向量.由平面的点法式方程可知，平面方程为

3（x-0）+1（y-0）+（-1）（z-0）=0，

即　3x+y-z=0.

（2）已知平面方程为x+2y+kz+1=0，则其法向量为n=（1，2，k），因a与平面垂直，故a∥n，即对应坐标成比例，从而k=1.

（3）由题意可知，平面的法向量

n=a×b=（2，1，-1）×（3，0，4）=（4，-11，-3），

由平面的点法式方程可知，平面方程为4（x-2）-11（y-0）-3（z+1）=0，

即　4x-11y-3z-11=0.

2. 指出下列平面位置的特点，并画出各平面.

（1）2x+z+1=0；

（2）y-z=0；

（3）x+2y-z=0；

（4）9y-1=0；

（5）x=0；

（6）2x+z=0.

解　（1）平面的法向量为n=（2，0，1），n·j=（2，0，1）·（0，1，0）=0，即n⊥j，从而法向量垂直于y轴，因此平面平行于y轴；

（2）平面中常数项D为零，故平面过原点；又平面的法向量为n=（0，1，-1），n·i=（0，1，-1）·（1，0，0）=0，即n⊥i，从而法向量垂直于x轴，因此平面平行于x轴且过原点，从而过x轴；

（3）平面中常数项D为零，故平面过原点；

（4）平面的法向量为n=（0，9，0），n·i=（0，9，0）·（1，0，0）=0且n·k=（0，9，0）·（0，0，1）=0，即n⊥i且n⊥k，从而法向量垂直于x轴且垂直于z轴，即垂直于xOz面，因此平面平行于xOz面；

（5）平面中常数项D为零，故平面过原点；

平面的法向量为n=（1，0，0），n·j=（1，0，0）·（0，1，0）=0且n·k=（1，0，0）·（0，0，1）=0，即n⊥j且n⊥k，从而法向量垂直于z轴且垂直于y轴，即垂直于yOz面，又平面过原点，因此平面即为yOz面；

（6）平面中常数项D为零，故平面过原点；平面的法向量为n=（2，0，1），n·j=（2，0，1）·（0，1，0）=0，即n⊥j，从而法向量垂直于y轴，又平面过原点，因此平面过y轴.

以上图形略.

3. 求满足下列条件的平面方程.

（1）求过点M（1，1，1）且与平面3x-y+2z-1=0平行；

（2）过点M（1，2，1）且同时与平面x+y-2z+1=0和2x-y+z=0垂直；

（3）与x、y、z轴的交点分别为（2，0，0），（0，-3，0）和（0，0，-1）；

（4）通过x轴且经过点（1，2，-1）；

（5）垂直于两平面x-y+z-1=0，2x+y+z+1=0，且通过点（1，-1，1）；

（6）平行于向量a=（2，1，-1）且在x轴、y轴上的截距依次为3和-2.

解　（1）所求平面与已知平面平行，故所求平面的法向量可取为n=（3，-1，2），由平面的点法式方程可知，平面方程为

3（x-1）-（y-1）+2（z-1）=0，

即　3x-y+2z-4=0.

（2）平面x+y-2z+1=0的法向量为n₁=（1，1，-2），

平面2x-y+z=0的法向量为n₂=（2，-1，1），

所求平面与两个已知平面垂直，故所求平面的法向量可取为

n=n₁×n₂=（1，1，-2）×（2，-1，1）=（-1，-5，-3），

由平面的点法式方程可知，平面方程为

-1（x-1）-5（y-2）-3（z-1）=0，

即　x+5y+3z-14=0.

（3）由平面的截距式可得

（4）由于平面通过x轴，则A=0，D=0，故可设平面方程为By+Cz=0，又平面经过点（1，2，-1），代入方程By+Cz=0，得2B-C=0，从而C=2B，又C≠0，以此代入所设方程并除以B（B≠0），便得所求方程为

y+2z=0.

（5）平面x-y+z-1=0的法向量为n₁=（1，-1，1），

平面2x+y+z+1=0的法向量为n₂=（2，1，1），

所求平面与两个已知平面垂直，故所求平面的法向量可取为

n=n₁×n₂=（1，-1，1）×（2，1，1）=（-2，1，3），

由平面的点法式方程可知，平面方程为

-2（x-1）+（y+1）+3（z-1）=0，

即　-2x+y+3z=0.

（6）由平面的截距式，可设平面方程为由平面平行于向量a，即平面的法向量n⊥a，从而可得c=6，从而平面方程为

4. 求经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）且与x轴平行的平面方程.

解　取已知两点的连线向量所求平面的法向量为

故所求平面方程为0（x-4）-9（y-0）+a（z+2）=0，

即　-9y+z+2=0.

5. 求过点A（1，1，-1）和原点且与平面4x+3y+z=1垂直的平面方程.

解　设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，法向量为n=（A，B，C），则有

解关于A、B、C、D的方程，可得

代入方程Ax+By+Cz+D=0，约去B（B≠0），即得

4x-5y-z=0.

6. 求过z轴和点M（-3，1，2）的平面方程.

解　因为平面过z轴，即可设为Ax+By=0，把点M（-3，1，2）的坐标代入，有

-3A+B=0，B=3A，

代入Ax+By=0，即得

Ax+3Ay=0，

由于A≠0，从而所求平面方程为

x+3y=0.

7. 求过三点A（2，3，0），B（-2，-3，4）和C（0，6，0）的平面方程.

解　设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，由于平面过三点，将其坐标代入平面方程，得

解关于A、B、C、D的方程，可得

代入方程，消去B（B≠0），得

3x+2y+6z-12=0.

8. 一平面过点A（1，-4，5）且在各坐标轴上的截距相等，求它的方程.

解　因为平面在各坐标轴上的截距相等，可设平面的截距式方程为

即　x+y+z=a，

又平面过A（1，-4，5），代入方程，可得a=2，因此

x+y+z=2.

9. 设平面过原点及点（6，-3，2）且与平面4x-y+2z=8垂直，求此平面方程.

解　设平面为Ax+By+Cz+D=0，

由平面过原点知D=0，由平面过点（6，-3，2）知

6A-3B+2C=0.　（1）

因为（A，B，C）⊥（4，-1，2），所以

4A-B+2C=0.　（2）

联立（1）、（2）可得

所求平面方程为

2x+2y-3z=0.

10. 求平行于平面6x+y+6z+5=0且与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

解　设平面方程为

因为V=1，所以

由所求平面与已知平面平行得

所以　a=1，b=6，c=1.

所求平面方程为

即　6x+y+6z=6.

11. 若平面x+ky-2z=0与平面2x-3y+z=0的夹角为，求k的值.

解　平面x+ky-2z=0的法向量为n₁=（1，k，-2），

平面2x-3y+z=0的法向量为n₂=（2，-3，1），

所以两平面夹角的余弦为

解得

12. 求经过两点M₁（3，-2，9）和M₂（-6，0，-4）且与平面2x-y+4z-8=0垂直的平面的方程.

解　设所求的平面方程为Ax+By+Cz+D=0.由于点M₁和M₂在平面上，故

3A-2B+9C+D=0，-6A-4C+D=0.

又由于所求平面与平面2x-y+4z-8=0垂直，由两平面垂直条件有2A-B+4C=0.

从上面三个方程中解出A、B、C，得

代入所设方程，并约去因子得所求的平面方程为

x-2y-z+2=0.

13. 求平面5x-14y+2z-8=0和xOy面的夹角.

解　平面5x-14y+2z-8=0的法向量为n=（5，-14，2），

xOy面的法向量为k=（0，0，1），

所以两平面夹角的余弦为

故所求夹角为

14. 求通过z轴且与平面的夹角为的平面方程.

解　因为平面过z轴，可设其方程为Ax+By=0.又因为与已知平面夹角为故

所求平面方程为x+3y=0或3x-y=0.

15. 推导两平行平面Ax+By+Cz+D_i=0，i=1，2之间的距离公式；并求将两平行平面x-2y+z-2=0与x-2y+z-6=0之间距离分成1∶3的平面方程.

解　在平面Ax+By+Cz+D₂=0上取一点P（x₀，y₀，z₀），则两平面的距离为点P到平面Ax+By+Cz+D₁=0的距离，即

点P（x₀，y₀，z₀）满足Ax₀+By₀+Cz₀=-D₂，所以两平面的距离为

两已知平面的距离为设所求平面为x-2y+z+D=0，与两已知平面的距离为则由解得D=-3；或由解得D=-5.从而所求平面方程为

x-2y+z-3=0或x-2y+z-5=0.

16. 证明：过不在一直线上三点（x_i，y_i，z_i），i=1，2，3的平面方程为

并写出过（1，1，-1），（-2，-2，2），（1，-1，2）三点的平面方程.

证明　记点A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），C（x₃，y₃，z₃），在平面上任取一点M（x，y，z），则向量共面，而

将A（1，1，-1），B（-2，-2，2），C（1，-1，2）三点代入上式，得

从而所求平面方程为

x-3y-2z=0.

习题5-3 直线及其方程

1. 求满足下列条件的直线方程.

（1）过点（2，-1，4）且与直线平行；

（2）过点（2，-3，5）且与平面9x-4y+2z-1=0垂直；

（3）过点（3，4，-4）和（3，-2，2）.

解　（1）由于所求直线和已知直线平行，可取所求直线的方向向量为

s=（3，-1，2），

由直线的点向式可得直线的方程为

（2）平面9x-4y+2z-1=0的法向量为n=（9，-4，2），由于直线与平面垂直，可知直线的方向向量与平面的法向量平行，故可取直线的方向向量为

s=（9，-4，2），

由直线的点向式可得直线的方程为

（3）由于点（3，4，-4）和（3，-2，2）在直线上，可取方向向量为

s=（3-3，-2-4，2-（-4））=（0，-6，6）=6（0，-1，1），

由直线的点向式可得直线的方程为

2. 求过点（1，1，1）且同时与平面2x-y-3z=0和x+2y-5z=1平行的直线方程.

解　平面2x-y-3z=0的法向量为n₁=（2，-1，-3），

平面x+2y-5z=1的法向量为n₂=（1，2，-5），

由于直线同时平行于两平面，故必与两个法向量同时垂直，可设直线的方向向量

s=n₁×n₂=（2，-1，-3）×（1，2，-5）=（11，7，5），

由直线的点向式可得直线的方程为

3. 用点向式方程及参数方程表示直线

解　直线的方向向量可取为

s=n₁×n₂=（1，2，-1）×（2，-1，1）=（1，-3，-5），

易知所给直线过点（0，7，8），由直线的点向式可得直线的方程为

令故得直线的参数方程为

4. 求过点（1，0，-2）且与平面3x+4y-z+6=0平行，又与直线垂直的直线方程.

解　由已知，平面3x+4y-z+6=0的法向量为n=（3，4，-1），

直线的方向向量为s₁=（1，4，1），

设所求直线的方向向量为s，则有s⊥n，s⊥s₁，故可取

s=n×s₁=（3，4，-1）×（1，4，1）=（8，-4，8）=4（2，-1，2），

由直线的点向式可得直线的方程为

5. 确定下列各组中的直线和平面间的位置关系.

（1）和4x-2y-2z=3；

（2）和3x-2y+7z=8；

（3）和x+y+z=3.

解　（1）直线的方向向量为s=（-2，-7，3），点（3，-4，0）在直线上.

平面4x-2y-2z=3的法向量为n=（4，-2，-2），

由于n·s=（4，-2，-2）·（-2，-7，3）=0，故n⊥s，又点（3，-4，0）坐标不满足直线方程，故直线与平面平行.

（2）直线的方向向量为s=（3，-2，7），

平面3x-2y+7z=8的法向量为n=（3，-2，7），

由于n∥s，故直线与平面垂直.

（3）直线的方向向量为s=（3，1，-4），点（2，-2，3）在直线上；

平面x+y+z=3的法向量为n=（1，1，1）；

由于n·s=（1，1，1）·（3，1，-4）=0，故n⊥s，故直线与平面平行.

又点（2，-2，3）坐标满足平面方程，故直线在平面上.

6. 求直线和平面x-y-z+1=0的夹角.

解　直线的方向向量为

s=n1×n2=（1，1，3）×（1，-1，-1）=（2，4

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