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作者：周誓达著

出版社：中国人民大学出版社

出版时间：2018-01-16

书籍编号：30496109

ISBN：9787300247885

正文语种：中文

字数：191751

版次：

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：微积分（第4版）

作者：周誓达

出版社：中国人民大学出版社

出版日期：2018-01-16

ISBN：9787300247885

版权所有 · 侵权必究

第四版前言

大学本科经济应用数学基础特色教材系列是为大学本科各专业编著的高等数学教材，包括《微积分》、《线性代数与线性规划》及《概率论与数理统计》．这是一套特色鲜明的教材系列，其特色是：密切结合实际工作的需要，充分注意逻辑思维的规律，突出重点，说理透彻，循序渐进，通俗易懂．

经济应用数学基础（一）《微积分》共分七章，介绍了实际工作所需要的一元微积分、二元微积分及无穷级数、一阶微分方程等，书首列有预备知识初等数学小结．本书着重讲解基本概念、基本理论及基本方法，发扬独立思考的精神，培养解决实际问题的能力与熟练运算能力．

本书本着“打好基础，够用为度”的原则，去掉了对于实际工作并不急需的某些内容与某些定理的严格证明，而用较多篇幅详细讲述那些急需的内容，讲得流畅，讲得透彻，实现“在战术上以多胜少”的策略．本书不求深、不求全，只求实用，重视在实际工作中的应用，注意与专业课接轨，体现“有所为，必须有所不为”．

本书本着“服务专业，兼顾数学体系”的原则，不盲目攀比难度，做到难易适当，深入浅出，举一反三，融会贯通，达到“跳一跳就能够着苹果”的效果．本书在内容编排上做到前后呼应，前面的内容在后面都有归宿，后面的内容在前面都有伏笔，形象直观地说明问题，适当注意知识面的拓宽，使得“讲起来好讲，学起来好学”．

质量是教材的生命，质量是特色的反映，质量不过硬，教材就站不住脚．本书在质量上坚持高标准，不但内容正确无误，而且编排科学合理，尤其在复合函数导数运算法则的讲解上，在不定积分第一换元积分法则与分部积分法则的论述上，以及在二重积分计算的处理上都有许多独到之处，便于学生理解与掌握．衡量教材质量的一项重要标准是减少以至消灭差错，本书整个书稿都经过再三验算，作者自始至终参与排版校对，实现零差错．

例题、习题是教材的窗口，集中展示了教学意图．本书对例题、习题给予高度重视，例题、习题都经过精心设计与编选，它们与概念、理论、方法的讲述完全配套，其中除计算题、证明题及经济应用题外，尚有考查基本概念与基本运算技能的填空题与单项选择题．填空题要求将正确答案直接填在空白处；单项选择题是指在四项备选答案中，只有一项备选答案是正确的，要求将正确备选答案前面的字母填在括号内．书末附有全部习题答案，便于检查学习效果．

相信读者学习本书后会大有收获，并对学习微积分产生兴趣，快乐地学习微积分，增强学习信心，提高科学素质．记得尊敬的老舍先生关于文学创作曾经说过：写什么固然重要，怎样写尤其重要．这至理名言对于编著教材同样具有指导意义．诚挚欢迎各位教师与广大读者提出宝贵意见，作者本着快乐微积分的理念，将不断改进与完善本书，坚持不懈地提高质量，突出自己的特色，更好地为教学第一线服务．

特邀华北光学仪器厂第一科研设计所葛利达同志校对书稿、验算习题答案，谨表示衷心的感谢．

本书尚有配套辅导书《微积分学习指导》，它包括各章学习要点与全部习题详细解答，引导读者在全面学习的基础上抓住重点，达到事半功倍的效果。本书教学课件与《微积分学习指导》通过中国人民大学出版社网站供各位教师免费下载使用，进行交流，请登录http：／／www．crup．com．cn／jiaoyu获取．

周誓达

2018年1月15日于北京

引　论　 微积分思路

经济类与管理类高等数学是研究经济领域内数量关系与优化规律的科学，微积分是高等数学的基础．

微积分研究的对象是函数，主要是初等函数，研究的主要工具是极限．

微积分中最重要的基本概念是导数、微分、不定积分及定积分，最重要的基本运算是求导数与求不定积分．

应用微积分解决经济方面函数的数量关系与优化问题，是微积分的重要内容．

作为一元函数微积分学的延续，二元函数微分学在经济领域内有着广泛的应用．

作为微积分的发展，无穷级数是经济领域研究工作的有力数学工具．

微积分的精髓在于：在变化中考察各量之间的关系．可以说，没有变化就没有微积分．因此，必须以变化的观点学习微积分．

预备知识　 初等数学小结

微积分是以初等数学作为基础的，学习微积分必须熟练掌握下列初等数学知识．

1．区间

全体实数与数轴上的全体点一一对应，因此不严格区别数与点：实数x代表数轴上点x，数轴上点x也代表实数x．

在表示数值范围时，经常采用区间记号．已知数a与b，且a＜b，则开区间

闭区间

半开区间

上述三类区间是有穷区间，点a称为左端点，点b称为右端点．此外还有无穷区间：

2．幂

数学表达式a^b称为幂，其中a称为底，b称为指数．当指数取值为有理数时，相应幂的表达式表示为

在等号两端皆有意义的条件下，幂恒等关系式为

3．函数的概念

定义0﹒1　已知变量x与y，当变量x任取一个属于某个非空实数集合D的数值时，若变量y符合对应规则f的取值恒为唯一确定的实数值与之对应，则称对应规则f表示变量y 为x的函数，记作

其中变量x称为自变量，自变量x的取值范围D称为函数定义域；函数y也称为因变量，函数y的取值范围称为函数值域，记作G；对应规则f也称为对应关系或函数关系．

若函数f（x）的定义域为D，又区间I⊂D，则称函数f（x）在定义域D或区间I上有定义．

考虑对应规则y²＝x，无论变量x取任何正实数，变量y恒有两个实数值与之对应，因此对应规则y²＝x不表示变量y为x的函数，但是可以限制变量y的取值范围为y≤0或y≥0，而使得它分别代表函数

函数关系的表示方法有公式法、列表法及图形法，在应用公式法表示函数关系时，函数表达式主要有显函数y＝f（x）与隐函数即由方程式F（x，y）＝0确定变量y为x的函数．

定义0﹒2　已知函数y＝f（x），从表达式y＝f（x）出发，经过代数恒等变形，将变量x表示为y的表达式，若这个对应规则表示变量x为y的函数，则称它为函数y＝f（x）的反函数，记作

如果函数y＝f（x）存在反函数x＝f^－1（y），则函数x＝f^－1（y）也存在反函数y＝f（x），因此函数y＝f（x）与x＝f^－1（y）互为反函数．

定义0﹒3　已知函数y＝f（u）的定义域为U₁，函数u＝u（x）的值域为U₂，若交集U₁∩U₂非空集，则称变量y为x的复合函数，记作

其中变量x称为自变量，变量u称为中间变量，复合函数y也称为因变量．

只有一个自变量的函数称为一元函数，有两个自变量的函数称为二元函数．

4﹒函数定义域与函数值

对于并未说明实际背景的函数表达式，若没有指明自变量的取值范围，则求函数定义域的基本情况只有四种：

（1）对于分式，要求P（x）≠0；

（2）对于偶次根式，要求Q（x）≥0；

（3）对于对数式log_aR（x）（a＞0，a≠1），要求R（x）＞0；

（4）对于反正弦式arcsinS（x）与反余弦式arccosS（x），要求－1≤S（x）≤1．

求函数定义域的方法是：观察所给函数表达式是否含上述四种基本情况．如果函数表达式含上述四种基本情况中的一种或多种，则解相应的不等式或不等式组，得到函数定义域；如果函数表达式不含上述四种基本情况中的任何一种，则说明对自变量取值没有任何限制，所以函数定义域为全体实数，即D＝（－∞，＋∞）．

已知函数y＝f（x），当自变量x取一个属于定义域D的具体数值x₀时，它对应的函数y值称为函数y＝f（x）在点x＝x₀处的函数值，记作或f（x₀），意味着在函数y＝f（x）的表达式中，自变量x用数x₀代入所得到的数值就是函数值即f（x₀）．

有时为了简化函数记号，函数关系也可以记作y＝y（x），其中等号左端的记号y表示函数值，等号右端的记号y表示对应规则．

在平面直角坐标系中，一元函数的图形通常是一条平面曲线，称为函数曲线．

5．幂函数

在幂的表达式中，若底为变量x，而指数为常数α，则称函数y＝x^α为幂函数．当然有

幂函数y＝x，y＝x²，y＝及y＝的图形如图0-1．

图0-1

6．指数函数

在幂的表达式中，若底为常数a（a＞0，a≠1），而指数为变量x，则称函数y＝a^x为指数函数．

指数函数y＝a^x（a＞1）的图形如图0-2．

图0-2

7．对数函数

若a^y＝x（a＞0，a≠1），则将y表示为log_ax，称函数y＝log_ax为对数函数，其中a称为底，x称为真数，y称为对数．指数式a^y＝x与对数式log_ax＝y是表示a，x，y三者同一关系的不同表示方法，这两种形式可以互相转化．以10为底的对数称为常用对数，变量x的常用对数记作lgx，即lgx＝log₁₀x．

根据对数函数与指数函数的关系，再根据反函数的定义，可知对数函数y＝log_ax的反函数为指数函数x＝a^y（a＞0，a≠1）．

特殊的对数函数值为真数取值等于1或底时的对数值，即

在等号两端皆有意义的条件下，对数恒等关系式为

对数函数y＝log_ax（a＞1）的图形如图0-3．

图0-3

8．三角函数

以弧度作为度量角的单位时，“弧度”二字经常省略不写，弧度与度的换算关系为：π弧度＝180°，从而得到：0弧度＝0°，弧度＝30°，弧度＝45°，弧度＝60°，弧度＝90°．角x的正弦、余弦、正切、余切、正割及余割函数统称为三角函数，分别表示为y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx，y＝secx及y＝cscx．

特别当角x为锐角时，其三角函数可以用直角三角形有关两条边的比值表示，如图0-4，在RtΔABC中，设锐角x的对边为a，邻边为b，斜边为b，斜边为c，当然斜边，则有

图0-4

特殊角的正弦函数值、余弦函数值及正切函数值列表如表0-1：

表0-1

在等号两端皆有意义的条件下，同角三角函数恒等关系式主要有

异角三角函数恒等关系式中有

正弦函数y＝sinx的图形如图0-5．

图0-5

9．反三角函数

若，则将y表示为arcsinx，称函数y＝arcsinx为反正弦函数；

若cosy＝x（0≤y≤π），则将y表示为arccosx，称函数y＝arccosx为反余弦函数；

若，则将y表示为arctanx，称函数y＝arctanx为反正切函数；

若coty＝x（0＜y＜π），则将y表示为arccotx，称函数y＝arccotx为反余切函数．

上述函数统称为反三角函数．

根据反三角函数与三角函数的关系，再根据反函数的定义，可知反正弦函数y＝arcsinx的反函数为正弦函数，反正切函数y＝arctanx的反函数为正切函数．

特殊的反正弦函数值与反正切函数值列表如表0-2：

表0-2

反正切函数y＝arctanx的图形如图0-6．

图0-6

10．平面直线、圆及抛物线

在平面直角坐标系Oxy中，方程式

代表直线．特别地，方程式y＝y₀（y₀≠0）代表经过点（0，y₀）且平行于x轴的直线，方程式y＝0代表x轴；方程式x＝x₀（x₀≠0）代表经过点（x₀，0）且平行于y轴即垂直于x轴的直线，方程式x＝0代表y轴．经过点M₀（x₀，y₀）且斜率为k的直线方程的点斜式为

存在斜率的两条直线平行意味着斜率相等．

在平面直角坐标系Oxy中，方程式

代表圆心在原点、半径为r的圆．特别地，方程式代表下半圆，方程式代表上半圆．

在平面直角坐标系Oxy中，方程式

代表顶点在原点、对称于y轴的抛物线．若系数a＜0，则开口向下；若系数a＞0，则开口向上．

11．其他

（1）完全平方与立方

（2）因式分解

（3）有理化因式

无理式互为有理化因式，有

（4）阶乘

前n个正整数的连乘积称为n的阶乘，记作

并规定0！＝1．

（5）绝对值

实数x的绝对值

对于任何实数x都有关系式当然，当x≥0时，才有关系式

（6）一元二次方程式

一元二次方程式（x－x₁）（x－x₂）＝0的根为x＝x₁，x＝x₂．

（7）一元二次不等式

一元二次不等式（x－x₁）（x－x₂）≥0（x₁＜x₂）的解为x≤x₁或x≥x₂；

一元二次不等式（x－x₁）（x－x₂）≤0（x₁＜x₂）的解为x₁≤x≤x₂．

学习微积分还应了解下列初等数学知识．

1．n方差

2．对数换底

3．三角函数和差化积

4．反三角函数基本关系

5．等比数列的前n项和

首项a≠0，公比q≠1的等比数列

的前n项和

6．最大、最小及总和记号

已知n个实数x₁，x₂，…，x_n，它们中的最大者记作max｛x₁，x₂，…，x_n｝，最小者记作min｛x₁，x₂，…，x_n｝，它们的总和记作．

7．逻辑推理

若命题A成立必然得到命题B成立，则称命题A为命题B的充分条件，或称命题B为命题A的必要条件．

若命题A成立必然得到命题B成立，且命题B成立也必然得到命题A成立，则称命题A为命题B的充分必要条件，或称命题B为命题A的充分必要条件，这意味着命题A等价于命题B．

第一章　 函数与极限

§1﹒1　函数的类别与基本性质

首先讨论基本初等函数，它共有六大类．

1．常量函数y＝c（c为常数）

属于这一类的函数有无穷多个，它们的定义域D＝（－∞，＋∞）．

2．幂函数y＝x^α（α为常数）

属于这一类的函数有无穷多个，它们的定义域D与指数α的值有关，但无论指数α的值等于多少，恒有D⊃（0，＋∞）．

3．指数函数y＝a^x（a＞0，a≠1）

属于这一类的函数有无穷多个，它们的定义域D＝（－∞，＋∞）．

4．对数函数y＝log_ax（a＞0，a≠1）

属于这一类的函数有无穷多个，它们的定义域D＝（0，＋∞）．

5．三角函数

属于这一类的函数有六个，主要是四个：

正弦函数y＝sinx，定义域D＝（－∞，＋∞）；

余弦函数y＝cosx，定义域D＝（－∞，＋∞）；

正切函数y＝tanx，定义域；

余切函数y＝cotx，定义域D⊃（0，π）．

此外尚有正割函数y＝secx与余割函数y＝cscx．在本门课程中，一律以弧度作为度量角的单位．

6．反三角函数

属于这一类的函数也有六个，主要是四个：

反正弦函数y＝arcsinx，定义域D＝［－1，1］，值域

反余弦函数y＝arccosx，定义域D＝［－1，1］，值域G＝［0，π］；

反正切函数y＝arctanx，定义域D＝（－∞，＋∞），值域

反余切函数y＝arccotx，定义域D＝（－∞，＋∞），值域G＝（0，π）．

基本初等函数经过有限次四则运算得到的函数称为简单函数．

考虑函数y＝f（x），自变量取值皆属于定义域，在属于定义域的点x₀处，当自变量有了改变量Δx≠0，即自变量取值从x₀变化到x₀＋Δx，这时相应的函数值从f（x₀）变化到f（x₀＋Δx），因而函数也有了改变量，函数改变量记作

一般地，对于函数y＝f（x），在属于定义域的任意点x处，若自变量有了改变量Δx≠0，则函数改变量为

特别对于常量函数f（x）＝c（c为常数），函数改变量为

在进行微积分运算时，有时需要分解复合函数．分解自变量为x的复合函数y是指：令中间变量u等于复合函数y中作最后数学运算的表达式，将复合函数y分解为基本初等函数y＝f（u）与函数u＝u（x）．若函数u（x）为基本初等函数或简单函数，则分解终止；若函数u（x）仍为复合函数，则继续分解复合函数u（x）．

例1　分解复合函数

解：这个复合函数中最后的数学运算是表达式1＋x²作为被开方式求平方根运算，因而令中间变量u＝1＋x²，所以复合函数分解为

例2　分解复合函数y＝lg（1＋10^x）．

解：这个复合函数中最后的数学运算是表达式1＋10^x作为真数取对数运算，因而令中间变量u＝1＋10^x，所以复合函数y＝lg（1＋10^x）分解为

例3　分解复合函数y＝sin⁴5x．

解：这个复合函数中最后的数学运算是表达式sin5x作为底求幂运算，因而令中间变量u＝sin5x，所以复合函数y＝sin⁴5x分解为

但函数u＝sin5x仍为复合函数，这个复合函数中最后的数学运算是表达式5x作为角度求正弦运算，再令中间变量v＝5x，继续将复合函数u＝sin5x分解为

为了微积分运算的需要，有的简单函数可以看作是复合函数而进行分解，如简单函数y＝（1＋x³）¹⁰是30次多项式，分解为y＝u¹⁰与u＝1＋x³；简单函数y＝10^－x是分式，分解为y＝10^u与u＝－x．

其次给出初等函数的定义．

定义1﹒1　若函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合运算构成的，且用一个数学表达式表示，则称这样的函数为初等函数．

除初等函数外，还有分段函数．

定义1﹒2　已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数．

其中定义域所分成的有限个区间称为分段区间，分段区间的公共端点称为分界点，同时假定分段函数在各个分段区间上的对应规则都是初等函数表达式．

如何计算分段函数的函数值？观察分段函数在各分段区间上的对应规则与在各分界点处的取值，明确所给自变量取值属于哪个分段区间或分界点，再用该分段区间上的数学表达式计算函数值或等于该分界点处的函数取值．如分段函数

在点x＝－1处的函数值f（－1）＝（－1）²－1＝0．

最后讨论函数的基本性质，函数的基本性质主要有五种：

1．奇偶性

定义1﹒3　已知函数f（x）的定义域为D，对于任意点x∈D，若恒有f（－x）＝－f（x），则称函数f（x）为奇函数；若恒有f（－x）＝f（x），则称函数f（x）为偶函数．

奇函数的图形对称于原点，偶函数的图形对称于纵轴．

当然，许多函数既不是奇函数，也不是偶函数，称为非奇非偶函数．

例4　判断函数f（x）＝x⁵＋x³的奇偶性．

解：由于关系式

所以函数f（x）＝x⁵＋x³为奇函数．

例5　判断函数f（x）＝xsinx－cosx的奇偶性．

解：由于关系式

所以函数f（x）＝xsinx－cosx为偶函数．

2．有界性

定义1﹒4　已知函数f（x）在区间I（可以是开区间，也可以是闭区间或半开区间）上有定义，若存在一个常数M＞0，使得对于所有点x∈I，恒有｜f（x）｜≤M，则称函数f（x）在区间I上有界；否则称函数f（x）在区间I上无界．

例6　判断函数f（x）＝sinx在定义域D＝（－∞，＋∞）内的有界性．

解：在定义域D＝（－∞，＋∞）内，无论自变量即角度x取值等于多少，恒有｜f（x）｜＝｜sinx｜≤1，所以函数f（x）＝sinx在定义域D＝（－∞，＋∞）内有界．

例7　判断函数在区间（0，1）内的有界性．

解：在区间（0，1）内，自变量即分母x取值可以无限接近于零，因而使得对应的分式绝对值即｜f（x）｜可以无限增大，说明对于任意正的常数，都存在充分接近于原点的点x，使得函数绝对值大于它，所以函数在区间（0，1）内无界．

3．单调性

定义1﹒5　已知函数f（x）在开区间J内有定义，对于开区间J内的任意两点x₁，x₂，当x₂＞x₁时，若恒有f（x₂）＞f（x₁），则称函数f（x）在开区间J内单调增加，开区间J为函数f（x）的单调增加区间；若恒有f（x₂）＜f（x₁），则称函数f（x）在开区间J内单调减少，开区间J为函数f（x）的单调减少区间．

函数单调增加与函数单调减少统称为函数单调，单调增加区间与单调减少区间统称为单调区间．

函数单调说明因变量与自变量一一对应，它存在反函数，反函数也单调．

函数单调增加，说明函数值随自变量取值增大而增大，函数曲线上升，如图1-1；函数单调减少，说明函数值随自变量取值增大而减小，函数曲线下降，如图1-2．

图1-1

图1-2

4．极值

定义1﹒6　已知函数f（x）在点x₀处及其左右有定义，对于点x₀左右很小范围内任意点x≠x₀，若恒有f（x₀）＞f（x），则称函数值f（x₀）为函数f（x）的极大值，点x₀为函数f（x）的极大值点；若恒有f（x₀）＜f（x），则称函数值f（x₀）为函数f（x）的极小值，点x₀为函数f（x）的极小值点．

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

极值是局部性的概念，它只是与极值点左右很小范围内对应的函数值比较而得到的．极值点只能是给定区间内部的点，不能是给定区间的端点．显然，单调函数无极值．

5．最值

定义1﹒7　已知函数f（x）在区间I（可以是开区间，也可以是闭区间或半开区间）上有定义，且点x₀∈I．对于任意点x∈I，若恒有f（x₀）≥f（x），则称函数值f（x₀）为函数f（x）在区间I上的最大值，点x₀为函数f（x）在区间I上的最大值点；若恒有f（x₀）≤f（x），则称函数值f（x₀）为函数f（x）在区间I上的最小值，点x₀为函数f（x）在区间I上的最小值点．

最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点．

最值是整体性的概念，它是与给定区间上的所有函数值比较而得到的．最值点可以是给定区间内部的点，也可以是给定区间的端点．

§1﹒2　几何与经济方面函数关系式

由于主要用公式法表示函数，因此建立函数关系式就是找出函数表达式．

1．几何方面函数关系式

（1）矩形面积S等于长x与宽u的积，即

特别地，正方形面积S等于边长x的平方，即

（2）长方体体积V等于底面积（矩形面积）S与高h的积，即

（3）圆柱体体积V等于底面积（圆面积）πr²（r为底半径）与高h的积，即

侧面积（相当于矩形面积）S等于底周长2πr与高h的积，即

例1　欲围一块面积为216m²的矩形场地，矩形场地东西方向长xm、南北方向宽um，沿矩形场地四周建造高度相同的围墙，并在正中间南北方向建造同样高度的一堵墙，把矩形场地隔成两块，试将墙的总长度Lm表示为矩形场地长xm的函数．

解：已设矩形场地长为xm、宽为um，如图1-3．

图1-3

由于矩形场地面积为216m²，因而有关系式xu＝216，即

所以墙的总长度

例2　欲做一个底为正方形、表面积为108m²的长方体开口容器，试将长方体开口容器的容积Vm³表示为底边长xm的函数．

解：已设长方体开口容器底边长为xm，再设高为hm，如图1-4．

图1-4

由于长方体开口容器表面积为108m²，它等于下底面积x²与侧面积4xh之和，因而有关系式x²＋4xh＝108，即

所以长方体开口容器容积

由于底边长x＞0；又由于高h＞0，即，得到，因而函数定义域为

例3　欲做一个容积为V₀的圆柱形封闭罐头盒，试将圆柱形封闭罐头盒表面积S表示为底半径r的函数．

解：已设圆柱形封闭罐头盒底半径为r，再设高为h，如图1-5．

图1-5

由于罐头盒容积为V₀，因而有关系式πr²h＝V₀，即

由于上、下底面积分别为πr²，侧面积为2πrh，所以圆柱形封闭罐头盒表面积

2．经济方面函数关系式

（1）在生产过程中，产品的总成本C为产量x的单调增加函数，记作

它包括两部分：固定成本C₀（厂房及设备折旧费、保险费等）、变动成本C₁（材料费、燃料费、提成奖金等）．固定成本C₀不受产量x变化的影响，产量x＝0时的总成本值就是固定成本，即C₀＝C（0）；变动成本C₁受产量x变化的影响，记作C₁＝C₁（x）．于是总成本

（2）在讨论总成本的基础上，还要进一步讨论均摊在单位产量上的成本．均摊在单位产量上的成本称为平均单位成本，记作

（3）产品全部销售后总收益R等于产量x与销售价格p的积．若销售价格p为常数，则总收益R为产量x的正比例函数，即

若考虑产品销售时的附加费用、折扣等因素，这时作为平均值的销售价格p受产量x变化的影响，不再为常数，记作p＝p（x），则总收益

（4）产品全部销售后获得的总利润L等于总收益R减去总成本C，即

（5）销售商品时，应密切注意市场的需求情况，需求量Q当然与销售价格p有关，此外还涉及消费者的数量、收入等其他因素，若这些因素固定不变，则需求量Q为销售价格p的函数，这个函数称为需求函数，记作

一般说来，当商品提价时，需求量会减少；当商品降价时，需求量就会增加．因此需求函数为单调减少函数．

在理想情况下，商品的生产既满足市场需求又不造成积压．这时需求多少就销售多少，销售多少就生产多少，即产量等于销售量，也等于需求量，它们有时用记号x表示，也有时用记号Q表示．本门课程讨论这种理想情况下的经济函数．

例4　某产品总成本C万元为年产量xt的函数

其中a，b为待定常数．已知固定成本为400万元，且当年产量x＝100t时，总成本C＝500万元．试将平均单位成本万元／t表示为年产量xt的函数．

解：由于总成本C＝C（x）＝a＋bx²，从而当产量x＝0时的总成本C（0）＝a，说明常数项a为固定成本，因此确定常数

再将已知条件：x＝100时，C＝500代入到总成本C的表达式中，得到关系式

从而确定常数

于是得到总成本函数表达式

所以平均单位成本

例5　某产品总成本C元为日产量xkg的函数

产品销售价格为p元／kg，它与日产量xkg的关系为

试将每日产品全部销售后获得的总利润L元表示为日产量xkg的函数．

解：生产xkg产品，以价格p元／kg销售，总收益为

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