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作者：叶海江,侯方博等编

出版社：中国人民大学出版社

出版时间：2018-08-14

书籍编号：30496155

ISBN：9787300232409

正文语种：中文

字数：132397

版次：

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：高等数学（下）学习指导

作者：叶海江　侯方博

出版社：中国人民大学出版社

出版日期：2018-08-14

ISBN：9787300232409

版权所有 · 侵权必究

前言

本书是吉林省教育科学“十二五”规划课题《应用型本科院校高等数学教学中学生创新能力培养的研究与实践》的主要成果，是项目组在多年应用型本科数学教学改革与实践的基础上，运用集体智慧，通力合作的结晶。

本书在编写中注意贯彻“加强基础、注重应用、增加弹性、兼顾体系”的原则。编写中紧密结合高等教育背景下应用型本科院校生源的实际，注重理论联系实际、深入浅出、删繁就简、重点突出、难点分散并兼顾直观性；着重讲清问题的思路和方法的应用，变严格的理论证明为通俗的语言描述说明，降低理论难度，强化实际运用，使教材具有易教、易自学的特点。本教材体现了以下特点：

一是兼顾与中学数学的过渡与衔接。由于高考大纲以及中学教材体系的调整，对于反三角函数和极坐标内容中学都没有学习，本教材做了及时补充。

二是本书注重数学思想方法的渗透，注重数学在各方面的应用。不过于强调理论上的推导，淡化繁杂的数学计算，同时追求科学性与实用性的双重目标，以利于应用型本科院校学生掌握数学的基本思想与方法，提高科学素质，增强运用数学来进行分析和解决实际问题的能力。

三是本教材适合于应用型本科院校的不同专业、不同学时高等数学课程的教学使用。应用型本科院校基本上都是多学科型院校，如果不同专业选择不同类别的教材，会给教材订购和教学带来诸多不便。然而纵观工科类、理工类、经济类、农科类等高等数学教材，内容体系大体相同，无外乎就是应用部分的案例不同而已。本教材顺应上述需求，将各种应用基本全部列出，供不同专业、不同学时的课程使用时选择。

四是本教材配备学习指导书，含有内容提要、基本要求、疑难解析、典型范例、习题选解等环节。能够帮助学生很快地掌握教材中的重点、难点，了解习题的类型及解题思路和方法，同时进一步补充理论和习题的深度。

本书执笔与统稿者分工如下：

第五章——侯方博；第六章——陈晓弟；第七章——孙晓祥；第八章——叶海江；第九章——杜凤娥。全书由叶海江教授策划与统稿。

本书内容丰富，应用背景广泛，为应用型本科院校不同专业的教学提供充分的选择余地，对超出“教学基本要求”的部分标＊号注明，在教学实际中可视情况选用，教学时数亦可灵活安排。本教材也可作为其他理工科院校的教学参考书。

在多年的改革实践中，项目组得到了吉林农业科技学院广大师生的热情支持，受到许多专家与院校同行的关注和鼓励，对此我们表示衷心的感激！

中国人民大学出版社以严谨的科学态度和高度的责任心对书稿严格把关，并确保印刷质量，力求把精品教材呈献给广大师生，作者对此表示由衷的谢意！

由于编写时间仓促，书中难免存在疏漏和不足，我们真诚地欢迎专家与广大师生多提宝贵意见，以利在今后的改革中不断完善。

吉林省教育科学规划课题项目组

暨《高等数学》教材编写组

2016年8月

第五章 向量代数与空间解析几何

第一节　向量及其线性运算

一、内容提要

1．向量概念

向量的定义：既需要大小表示，同时还要指明方向的量．

向量的表示：有向线段来表示向量，记作，a，b，F或等．

自由向量：与起点无关的向量．

向量相等：如果向量a与b的大小相等且方向相同，则称向量a与b相等．记为a＝b．

向量的模：向量的大小称为向量的模．

单位向量：模等于1的向量．

零向量：模等于零的向量．

平行向量：如果两个非零向量a与b的方向相同或相反，则称这两个向量平行．

负向量：与向量a的模相等而方向相反的向量，称为a的负向量，记为－a．

向量共线：当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在同一条直线上．因此，两向量平行，又称为两向量共线．

向量共面：设有k（ k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如k个终点和公共起点在一个平面上，则称这k个向量共面．

向量夹角：设两非零向量a，b．任取空间一点O，作规定不超过π的∠AOB（设θ＝∠AOB，0≤θ≤π）称为向量a与b的夹角．

2．向量的线性运算

向量的加法：设有两个向量a，b，任取一点A，作，再以B为起点，作连接AC，则向量称为向量a与b的和，记作a＋b，即c＝a＋b．

向量的减法：向量b与a的差就是向量b与－a的和．

向量的数乘：实数λ与向量a乘积记作λa，λa是按下面规定所确定的一个向量：

（1）λa＝λa．即向量λa的模是向量a的模的λ倍．

（2）当λ＞0时，向量λa与向量a方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a方向相反；当λ＝0时，向量λa＝0．

特别的，当λ＝±1时，有1·a＝a，（－1）a＝－a．数与向量的乘法简称为向量的数乘．

二、基本要求

1．理解向量的概念及其表示．

2．掌握向量的线性运算．

三、疑难解析

1．设a、b为非零向量，则a、b在什么条件下，下列式子成立？

（1）a＋b＝a－b；（2）a＋b＞a－b；（3）a＋b＜a－b．

答：以a、b为边作平行四边形，则a＋b，a－b表示该平行四边形两条对角线的长度，通过观察可知：当a与b之间的夹角为直角时，有a＋b＝a－b；当a与b之间的夹角为锐角时，有a＋b＞a－b；当a与b之间的夹角为钝角时，有a＋b＜a－b．

2．向量之间能比较大小吗？

答：不能，向量是既有大小又有方向的量，而方向无所谓大小，在向量的描述中所讲的“既有大小”是指向量的模的大小．

四、典型范例

例1　在四边形ABCD中．

 证明：ABCD为梯形．

分析：要证明四边形为梯形，只需找到一组对边平行且不相等．

证　由图5—1知，

所以边AD与边BC平行且长度是BC长度的两倍，即证四边形ABCD为梯形．

例2　把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D₁，D ₂，D₃，D₄，再把各分点与点A连接，试以表示向量

解　如图5—2所示

图5—1

图5—2

五、习题选解

1．用向量法证明：连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半．

证　设△ABC两边AB，AC的中点分别为M，N（见图5—3）

2．要使a＋b＝a－b成立，向量a，b应满足a⊥b；

要使a＋b＝a＋b成立，向量a，b应满足a与b同向．

图5—3

3．设△ABC的三条中线为AD，BE，CF．证明

4．设两个非零向量b与a共起点，求与它们的夹角的平分线平行的向量．

解　　取单位向量与角平分线平行，所以所求向量为

第二节　点的坐标与向量的坐标

一、内容提要

1．空间直角坐标系

坐标轴：在空间取一个顶点O，过点O作三个两两垂直的单位向量i，j，k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴．

坐标系：三条坐标轴的正向符合右手法则，就组成了空间直角坐标系，oxyz坐标系或［o；i，j，k］坐标系．

坐标面：每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．

卦限：三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限．

2．坐标

点的坐标：有序数组（x，y，z）就称为点M的坐标，记为M（x，y，z），x，y，z依次分别称为横坐标，纵坐标和竖坐标．

向量的坐标：有序数组x，y，z为向量r的坐标，记为r＝（x，y，z）．

3．向量线性运算的坐标表示

设a＝（a_x，a_y，a_z），b＝（b_x，b_y，b_z），即a＝a_x i＋a_y j＋a_z k，b＝b_x i＋b_y j＋b_z k从而有　a＋b＝（a_x＋b_x，a_y＋b_y，a_z＋b_z）a－b＝（a_x－b_x，a_y－b_y，a_z－b_z）λa＝（λa _x，λa _y，λa _z）．

4．方向角、方向余弦

方向角：为了表示非零向量r的方向，我们把r与x轴，y轴，z轴正向的夹角分别记为α，β，γ，称为向量r的方向角．

方向余弦：方向角的余弦cosα，cosβ，cosγ叫作r的方向余弦．

5．向量在轴上的投影

任给定向量r，作，再过点M作与u轴垂直的平面，交u轴于点M′，则称点M′为点M在u轴上的投影，而向量称为向量r在u轴上的分向量．设，则数λ称为向量r在u轴上的投影，记为prj_ur或r_u．

二、基本要求

1．理解空间直角坐标系．

2．掌握点、向量、单位向量、方向角、方向余弦的坐标表达式．

3．掌握运用坐标表达式进行向量运算的方法．

三、疑难解析

1．确定向量坐标的常用方法有哪些？

答：求向量的坐标一般要根据所给定的条件来确定，常用的方法有以下几种：

（1）如果已知向量a的起点坐标为A（x ₁，y₁，z₁）及终点坐标B（x ₂，y ₂，z₂），则a＝（x2－x1，y 2－y 1，z2－z1）．

（2）如果已知向量a按基本单位向量的分解式为a＝x i＋y j＋z k，则a＝（x，y，z）．

（3）当向量a的模及方向角α，β，γ已知时

（4）当向量a与b＝（x，y，z）平行时，a＝（λx，λy，λz），其中λ的值要由a的模及方向来确定．

（5）根据向量的数量积和向量积的性质确定．

2．若已知向量的方向余弦分别满足

（1）cosα＝0；（2）cosβ＝1；（3）cosα＝cosβ＝0．

则这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

答：（1）设该向量为a，因为cosα＝0，α＝，故a⊥ox轴或a∥yoz面．

（2）因为cosβ＝1，所以β＝0，故a∥oy轴且a方向与y轴正向一致，或a⊥xoz面并与y轴正向一致．

（3）因为cosα＝cosβ＝0，所以α＝β＝，故a∥oz轴，或a⊥xoy面．

四、典型范例

例1　从点A（2，－1，7）沿向量a（8，9，－12）方向取长为34的线段AB，求点B的坐标．

解　　设点B坐标为（x，y，z），则＝（x－2，y＋1，z－7）．由于与a方向一致，故存在实数λ＞0，使＝λa，即（x－2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12），得x－2＝8λ，y＋1＝ 9λ，z－7＝－12λ．

又，17λ＝34，得λ＝2．所以x＝8λ＋2＝18，y＝9λ－1＝17，z＝－12λ＋7＝－17

B点坐标为（18，17，－17）．

例2　已知a＝（1，5，3），b＝（6，－4，－2），c＝（0，－5，7），d＝（－20，27，－35）．求数x，y，z使向量x a，y b，z c及d可构成封闭折线．

解　　按题意，只要x a＋y b＋z c＋d＝0，得

例3　向量与x轴成45°，与y轴成60°，它的长度等于6，它在z轴上的坐标是负的，求向量坐标及沿方向的单位向量．

解　　设沿方向的单位向量为a，又设对应的方向余弦为cosα，cosβ，cosγ，则a＝｛cosα，cosβ，cosγ｝，并且

又因在z轴上的坐标为负的，所以cosγ＜0，故

五、习题选解

6．在yoz面上，求与三点A（3，1，2），B（4，－2，－2）和C（0，5，1）等距离的点．

解　在yoz面上，设点P（0，y，z）与A，B，C三点等距离

故所求点为（0，1，－2）．

7．已知向量a在坐标轴上的投影为a _x＝1，a_y＝－1，a_z＝1，向量a的终点为M ₂（1，－1，1）．求向量a的起点M ₁，及a的方向角．

设M ₁（x ₁，y ₁，z₁），则（1－x ₁，－1－y ₁，1－z ₁）＝（1，－1，1），所以M₁（0，0，0），

8．设点A位于第一卦限，向径轴，y轴的夹角依次为．求点A的坐标．

因为A在第Ι卦限，知cosγ＞0，故cosγ＝1 2

9．求与向量a＝（16，－15，12）平行，方向相反，且长度为75的向量b．

解　因为b与a平行且方向相反，则b＝－λa＝（－16λ，15λ，－12λ），（λ＞0）

得λ＝3，故所求向量b＝（－48，45，－36）

10．已知，r与轴u的夹角是60°，求prj_ur．

第三节　向量的数量积和向量积

一、内容提要

1．向量的数量积

定义式

性质：（1）

（3）对于两个非零向量a，b则a⊥b的充要条件是a·b＝0．

运算规律：（1）交换律　a·b＝b·a．

（2）分配律　（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

（3）结合律　（λa）·b＝λ（a·b）　（λ为实数）．

坐标表达式

2．向量积

定义式：若由向量a与b所决定的一个向量c满足下列条件：

（1）c的方向既垂直于a又垂直于b，c的指向按右手规则从a转向b来确定．

（2）c的模（其中θ为a与b的夹角）．则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积）记为c＝a×b．

性质：（1）0×a＝a×0＝0．

（2）a×a＝0．

（3）a∥b→a×b＝0．

运算规律：（1）反交换律　a×b＝－b×a．

（2）分配律　（a＋b）×c＝a×c＋b×c．

（3）结合律　（λa）×b＝a×（λb）＝λ（a×b）　（λ为实数）．

坐标表达式

3．混合积

定义式：［abc］＝（a×b）·c．

性质：三个向量a，b，c共面的充要条件是它们的混合积［abc］＝0．

运算规律：［abc］＝［bca］＝［cab］．

坐标表达式：

几何意义：混合积［abc］的绝对值是以a，b，c相邻三棱的平行六面体的体积．

二、基本要求

1．熟练掌握数量积和向量积的概念、区别及运算．

2．数量积和向量积的几何应用．如判断向量a和向量b的平行及垂直的关系，求解面积等．

3．掌握利用坐标表示式进行向量的数量积、向量积的运算方法．

4．了解混合积运算，了解混合积绝对值的几何意义．

三、疑难解析

1．若a和b都是单位向量，那么a×b是单位向量吗？

答：不一定，因为，其中θ＝（a^∧，b），即使，只要sinθ≠1，a×b就不会是单位向量．

所以当，即a与b垂直时a×b是单位向量；当，即a与b不垂直时，a×b不是单位向量．

2．如非零向量a，b，c使下面等式成立：a·b＝a·c那么是否一定有b＝c？

答：不一定．当a≠0时，由

但不一定b＝c．

如图5—4所示，可见b≠c

类似地，若a×b＝a×c，同理不能推出b＝c（见图5—5）

图5—4

图5—5

综上所述：向量的数量积，向量积一般情况下都不满足消去律．

四、典型范例

例2　利用向量的方法证明三角形的三条高线相交于一点．

证　如图5—6所示，设△ABC的高BE与CF相交于点P只需证明AP⊥BC即可．

图5—6

例3　如果向量x→垂直于向量a→＝（2，3，－1）与b^→＝（1，－2，3），且与向量c→＝（2，－1，1）的数量积等于－6，求向量x→．

解　　因x→同时垂直a→与b^→，故x→与a→×b^→平行，于是

故可设x→＝λ（a→×b^→）＝（7λ，－7λ，－7λ）

又因→x·→c＝－6，即14λ＋7λ－7λ＝－6，所以

所求向量→x＝（－3，3，3）．

例4　设→a，→b均为非零向量，其夹角为

解

五、习题选解

3．已知a，b，c为单位向量，且满足a＋b＋c＝0，求a·b＋b·c＋c·a．

解　由a＋b＋c＝0，故b＋c＝－a，则a·b＋a·c＝a·（b＋c）＝－a·a＝－1

同理　b·a＋b·c＝－1，c·a＋c·b＝－1　三式相加得

5．设向量a与b不共线，问λ为何值时，向量p＝λa＋5b与q＝3a－b共线？

解　　p×q＝（λa＋5b）×（3a－b）＝3λ（a×a）－λ（a×b）＋15（ b×a）－5（ b×b）＝（λ＋15）（ b×a）

因a与b不共线，所以b×a≠0

故当λ＝－15时，p×q＝0，p与q共线．

6．已知向量a与b的夹角为，计算向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角．

7．已知

解　　a×b＝a b sin（ a^∧，b）＝9又因c⊥a，c⊥b故c∥（a×b）．从而c与a×b的夹角θ＝0或π，则［abc］＝（a×b）·c＝a×b·c·cosθ＝±27．

8．设A，B，C三点的向径依次为r ₁，r ₂，r ₃，试用r ₁，r ₂，r ₃表示△ABC的面积．并证明：A，B，C三点共线的充要条件是r ₁×r₂＋r ₂×r ₃＋r₃×r ₁＝0．

9．设，求以向量a＋2b和2a＋b为边的平行四边形的面积．

10．用向量方法证明正弦定理．

11．已知a×b＋b×c＋c×a＝0，证明a，b，c共面．

证明：等式两边与向量c作数量积．

（a×b）·c＋（b×c）·c＋（c×a）·c＝0

因（b×c）⊥c，（c×a）⊥c　所以（b×c）·c＝（c×a）·c＝0

故［abc］＝（a×b）·c＝0，所以a，b，c共面．

第四节　平面及其方程

一、内容提要

1．平面方程

平面的点法式方程：A（x－x ₀）＋B（y－y ₀）＋C（z－z ₀）＝0．

三点式方程

截距式方程

一般方程：Ax＋By＋Cz＋D＝0．

  2．两平面的夹角

3．点到平面的距离公式

二、基本要求

1．掌握平面方程及其求法．

2．会求平面与平面的夹角，并会利用平面的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题．

3．会求点到平面的距离．

三、疑难解析

1．两平行平面Π₁：Ax＋By＋Cz＋D ₁＝0和Π₂：Ax＋By＋Cz＋D ₂＝0之间的距离，此说法是否正确？

答：不正确．一般地不能作为两平行平面之间的距离．求平行平面之间的距离可以用下述方法：

在Π₁上取一点，M ₁（ x ₀，y₀，z₀）满足Ax ₀＋By ₀＋Cz ₀＋D ₁＝0，则M ₁到Π₂的距离即

为所求，这时

2．如何确定平面的法向量？

答：确定平面的法向量是建立平面方程的关键，法向量的确定根据不同的条件可以采用不同的方法：

（1）如平面Π与已知平面Ax＋By＋Cz＋D＝0平行，则取法向量n＝（A，B，C）．

（2）如平面Π过不共线的三点A，B，C，则取

（3）如平面Π过A，B两点，且与直线（或向量）平行，当直线的方向向量不平行时，取

（4）如平面Π过直线（方向向量为S）和平面外一点M，则为直线上一点）．

（5）如平面Π垂直于已知直线（方向向量为S），则取n＝S．

（6）如平面Π过A，B两点，且与另一平面Π₁（法向量n₁）垂直，则

四、典型范例

例1　自点P（ 1，－4，3）分别向各坐标面（各坐标轴）作垂线，求过三个垂足的平面方程．

解　　（1）自点P（ 1，－4，3）向三个坐标面作垂线，得到垂足分别为

M ₁（ 1，－4，0），M ₂（ 0，－4，3），M ₃（ 1，0，3）

过三点的平面方程为

即　12x－3y＋4z－24＝0．

（2）自点P向三个坐标轴作垂线，垂足分别为N ₁（ 1，0，0），N ₂（ 0，－4，0），N ₃（ 0，0，3）作截距式方程为

即　12x－3y＋4z－12＝0．

例2　设平面方程为，证明：

（1）（其中d为原点到平面的距离）；

（2）平面被三坐标面所截得的三角形面积为

证　（1）一般式为

（2）证法一：平面与x轴，y轴，z轴的交点分别为

P（ a，0，0），Q（ 0，b，0），R（ 0，0，c）

证法二：平面与三坐标面所围体积为

例3　一平面平行于y轴及向量p＝（－2，1，3），且在z轴上的截距为c＝－5，求此平面方程．

解　　设平面方程为

即3x＋2z＋10＝0．

五、习题选解

6．求通过z轴，且与平面Π：2x＋y－√5z－7＝0的夹角为的平面方程．

解　　设所求平面为Ax＋By＝0．n＝（A，B，0）

则B＝3A或A＝－3B

所求平面为x＋3y＝0或3x－y＝0．

7．求平面2x－2y＋z＋5＝0与各坐标面的夹角的余弦．

解　　设题设平面与xoy，yoz，zox坐标面的夹角分别为α，β，γ，则所求夹角余弦为

8．已知A（－5，－11，3），B（7，10，－6）和C（1，－3，－2）．求平行于△ABC所在平面方程且与它的距离等于2的平面的方程．

解　　△ABC所在平面方程为

即－33（x－1）＋6（y＋3）－30（z＋2）＝0，化简－11（x－1）＋2（y＋3）－10（z＋2）＝0

因为所求平面与该平面平行，所以它的方程为－11x＋2y－10z＋D＝0

因为点C（1，－3，－2）在△ABC所在的平面上，它到所求平面的距离为2，于是

从而所求平面方程为－11x＋2y－10z＋27＝0或－11x＋2y－10z－33＝0．

9．求平行于平面6x＋y＋6z＋5＝0且与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程．

解　　设所求平面方程为

该平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V为一个单位，

又因所求平面与题设已知平面平行，所以

从而a＝1，b＝6，c＝1　于是所求平面为

即6x＋y＋6z＝6．

10．求平分平面x＋2y－2z＋6＝0和平面4x－y＋8z－8＝0的交角的平面方程．

解　设M（x，y，z）为所求平面上的任意点，则M到两平面的距离相等．

得　3（x＋2y－2z＋6）＝±（4x－y＋8z－8）

所求平面为x－7y＋14z－26＝0或7x＋5y＋2z＋10＝0．

第五节　空间直线及其方程

一、内容提要

1．空间直线方程

一般方程

对称式方程

参数方程

2．两直线的夹角：

3．直线与平面的夹角

4．平面束：A₁ x＋B₁y＋C₁z＋D ₁＋λ（A ₂ x＋B ₂ y＋C₂z＋D₂）＝0．

二、基本要求

1．掌握空间直线方程及其求法．

2．会利用平面、直线的相互关系解决有关问题．

三、疑难解析

1．通过的平面方程都能写成A ₁ x＋B ₁ y＋C₁z＋D₁＋ λ（A ₂ x＋B₂ y＋C₂z＋D₂）＝0的形式吗？

答：通过直线L的平面，除平面Π₂：A ₂ x＋B ₂ y＋C₂z＋D ₂＝0外，其它平面方程都具备上述形式，事实上，因为直线上任意点的坐标都满足

A 1x＋B1y＋C1z＋D 1＋λ（A 2 x＋B 2y＋C2z＋D2）＝0

所以上式所表示的平面都经过直线L

但是上述方程不包含平面Π₂，这是因为，若M ₁（ x₁，y ₁，z₁）是平面Π₂上一点（不在L上）

则A₁ x₁＋B₁y ₁＋C₁z₁＋D ₁≠0，而A ₂ x₁＋B ₂ y ₁＋C₂z₁＋D ₂＝0，故M ₁不满足方程A ₁x＋B ₁y＋C₁z＋D ₁＋λ（A ₂x＋B ₂y＋C₂z＋D₂）＝0，所以该方程不包含平面Π₂．

注　　　（1）在用上述平面束方程解决有关问题时，当参数λ无解时，满足条件的平面为Π₂．

（2）有时也将过直线L的平面束方程写成为

λ（A1 x＋B1 y＋C1 z＋D1）＋μ（A 2 x＋B2 y＋C2z＋D2）＝0

此方程包含了所有过L的平面．

2．如何求两条异面直线之间的距离？

答：设直线L ₁经过点M ₁且以S₁为方向向量．直线L ₂经过点M ₂是以S₂为方向向量，若直线L ₁与L ₂为异面直线，它们之间的距离即指它们的公垂线上两垂足之间的距离，由于公垂线与这两条直线都垂直，所以公垂线的方向向量可取为S＝S₁×S₂，两条异面直线L ₁与L ₂之间的距离可由下列公式计算

四、典型范例

例1　求两直线的公垂线方程．

解　　　公垂线的方向向量为

过L ₁作平行于S的平面Π₁，过L ₂作平行S的平面Π₂，Π₁与Π₂的交线即为公垂线．

所求公垂线方程为

例2　求通过直线而与直线平行的平面方程．

解　　这两条直线的方向向量为

M ₀（ 0，－2，2）为直线L ₁上的一个点，过M ₀且与S₁，S₂平行的平面方程为

这就是通过L ₁且与L ₂平行的平面方程．

注　　　本题用了下列事实，当一个平面与直线平行且通过此直线上某一点时，则该平面就通过了此直线．

例3　求过点垂直，又与平面Π：3x－ 4y＋z－10＝0平行的直线方程．

解　　L₁的方向向量为S₁＝（1，2，－1）×（1，2，2）＝3（ 2，－1，0），故过点A（－1，0，4）且垂直于L ₁的平面为2（ x＋1）－y＝0即2x－y＋2＝0；

又过点A（－1，0，4）且平行Π的平面为3（ x＋1）－4y＋（z－4）＝0

即　　　3x－4y＋z－1＝0

则所求直线方程为

例4　设M₀是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线方向向量为S，试证：点

M ₀到直线L的距离为

证　如图5—7所示，

则平行四边形

图5—7

五、习题选解

2．用对称式方程及参数方程表示直线

解　先找出这直线上的一点（x ₀，y ₀，z₀）取x₀＝1得

解得y ₀＝0，z₀＝－2即（1，0，－2）是这直线上一点．

下面找出直线的方向向量S．由于两平面的交线与这两平面的法向量n₁＝（1，1，1），

n₂＝（2，－1，3）都垂直，所以可取

因此，所给直线的对称式方程为

5．求点P（ 1，1，4）到直线的距离．

解　　过点P且与直线L垂直的平面Π的方程为：（x－1）＋（y－1）＋2（ z－4）＝0

即　　　x＋y＋2z－10＝0

下面求平面Π与直线L的交点Q，为此将直线的参数方程：

x＝2＋t，y＝3＋t，z＝4＋2t代入平面，得代入直线L的参数方程，得交点Q的坐标，于是点P到直线L的距离为

8．求点（－1，2，0）在平面x＋2y－z＋1＝0的投影．

解　　过点（－1，2，0）且垂直平面x＋2y－z＋1＝0的直线方程为

将参数式代入平面方程得（t－1）＋2（ 2t＋2）－（－t）＋1＝0得

故所求投影为

9．过点（0，2，4）且与两平面x＋2z＝1和y－3z＝2平行的直线方程

．

则所求直线方程为

10．已知直线L过点M（ 1，1，1）且与直线相交，又与直线垂直，求L的方程．

解

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