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作者：田刚,吴宗敏等编

出版社：复旦大学出版社

出版时间：2015-10-01

书籍编号：30505435

ISBN：9787309117493

正文语种：中文

字数：112133

版次：

所属分类：教材教辅-中小学

版权信息

书名：数学之外与数学之内

作者：田刚，吴宗敏

出版时间：2015-10-01

出版社：复旦大学出版社

ISBN：9787309117493

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前　言

数学之外是指数学从哪里来？数学又要到哪里去？

数学之内就是要回答数学是什么？是指数学学科内部各学科方向之间的关联与侧重，以及数学学科内部的关键问题。

这是数学的根本问题，当然这本书也不可能回答全部的这类问题，有的可能永远都找不到答案，因为问题以及答案本身都是与时俱进的。但是问问题比找答案更重要，找答案的过程比答案本身更重要。对问题的探索过程实际上就是人类对世界认识的发展过程，就是人类思维的发展过程。对于数学，与其他学科不同的是，它还要解决对问题探索的规范问题，也就是对找问题答案过程的规范。一句话，就是理性的、科学的、严密的、系统的逻辑规范。

学数学已经超过50年了，研究数学也已经超过30年。经常有人问我：“什么是数学？”“什么是数学的基本问题？”这也正是我一直在问我自己的问题。很多人认为，希尔伯特23个问题，千禧年问题，谁谁的猜想，是数学的根本问题。我的回答是：不错！但这些只是数学现时的内部问题，而有些内部问题可以说在数学内部已经是不可能解决的了。

我认为数学与哲学、宗教及其他科学类别一样，如同本文的开篇，最基本的问题都是要回答：世界是什么？我们从哪里来？要到哪里去？事实上，这也是任何学科的根本问题。不过有些学科更加具体，如物理研究力是什么？磁场是什么？化学研究碳是什么？水是什么？它们会变成什么？是钻石还是煤炭？是不可燃烧的液体，还是可以燃烧的两种气体？爱因斯坦从小到大的兴趣就是想知道：光是什么？光速是什么？光是从哪儿来的？莫奈放弃了银行家的工作，就是想问：绘画究竟是要干什么？这些基本问题永远不会脱离：这种东西是什么？它们从哪里来？又会到哪里去？任何科学问题，任何社会问题，甚至任何问题，都可以简单表述为：这是什么？它们怎么会是这样的？又会变成什么样的？这好像也是任何一个小孩刚懂事时经常问的问题。可见，每个人都是带着佛心而来，而是被家长的“哪有那么多的为什么”、老师的“这么简单的问题，你都不懂啊”给埋没了。所以保持童真，保持好奇心，保持喜欢问为什么，是孩提时期将来想要成为数学家，将来想要成为科学家，甚至于将来想要干成任何大事业者的基本素养，而且是本质的素养。事实上，想要成为大数学家、大科学家、大学问家，往往取决于你能不受外界的干扰而保持这份童真的时间。我认识一些老科学家，发现他们对任何新事物都有极强的好奇心、极强的求知欲、极其风趣幽默。从另一种角度看，他们到老了还一直是贪玩的老小孩。不过他们不是被玩具所左右，而是玩出与别人不一样的名堂来。

大家都在批评应试教育，大家都看到应试教育扼杀了创新能力。原因很简单，就是应试教育告诉你，你只要学，你只要记，你只要记住解题的步骤，你不用去问，这题是哪儿来的？解了这题有什么用？这使得人变成知识的存储器，但人脑的存储量还比不过一个U盘。我们都知道，如果高考允许上网，那么一个学会了网上查询的操作员，肯定也可以得到高分。这样，就永远也培养不出一个思想家，数学也就退化成为算术。

既然数学与其他学科一样，要解决一样的问题，那么数学有什么特别之处呢？数学不但要超越具体对象的这种基本问题，而且更加着重于研究过程的逻辑性、系统性与演绎性；不是只凭印象，不是只凭臆测，不是只凭经验。数学需要将经验提升为普遍的理论，并且要指出这种理论结果的适用范围。更加重要的是，通过数学之内的矛盾可以演绎到数学之外。数学的研究论文一般都是从假设开始的，如果怎样，那么就会怎样。即使是猜测也要告诉别人，这个猜测的可信度是多少。

许多人认为搞文科的一般数学差些，而搞数学的一般文科差些。我认为这是非常不全面的。我认识许多大数学家，他们都是多才多能的。许多孩子都读过《爱丽丝漫游奇境记》，而其著者就是数学家。苏步青先生爱写诗，王元先生爱书法。一些大数学家、一些数学教育大家往往同时强调理科教育要强化文科，是搞通识教育的积极倡导者。复旦大学的李大潜院士就说过：“一个好的数学家都是带有几分诗人气质的。”什么叫诗人气质？诗人气质就是不受羁绊，就是自由思想，就是要把自己的灵魂放飞到天外去看世界。是的，数学有许多规则，解数学题有许多套路，但是如果你被规则与套路束缚，那么就不可能做出超越前人的研究工作。如果你是套路的高手，那么你可能成为能工巧匠，可以成为一个好会计，甚至是好的金融家，但不可能成为数学思想家。李大潜院士在《光明日报》倡导“中学数学教育应注重人文内涵”，认为数学教育的根本是要让学生明白：（1）数学知识的来龙去脉；（2）数学的精神实质与思想方法；（3）数学的人文内涵。王元院士也认为“所谓创新，一定是前人没有想到的，没有做到的”，他曾在《光明日报》发表题为“靠老师手把手地教，一定教不出创新人才”的文章，建议读者可以去读一下，会有很大的启发。

在我的研究生教学生活中，很多学生会要求我给一个研究问题，然后过一段时间会问我怎么解这个问题。有些学生到了研究生阶段，基本上还是如同在中学阶段，只会做习题。这简单说来，就是缺乏创新的能力。所以，对新进的研究生我总是告诉他们：最顶尖的科学家是自己发现问题、提出问题，并且自己解决问题。一个顶尖科学家首先是能够发现和提出问题，其次才是找到解决途径。解决先人提出的著名问题，固然很好，但更重要的是在解决先人著名问题的同时，能提出新的问题。而有些关键的问题是应该从小就开始问了。通常基础的问题、从基础问起的问题，才是关键的问题、颠覆性的问题、真正创新的问题。爱因斯坦就是从小就喜欢光线，可以长时间地看着太阳，问自己：“什么是光？”黎曼、罗巴切夫斯基就是一直问自己：“数学的公理基础是什么？”

由于工作的关系，经常有人找我，说解决了诸如三等分角的问题，文章只有3页纸，希望我推荐发表，当然最终目标是帮助他们出名。这个问题在数学上是已经解决的问题，答案是不可能用圆规直尺三等分任何给定角，当然其背后是一整套的伽罗瓦理论。在数学上证明解的不存在性是更为困难的问题，而这也是数学的魅力所在。我告诉他们：三等分角问题为什么会有名的原因，就是背后的伽罗瓦理论；如果三等分角问题可以用3页纸解决，就比两等分角稍微难一点，那么这个问题也就不会那么著名了。

现在是一个创新的年代，可能大家会认为，数学，特别是中学的数学，或者可以到大学的高等数学范畴，已经没有什么可以创新的了。中学数学已经经过几千年的发展，又经过几百年的系统化、现代化，用高等数学的语言说，已经是完备的了。事实果真如此吗？在教授中学数学时只需要灌输，只是教师灌输的水平不同吗？怎么在教授中学数学的同时培养学生的质疑精神——这一科学的基本精神呢？看看数学的发展吧！如果中学数学已经完备了，那么大学数学又是从哪儿来的？现代数学呢？伟大的数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上曾经做过一个著名的报告，提出了23个问题，并且认为这是数学的可以说是全部的剩余问题。他在报告的结束语中说，如果我们足够聪敏，可能可以在100年内解决所有这些问题。现在100年过去了，离开这些问题的全部解决还遥遥无期。事实上，在希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）提出23个问题后4年，在第三届国际数学家大会上，另一位伟大的数学家——哥德尔（Kurt Godel，1906—1978），就用数学证明了“任何系统都不可能是封闭的”，而且它的根本问题往往在其根本上。在中学教授学生数学，这没有什么可以质疑的，学生只要记住就行，不可能跑出数学之外。但对基础数学问题的深入研究一定会引出新的数学问题，一定会跑出数学之外，成为数学的新的学科生长点。事实上，数学的这种内部的矛盾在数学产生时就已经写在数学的DNA中。我们就是应该从数学的产生开始质疑。

数学到现在已经成为一个庞大的系统。从另一方面看，它由两部分组成。一个是数学知识，一个是数学文化。课堂里教的是数学知识，但并不是知识越多就越有文化。文化是需要去体验、去发掘、去融入的。

为了给沉闷的灌输式的中学数学教育加一点“调料”，在参加“英才计划”的学生及导师的建议下，我们有了编写这么一本书的想法，于是，邀请了一些大学数学老师，编写这么一本题为《数学之外与数学之内》的书。与中学数学那样按部就班地灌输知识不同，参编者想写什么就写什么，可以写数学之内的知识，也可以写数学之外的管窥。传统的中学数学教育的特征是配方式的“细粮饲料”，填鸭式的喂养灌输，缺少“粗粮”与“杂粮”。这本书只是“调料”，以增加新思想的味道；只是“餐余”，以增加产生新思想的“肥料”，特征就是——杂。希望这本书可以给吃惯“细粮”的同学，品尝一点“粗粮、杂粮”，以补充学习营养的单一性。书中的文章是按文章名的顺序编排，让读者自己去发现它们之间的关系。我一直认为，我们现在的数学课本编写得太好了；哪里是重点，哪里是小结，剥夺了学生自己找出内容的主题和关联性的训练。我在刚进大学时，老师教我的就是：读懂一本书就是把厚书读薄的能力，简单地说就是自己整理出脉络，列出提纲。这作为前言，好像已经讲得太多了。而且现在很多人已经很少看书，即使看书也很少看前言，所以就写这些，希望还是会有有心人从中获得一些什么东西。

本书的出版得到了中国科学技术协会、国家自然科学基金委员会、上海市工业与应用数学学会、上海市现代应用数学重点实验室的支持，作者在此表示感谢。

复旦大学数学科学学院　吴宗敏

给大学生歌咏会的致辞

音乐是什么？音乐是给人带来欢快的旋律。数学是什么？数学似乎是单调的、枯燥的，我们是为了逃避单调枯燥才来参加歌咏会的。有人说，“学数学的人一般不懂得音乐”，我说你没有真正懂得音乐，你也还没有真正懂得数学。复旦大学李大潜院士就曾经说过：“一个好的数学家都是带有几分诗人气质的。”诗是需要吟、需要唱的，用歌唱的心情去歌唱数学，那么你离大数学家也就不远了。

傅立叶级数是一段著名的数学词章，那么傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768—1830）是怎么发现傅立叶级数的呢？就是在他弹琴时发现：几根长度成比例的弦，同时一起弹，琴就会发出比较好听的声音，这就叫做和声。数学史上最著名、最伟大、应用最广的数学理论就从好听的和声中产生了。我说傅立叶比任何人都更懂得音乐。你知道巴赫（Johann Sebastian Bach，1685—1750）吗？巴赫在作曲中运用了很多数学的基本原理。正是巴赫运用了数学原理来作曲，才使得他的音乐走进了宫廷、教堂与民间。

中国古代的音律是宫、商、角、徵、羽，听起来略微单调一些，而西方音乐是7音阶、12音阶。钢琴上的12音阶从C到C由8个白键、5个黑键组成。钢琴上为什么要有白键和黑键？为什么白键是8个，黑键是5个？为什么白键、黑键是这样排列的？音乐家们每天都面对着键盘，他们问过这样的问题吗？意大利数学家利

奥纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1175—1250）在1202年写过一本《算盘书》，书中有这样一道题目：“某人有一对小兔，小兔一个月可以成长为成年兔，每一对成年兔每个月可以生一对小兔，半年后他有多少成年兔与小兔？”答案是有8对成年兔，5对小兔。如果你按血缘关系排成一行，把每对成年兔涂成白色，小兔涂成黑色，你就会发现这恰好就是钢琴的琴键排列。如果兔子继续繁衍下去，则数目分别是1，1，2，3，5，8，13，……。啊！那是著名的斐波那契级数！它的相邻项之比的极限是“黄金分割数”。原来12音阶从C到C的13个音，简谱的从1到1的8个音，或者中国古代的宫、商、角、徵、羽5个音，钢琴上的黑键数与白键数，键的总数都只是斐波那契级数的前几项。中国古代的音乐实际上只使用了钢琴上的黑键数，并且这个黑键数最终与“黄金分割”有关，甚至与一切生命（贝螺、向日葵、花瓣）、一切社会的发展模式有关。居然生命的发展模式与音乐以及美丽的图像可以通过数学统一起来！这就是数学，而这只是数学的一个乐章片断。如果你再仔细地研究下去，你就会聆听到数学的小夜曲、数学的奏鸣曲、数学的交响乐。同学们，在享受音乐的同时，请尽情地享受数学的旋律吧！

复旦大学数学科学学院　吴宗敏

不可交换的矩阵乘法

在中学教科书中，已经引进了矩阵的概念。所谓矩阵，就是将n×m个数排成n行m列的矩形列阵，通常用一对圆括号将其括起来，也常常用一个大写字母表示矩阵，如

就是一个2行3列的2×3矩阵。

矩阵主要用来处理一些有关联的数据，比如在处理财务报表、实验数据、统计数据时经常会遇到。比如，表1显示的是某连锁商业公司各门店的销量统计表。

表1

（单位：件）

表1就可以表示成一个2×3矩阵。

19世纪中叶，英国数学家凯利（Arthur Cayley，1821—1895）系统建立了矩阵理论，规定了矩阵的算术运算。矩阵的加法比较简单，两个矩阵有相同的行数和列数，则它们的和就是对应位置的元素相加所得到的矩阵，例如，两个2×2矩阵相加为

矩阵乘法的规定有些奇怪，两个矩阵相乘，要求前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数相等，而其积在第i行、第j列的元素等于第一个矩阵的第i行和第二个矩阵第j列对应位置元素相乘再求和所得。例如，两个2×2矩阵的乘积为

和代数中用ab表示乘法a×b一样，矩阵乘法中的符号×通常省略不用。

一些初学矩阵的人不太理解矩阵乘法：为什么矩阵乘法规定得如此古怪，而不是像加法一样将对应位置的元素相乘呢？其实，这样定义的矩阵乘法更符合实际需要。以上面的商业公司为例，假设某门店销售商品A计80件，每件商品单价为20元，则计算该门店销售商品A的营业额要用乘法，为80×20=1600（元）。现在考虑该公司多个门店以及销售多个商品的情况。除前面的销量表外，如果还有如下的商品单价和单位利润表（见表2），则各门店的营业额和营业利润如下：门店1，营业额=80×20+25×100+120×15=5900（元），利润=80×5+25×20+120×4=1380（元）；门店2，营业额=45×20+30×100+85×15=5175（元），利润=45×5+30×20+85×4=1165（元），则有如表3所示的营业额和利润表格。

表2

（单位：件）

表3

（单位：件）

表3用矩阵表示，即为

矩阵乘法这样定义的一个更重要的因素是来自数学中的线性变换。假设有如下变量之间的关系：

将②式代入①式，有

这些变换可以用矩阵来表示，变换①，②，③分别可表示为

分别称为变换①，②，③的系数矩阵，可见③式的系数矩阵就是①，②式系数矩阵的乘法，即

可见，这样规定矩阵乘法既是实际计算的需要，也是数学理论的需要，是十分自然的。

矩阵乘法还有一个比较奇怪的性质。众所周知，两个数a与b相乘，总有a×b=b×a，这就是乘法交换率。但对于矩阵乘法，若以A，B表示两个矩阵，通常A×B与B×A并不相等。以上面的系数矩阵为例：

这就是说，矩阵乘法与相乘的两个矩阵的前后次序有关。

矩阵乘法的不可交换性也说明变换和其次序有关。旋转是一种变换，可以用矩阵来表示，比如在空间坐标系Oxyz中，绕x轴旋转90°和绕z轴旋转90°的系数矩阵分别为

显然，先绕x轴旋转90°、再绕z轴旋转90°与先绕z轴旋转90°、再绕x轴旋转90°的结果是不同的，而前者的系数矩阵为

后者的系数矩阵为

两者也不相同。

图1

矩阵乘法的不可交换性这一点与数的乘法完全不同，乘法交换律是如此地理所当然，以至于遇到不可交换的矩阵乘法时让人们心存疑惑。然而，不可交换的矩阵乘法在量子力学的创建中发挥了重要作用。

1925年前后，基于经典力学的旧量子论已经走到末路，客观上需要新的理论来取代。1925年夏，时年24岁的海森堡（Werner Heisenberg，1901—1976，见图1）为躲避花粉过敏来到赫尔格兰（Helgoland）岛，在岛上，海森堡以其天才的创造力构建了一套全新的量子理论。然而，他的新理论却必须借助一种奇怪的乘法，这种乘法的结果取决于相乘的次序，即A×B－B×A未必是0，这一点困扰着海森堡。海森堡从赫尔格兰岛回到哥廷根，将其论文交给他的老师玻恩（Max Born，1882—1970）。终于有一天，玻恩想起曾经学过的矩阵乘法，原来，海森堡用到的乘法正是矩阵乘法。尽管矩阵理论早在半个多世纪前已经建立，矩阵乘法对数学家来说已经毫不奇怪，但对于大多数物理学家来说还是个新鲜事。后来，玻恩与其学生约旦（E.P.Jordan）和海森堡一起，用矩阵论完善了海森堡的理论，后人称其为矩阵力学，这正是量子力学的重要组成部分。海森堡因其在创建量子力学理论中的重要贡献，于1932年获得诺贝尔物理学奖。

复旦大学数学科学学院　邱维元

聪明人的对策及纳什均衡
有一个激发学生智力的测试题目可能大家都已知道。老师拿了5顶帽子——3顶白帽子和2顶黑帽子——给3个聪明的学生看，然后他让学生们闭上眼睛，在每人头上戴上一顶白帽子，并将2顶黑帽子藏起来。每个学生只能看到另外两个学生头上的帽子，看不到自己头上的帽子。问学生们能否猜出自己头上帽子的颜色？据说，这个问题是华罗庚先生在爱因斯坦提出的问题的基础上经过改进后提出的，也称为“华罗庚帽子问题”。
初一看问题似乎无解，每个学生看到另外两个学生戴的是白帽子，那么自己戴的可能是剩下的1顶白帽子和2顶黑帽子中的一个，无法确定自己头上帽子的颜色，因此他们都犹豫了。但这是3个非常聪明的学生，不一会儿，他们不约而同地举手告诉老师猜到了自己头上所戴帽子的颜色。他们是怎么做到的呢？假设3位学生是甲、乙、丙，学生甲假想自己头上戴的是黑帽子，那么学生乙将看到1黑1白两种颜色的帽子，在这种情况下乙就会很快知道自己戴的不可能是黑帽子，否则，学生丙将不假思索地立刻猜出自己戴的是白帽子。现在乙和丙都在犹豫，不能马上猜出，说明他们看到甲戴的不是黑帽子，从而甲就能猜出自己戴的必定是白帽子。同样，乙和丙也能猜出自己戴的是白帽子。非常神奇吧？看来聪明的学生能得出一般人认为不可能的结论。
上面的问题只是小学生奥数水平的问题，下面这个“海盗分金问题”稍微复杂些。这个问题首先出现在1999年《科学美国人》杂志上。传说有5个聪明的海盗，一同抢得了100个金币，要进行分赃。这些海盗有严格的等级，按等级高低分别称他们为老大、老二、老三、老四和老五，他们的分配规则还算民主：先由等级最高的海盗提出一个分配方案，然后全体海盗投票决定是否接受方案，如果半数或半数以上的海盗同意，那么就按这个方案分配，否则就将提出方案的海盗扔到海里，由下一个等级最高的海盗重新提出分配方案，并继续投票，依此类推。海盗们以下面的原则作出自己的决定：首先要保命，这当然是最重要的；其次要保证自己的利益最大化，即得到尽量多的金币；最后，在不损害自己利益的情况下，能够害人绝不会仁慈。这里还要对海盗的特性做一下交代，这是一批非常聪明而理性的海盗，他们一定会作出对自己最有利的决定；海盗们还是极端自私的，互不相信他人，不会结成同盟。那么问题来了，老大现在该作出怎样的分配方案？直觉上，老大为保命，大概不能拿得太多，以保证其他海盗通过他的提议。但意外的是，老大提出的分配方案和我们的直觉大相径庭：他给老三、老五各一个金币，老二、老四一个不给，剩下98个金币都留给了自己。难道他不怕其他几个海盗都投反对票，然后把他扔到海里吗？不会的，老大自信这样的方案可让老三、老五投赞成票，加上自己一票，有超过半数的3票来通过他的方案。
为什么呢？要想作出最优的决策，不妨倒过来想一想最后剩下的海盗会作出怎样的决策。假设只剩下老四、老五两个海盗，老四会怎么分配？很明显，老四自己的一票就能保证他的方案会通过，他可以完全忽略老五的存在，把100个金币全部留给自己，老五一个金币都得不到。现在把老三考虑进来。老三要想自己方案获得通过，自己的一票不够，他还需要拉拢一个海盗。老四是无任如何也不会投赞成票的，将老三扔进海里他可以获得最大收益100个金币，因此，老三拉拢的只能是老五。给老五多少呢？一个金币足够了，一个金币总比一无所获强，老五一定会投赞成票。这样，老三的最佳方案就出来了：就是自己拿99个金币，老四一个不给，老五一个金币，即按海盗等级从高到低排列，他的方案是（99，0，1）。接下来，考虑老二参与，老二也只要拉拢一个海盗就行，同样的考虑可知老二只要给老四一个金币即可，即他的方案是（99，0，1，0）。回到一开始的情形，老大的方案就显而易见了，他需要拉拢2个海盗，这只要给老三、老五各一个金币即可，即老大的最佳方案是（98，0，1，0，1），这就是一开始给出的方案。这样，老大既能保命，又获得了最大的利益，看来做老大还是好啊。只是做老大好是好，风险还是很大的。不但要自己聪明，还要手下也个个聪明，要是有一个傻瓜，比如老三傻傻地认为一个金币太少，那老大的性命就很危险了。
要是让老大直接在所有可能的方案中找出最佳方案这是一件十分困难的事，上面这种从一个最简单情形出发逆向递归寻找最优方案是一个非常有效的方法。事实上，前面的“帽子问题”的解决也可以使用逆向递归。由此，我们不难将上述“帽子问题”和“海盗分金问题”推广到更多帽子、更多海盗的情形，对“帽子问题”可推广到n个学生n-1顶帽子的情形；对“海盗问题”则是：当6个海盗时，老大的最佳分配方案是（98，0，1，0，1，0），7个海盗时是（97，0，1，0，1，0，1），依此类推。不过当超过200个海盗时，这个方案需要修改了，因为老大用于贿赂其他海盗的金币不够了，这时，老大是否只有被扔进海里的命了呢？聪明的读者，你能帮老大找到保命方案吗？
上面的问题是在有限多个方案中选出一个最佳方案，如果有无穷多个可选方案，有没有找到最佳方案的可能呢？我们来看看下面的“约会问题”。有两位聪明的经理人，在一个酒吧偶遇，却一见如故，聊得非常投机，相约第二天再在同一间酒吧见面。可能是有点喝高了，他们只约定在0点到1点之间见面，没有讲定具体时间。更糟糕的是，他们只顾聊天，都忘了问对方的联系方式，并且他们知道，经理人都很高傲，先到的人只会等10分钟，10分钟过后等不到人就会离开。那么，这两位经理人能在第二天见到面吗？
显然，两人第二天有可能见上面（两人到达酒吧的时间间隔不超过10分钟），也有可能见不到（两人到达酒吧的时间间隔超过了10分钟），这是一个概率问题。事实上，这个问题是大学概率论教科书中的一个例题或者习题，要求计算两人能够碰面的概率。通常是这样计算的：将经理人甲到达酒吧的时间记为x，经理人乙到达酒吧的时间为y，均以分钟为单位，则0≤x，y≤60。以x为横坐标、y为纵坐标建立坐标系，则甲乙的到达时间（x，y）就落在如图1所示的［0，60］×［0，60］的正方形中。而甲、乙能够在酒吧见面等价于他们到达的时间间隔不超过10分钟，即满足|x-y|≤10，而满足|x-y|≤10的点（x，y）落在正方形中两条直线y=x-10和y=x+10之间的阴影部分。如果两人到达的时间是随机的，则他们能够碰面的概率就是阴影部分的面积和整个正方形的面积之比，计算得到这个概率是11/36。也就是说他们只有不到1/3的机会见上面。

图1
难道说能否再见面只能听天由命？要知道这两个经理人很聪明，他们也相互知道对方很聪明。他们可不会随机地在0点和1点之间的某个时间到酒吧赴约，他们会选择一个他们认为最合适的时间到达酒吧。显然，这个时间不会是0点整，如果经理人甲在0点整到达，那么只有乙在0:00到0:10这10分钟内到达才能碰上，他们能见面的概率只有1/6。往后延一点，比如在0:01到达，则乙在0:00到0:11这11分钟内到达他们都能碰上，见面的机会增加了。甲到达的时间继续向后延，他们见面的机会还会继续增加，直到甲在0:10到达，此时乙只要在0:00到0:20之间

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