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作者：谢锡麟著

出版社：复旦大学出版社

出版时间：2014-10-01

书籍编号：30505779

ISBN：9787309109801

正文语种：中文

字数：96345

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：现代张量分析及其在连续介质力学中的应用

作者：谢锡麟

出版社：复旦大学出版社

出版时间：2014-10-01

ISBN：9787309109801

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前言

机械与运载工具的运动、结构与材料的宏观行为、大气与河流的运动、鱼儿的游动与鸟儿的飞行、生命体中器官与组织的运动等等，这些运动具有的一个共同特点为所涉及的对象（亦即介质）在空间中呈连续分布，可称为连续介质；而变形为连续介质的典型行为．张量分析作为连续介质研究的基本数学方法，在力学、物理学、航空宇航科学与技术、计算机科学、材料科学等学科中具有广泛的应用背景．

作为我国理性力学先驱之一的郭仲衡先生在其所著《张量（理论和应用）》以及《非线性弹性理论》中记述了现代张量分析以及有限变形理论的知识体系．

郭仲衡所著《张量（理论和应用）》，主要内容包括：（1）张量的代数性质（张量定义为多重线性函数）．（2）仿射量的基本性质（基于外积运算）．（3）张量值映照微分学（含各向同性张量值映照的表示理论等）.（4）微分几何中曲线论与曲面论的基本内容（主要包括局部标架及其运动方程）.（5）现代几何学中相关思想及方法（包括基于同态映照的推前及拉回、Lie导数、Hodge星算子、里积、外微分以及相关运算之间的关系）．对此部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念，但所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流形上的分析，且数学分析上非常清晰．（6）张量分析在连续介质（几何形态默认为Euclid流形）中的基本应用，包括变形刻画、输运方程．另涉及同态扩张以及Lie导数等在连续介质力学中的应用，但书著中未对这部分内容做深入阐述．

郭仲衡所著《非线性弹性理论》，主要内容包括：（1）有限变形理论（连续介质几何形态默认为Euclid流形）．在理论框架上分别对初始物理构形以及当前物理构形引入曲线坐标系；理论发展上按变形梯度及其基本性质、变形刻画、输运方程、守恒律方程等．（2）有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力学若干典型事例的半解析求解．（3）变分原理．值得指出，基于《张量（理论和应用）》所载张量分析的知识体系，研习《非线性弹性理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析上的困难．

随着现代科学技术的发展，人们已越发关注纳米膜、细胞膜等连续介质，其法向特征尺度远远小于展向特征尺度；又如，考虑星体表面的大气运动，海面上油污扩散以及洪水漫延过平原、洼地以及山丘，皂膜流动等，其法向尺度（流层厚度）远远小于流动的展向（流向）尺度．由此，可将此类介质视作“几何形态为曲面的连续介质”．数学上而言，Euclid空间中的曲面（对应Riemann流形）同体积（对应Euclid流形）在场论上具有本质的不同，故笔者认为可按连续介质的几何形态区分“体积形态连续介质”以及“曲面形态连续介质”两类．就这两类几何形态各异的连续介质，笔者近期已提出“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”以及“几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论”.

笔者希望基于郭仲衡先生有关现代张量分析及有限变形理论知识体系构建并发展“理性力学观点下的基于现代张量分析与几何学的连续介质力学一般理论”；并将一般理论应用于涡量与涡动力学以及生物力学的某些方面，致力于发展相应的研究思想及方法，以期深入对相关问题的认识．笔者基于自2005年留校工作持续至今的学习、研究与教学上的努力，在复旦大学已逐步建设两条教学路径：（1）“微积分的一流化进程”．主要包括一年制“数学分析”、选修课程“经典力学数学名著选讲（有关微积分的深化）”、“流形上的微积分”、“应用实变函数与泛函分析基础”．（2）“基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学中实践”．主要包括选修课程“张量分析与微分几何基础”、“连续介质力学基础”、“涡量与涡动力学基础”．第一条教学路径主要提供有限维Euclid空间上微积分以及一般赋范线性空间上微分学知识体系，这些知识体系为第二条教学路径提供了充实的数学基础．

目前，笔者已通过复旦大学教务处网络资源，建设成“微积分的一流化进程”课程网站http://jpkc.fudan.edu.cn/s/354/以及“现代连续介质力学理论及应用”课程网站http://jpkc.fudan.edu.cn/s/353/．课程网站及时发布相关教学研究与实践的学术交流信息、学术论文、课程讲稿、参考试卷、课程录像等．

本书主要表现了笔者对现代张量分析及其在连续介质中应用的现有认识，主要内容分成6部分：（1）张量定义及其代数性质．主要按张量的多重线性函数定义获得张量的表示形式及基本代数运算，基于置换运算研究外积运算并基于外积运算研究仿射量的基本代数性质．（2）有限维Euclid空间中体积上张量场场论．主要阐述一般曲线坐标系下张量场场论及其应用，涉及湍流时均方程、旋转参照系下流体控制方程等．（3）有限维Euclid空间中曲面上张量场场论．分别按有限维Euclid空间上微分学以及微分流形的观点阐述有限维Euclid中曲面的基本几何性质以及曲面上张量场场论．（4）体积形态连续介质力学的相关理论．阐述当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论，涉及可变形边界上涡量动力学、有限变形弹性体Euler型控制方程及Lagrange型控制方程等．（5）曲面形态连续介质力学的相关理论．主要阐述几何形态为曲面的连续介质有限变形理论，涉及固定曲面上二维流动涡量动力学、固体膜有限变形及海面油污扩散的控制方程等．（6）张量映照微分学．主要阐述一般赋范线性空间上微分学以及张量映照微分学的相关内容．

有限维Euclid空间中体积（对应Euclid流形）及曲面（对应Riemann流形）上张量场场论分别为建立体积形态及曲面形态连续介质的有限变形理论提供数学基础．场论的研究对象主要为张量场，亦即自变量为介质位置刻画（可为Cartesian坐标或者曲线坐标）的张量值映照，一般张量映照指自变量及因变量均为张量的映照．在张量空间上可定义线性结构以及范数，由此成为张量赋范空间；可按一般赋范线性空间上的微分学研究张量场以及张量映照．

近年笔者通过在复旦大学持续性开设专业选修课程“张量分析与微分几何基础”、“连续介质力学基础”讲述本著述涉及的张量分析以及连续介质力学基础知识体系．

“张量分析与微分几何基础”（每周3学时，约54学时），目前主要按下述体系构建讲述内容：（1）张量的基本代数性质（第一部分）．将张量定义为有限维Euclid空间中的多重线性函数，涉及协变基、逆变基（对偶基）、简单张量及张量表示、张量并积、张量多点点积．（2）有限维Euclid空间中一般曲线坐标系下的张量场分析．基于有限维Euclid空间以及张量赋范线性空间上的微分学（引述一般赋范线性空间上微分学的相关理论），基于微分同胚定义曲线坐标系、曲线坐标诱导之局部基及其运动方程（引入Christoffel符号）；基于张量场可微性引入的张量梯度及协变（逆变）导数；张量场场论分析，包括场论恒等式推导的一般方法；非完整基思想及方法；广义Gauss-Ostrogradskii公式；在应用方面，涉及弹性力学、流体力学中的基本关系式．（3）张量的基本代数性质（第二部分）．引入置换算子、对称及反称化算子、外积运算、Hodge星算子；就仿射量特征问题的相关表述，涉及行列式定义、主不变量表示、Cayley-Hamilton定理．（4）张量映照微分学．基于张量赋范线性空间上的微分学阐述可微性（一阶导数）、高阶导数等结论；特征问题相关结论．（5）有限维Euclid空间中曲线论及曲面论基本内容．基于有限维Euclid空间上的微分学阐述曲线几何特征（曲率及挠率），曲线上局部标架及其运动方程；曲面几何特征（第一基本形式、第二基本形式、Gauss曲率及平均曲率、截线曲率及主方向），曲面上局部标架及其运动方程；内蕴形式广义Stokes公式；曲面上Ricci等式（Gauss方程）以及Codazzi方程．（6）流形上微分学基本概念、思想及方法．以有限维Euclid空间中光滑曲面（Riemann流形）作为对象，按微分同胚以及列满秩映照叙述的坐标卡以及地图册（概念及作用）；流形上Riemann度量、Levi-Civita联络、协变微分的坐标定义及其曲面上的具体实现；曲面切空间及余切空间；曲面上张量场；同态映照及其推前与拉回运算；曲面上张量场的Lie导数与物质导数、Hodge星算子、里积运算、外微分运算，流形上主要微分运算之间的关系；力学、物理等方面的几何化相关内容．

“连续介质力学基础”（每周3学时，约54学时），主要按下述体系构建讲述内容：（1）几何形态为Euclid流形的有限变形理论．在理论框架上，直接阐述当前物理构形对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论．（2）本构关系的基本研究方法以及典型介质的本构关系．（3）有限变形弹性静力学、动力学若干经典问题的半解析求解．涉及问题的Euler提法以及Lagrange提法；张量场多点形式的非完整基理论；基于非完整基理论进行的经典问题的求解；另提供学生开展数值实验以及真实实验的软硬件条件等．（4）几何形态为曲面（Riemann流形）的有限变形理论．阐述笔者现已发展的理论思想及方法；研究现代几何学相关思想与方法的引入．（5）几何形态为曲面的有限变形理论的应用研究．鼓励学生参与相关典型问题的数值实验及真实实验，可涉及固定曲面上的薄层流动（对应镀膜过程等）；薄膜的有限变形运算（如薄膜振动、旗帜与周边流场的耦合作用等）；皂膜流动；水面上污染物的扩散过程等．（6）变分原理．（7）连续介质力学一般理论的应用．这方面可具体涉及经典弹性力学、流体力学相关知识，以辅助和补充相关专业课程的学习；另外涉及考虑电场、磁场等其它作用的连续介质力学，以期接近相关前沿科技．

笔者近年的学习、研究与教学，包括本书的撰写，得到上海市教委2011年上海高校本科重点教学改革项目“现代连续介质力学理论及实践课程体系”，上海市教委2011年重点课程立项项目“数学分析”（一年制，面对力学等技术科学专业），复旦大学2013、2014年暑期集中教学项目（FIST）之“现代张量分析及其在连续介质中应用”，上海市教委2014年上海高校本科重点教学改革项目“力学-数学-物理学相关知识体系之间互为借鉴与融合的教学研究与实践”，国家自然科学基金面上项目（11172069, 10872051）等资助．在此谨表感谢．

本书撰写过程中，复旦大学力学与工程科学系博士研究生陈瑜、史倩、张大鹏、傅渊等做了大量LaTeX文本的输入工作，并一起参与理论推导与核查等；张大鹏利用Asymptote绘制了本书的全部插图．本书在出版过程中得到复旦大学出版社范仁梅编辑的大力支持与帮助．在此谨表诚挚感谢．

在上海大学戴世强教授的博客中有一篇博文《新一代应用数学和力学工作者的楷模——追念郭仲衡院士》（2011年10月14日），其中提到：郭仲衡在一份自述中写道：“在吸收老师们的知识雨露的同时，我更不忘揣摩他们的治学态度和高尚品德．……我执教北大，在教学生的同时，我从来没有忘记帮助他们养成严谨的治学作风和与人为善的处世态度，以师长们对我的态度来培养青出于蓝而胜于蓝的学生是对我的师长的最好的报答．”本书笔者自1993年（当时大学二年级）接触到郭仲衡先生的《张量（理论和应用）》，就被此书所载的学问深深吸引，后又接触到郭仲衡先生的《非线性弹性理论》，研习郭仲衡先生的专著至今感到获益匪浅，也十分敬佩郭仲衡先生的卓越学问，赞同郭仲衡先生对教书育人的高尚理念．近期，本书笔者确立以研习、继承、发展、传播相关数理知识体系作为自己学术活动的主要内容．限于笔者的有限学识，本书必然会有阐述上不当甚至错误之处等，敬请读者直言不讳、不吝赐教，甚为感谢．

谢锡麟　谨识
2014年10月
复旦大学　力学与工程科学系
Tel: 021-65643938; Email: xiexilin@fudan.edu.cn
科学网博客：http://blog.sciencenet.cn/u/manifoldflow

第一部分
张量定义及其代数性质

第一章　张量定义及表示

本书通过多重线性函数定义张量，藉此可基于多重线性函数的特性获得张量的各种代数性质．

§1.1　多重线性函数

定义1.1.1（多重线性函数，张量）映照

满足对第i变量的线性性，即

如果Φ满足对其所有变量的线性性，则称Φ为p重线性函数，或者称为p阶张量．记p阶张量的全体为为底空间．

定义1.1.2（张量线性空间）　可对p阶张量空间引入线性结构：

由此，成为线性空间．

定义1.1.3（简单张量）　设有，如下映照：

称为简单张量．

按内积的线性性，易见函数ξ⊗η⊗ζ对其第二变量具有线性性：

类似可得，ξ⊗η⊗ζ对其所有变量具有线性性，亦即有．上述定义自然可推广至由有限个向量所构成的简单张量．

对于简单张量，具有如下代数性质．

性质1.1.1（简单张量线性性质）　以三阶简单张量为例，可有：

证明　对，计算

□

易见，对构成简单张量的各个向量都具有上述线性性．

§1.2　对偶基与向量的表示

本节引入对偶基，可说明有限维Euclid空间中的任意一个基唯一确定其对偶基．由此，任意一个向量既可由原有的基表示，亦可由其对偶基表示．进一步，由于原有的基确定其对偶基，则一个向量相对于原有的基及其对偶基的分量之间必然存在关联．

§1.2.1　对偶基

定理1.2.1（对偶基的存在唯一性）　设为空间的一组基，则必然唯一存在另外一组基，满足：

用矩阵运算可以表示为

式中Im为m阶单位矩阵．

证明　因为是空间的一组基，所以有

按线性代数的结论，即有

即与其对偶基是一一对应的，因此对偶基是存在且唯一存在的．□

可称基为基的对偶基．通常，将指标为下标的基向量gi（i=1，…，m）称为协变基向量，称为协变基；将指标为上标的基向量gi（i=1，…，m）称为逆变基向量，称为逆变基．

§1.2.2　向量的表示与基的转换

设有，由于为中的协变基，则有

式中ξi称为向量ξ的逆变分量．上式两端对gj做内积，有

即有

为了表示上的简洁，引入Einstein求和约定（Einstein summation convention）——略去求和号，用一上一下的重复指标表示求和[1]．在Einstein求和约定下，上面的求和式可以表示为

协变基的对偶基同样为空间的基，因此也有

式中ξi称为向量ξ的协变分量．

引入

显然有

gij=gji，gij=gji,

则有协变基与逆变基的转换关系

再考虑到基的对偶关系，可得

亦即，矩阵和互逆．同样向量的分量也遵循类似的转换关系

上述协变基向量与逆变基向量、向量协变分量与逆变分量之间的转换关系可称为“指标升降游戏”.

设有另外一组协变基，其对应的逆变基为，

式中的和称为基转换系数．考虑到

即有

以上关系式表明，基转换系数和之间仅有一组独立，且两者之间为互逆关系．

在新的基下，任意向量ξ可以表示为

所以有坐标转换关系为

上述基之间的转换关系、向量相对于不同基的坐标之间的转换关系可称为“指标转换游戏”.

§1.3　张量的表示

基于张量对于其各个变元的线性性、向量的表示、简单张量的定义以及张量空间的线性结构，可以获得一般张量的表示形式：

式中为向量uj的第ij个协变分量，．上式可简单地记作

即任意张量可以表示为以其底空间的一组基组成的所有同阶简单张量之线性组合．同理，可获得如下表达形式：

称为张量的逆变分量（所有指标为逆变指标），仅有一个；称张量的协变分量（所有指标为协变指标），仅有一个；称等形式为张量的混合分量（同时含有协变和逆变指标），共有2p-2个．

定义1.3.1（度量张量）　二阶张量具有形式：

称G为度量张量．

在此定义中，将G定义为其中一种形式便可推出其他形式，如G≜gijgi⊗gj，可有

可见，度量张量的两种混合分量都是Kronecker符号，故度量张量实际也为单位仿射量，故本书不单独定义或使用单位仿射量的称法．

按§1.2.2节（第5页）所述，度量张量的分量实现了向量协变分量及逆变分量之间的指标升降游戏．对于张量的协变分量、逆变分量以及混合分量亦可通过度量张量分量实现指标升降．例如

另一方面，相对于不同基的张量分量之间仍成立指标转换游戏．例如

[1]另外本书约定，如果一个式子中的重复指标超过2个，则Einstein求和约定对这些指标失效．

第二章　张量的运算性质

§2.1　基本代数运算

张量的基本代数运算，包括张量积/张量并、e点积（特殊形式包括全点积），并且这些代数运算都可获得其整体表示．

定义2.1.1（张量积）　对，可定义

式中

（Φ⊗Ψ）（u1，…，up，v1，…，vq）≜Φ（u1，…，up）Ψ（v1，…，vq）.

为说明，可按定义计算

上述过程表明Φ⊗Ψ对第i个变元（1≤i≤p）具有线性性．同理对1≤j≤q也可有

故有.

性质2.1.1（张量积性质）　张量积具有如下基本性质：

（1）对，

（2）对，

（3）对，

证明　基于张量的定义，易于证明张量积的基本性质．

（1）对，可有

（αΦ+βΨ）⊗Θ（u1，…，up，v1，…，vq）

≜（αΦ+βΨ）（u1，…，up）Θ（v1，…，vq）

=[αΦ（u1，…，up）+βΨ（u1，…，up）]Θ（v1，…，vq）

=αΦ⊗Θ（u1，…，up，v1，…，vq）+βΨ⊗Θ（u1，…，up，v1，…，vq）

=（αΦ⊗Θ+βΨ⊗Θ）（u1，…，up，v1，…，vq）.

（2）此性质亦可用类似（1）中方法证明．

（3）首先对，有

（Φ⊗Ψ）⊗Θ（u1，…，up，v1，…，vq，w1，…，wr）

=[Φ⊗Ψ（u1，…，up，v1，…，vq）]Θ（w1，…，wr）

=Φ（u1，…，up）Ψ（v1，…，vq）Θ（w1，…，wr）.

同理可有

Φ⊗（Ψ⊗Θ）（u1，…，up，v1，…，vq，w1，…，wr）

=Φ（u1，…，up）Ψ（v1，…，vq）Θ（w1，…，wr）.□

定义2.1.2（张量的e点积）　对，且e≤min{p,q},可定义

式中

特别地，e=1时称为张量的“点积”，记作Φ·Ψ；e=2时称为张量的“二点积”，记作Φ:Ψ.

性质2.1.2（张量的e点积的表示）　对，它们的e点积（e≤min{p,q}），可有表达形式：

证明　设，则

所以有

□

可见，e点积即为指标哑标化．

特别地，对任意两个p阶张量，可以定义p点积，称为张量的全点积．

定义2.1.3（全点积）　对，定义

称为全点积．

§2.2　置换运算与行列式
本节引入置换运算，藉此可获得方阵行列式的解析表达式，并可获得行列式的若干基本性质．
§2.2.1　置换运算的定义与性质
定义2.2.1（置换）　置换可定义为一种改变有序元素组排列顺序的映照，可有两种记法：

其中{i1，…，ir}为有序元素组的初始排列，{1，…，r}为每一元素对应的初始序号．

{σ（i1），…，σ（ir）}表示排序后的有序元素组，{σ（1），…，σ（r）}表示排序后的原有序元素组的序号；前者可称为置换的元素定义，后者称为置换的序号定义．σ称为r阶置换[1]，记作σ∈Pr．此外，定义sgn σ称为置换σ的符号如下：

此处，每次交换两个数字称为一次“操作”.
以下以7阶置换为例，给出

性质2.2.1（置换运算的基本性质[2]）　置换运算的基本性质可归纳如下：
（1）对∀σ∈Pr，有

（2）对∀τ∈Pr，有
{（σ（i1），…，σ（ir））|∀σ∈Pr}={(σ-1（i1），…，σ-1（ir）)|∀σ∈Pr}
={（σ◦τ（i1），…，σ◦τ（ir））|∀σ∈Pr}
={（τ◦σ（i1），…，τ◦σ（ir））|∀σ∈Pr}；
（3）对∀σ∈Pr，有
{（i1，…，ir）|i1，…，ir=1，…，m}={（σ（i1），…，σ（ir））|i1，…，ir=1，…，m}
={(σ-1（i1），…，σ-1（ir）)|i1，…，ir=1，…，m}.
证明　按证明集合相等的方法，易于证明置换的基本性质．
（1）实际考虑

那么就有

实际上此性质即为改变相乘的次序．
（2）考虑到σ-1∈Pr，故有
{(σ-1（i1），…，σ-1（ir）)|∀σ∈Pr}⊂{（σ（i1），…，σ（ir））|∀σ∈Pr}.
另考虑到对∀σ∈Pr，有
（σ（i1），…，σ（ir））=(（σ-1）-1（i1），…，（σ-1）-1（ir）)
∈{(σ-1（i1），…，σ-1（ir）)|∀σ∈Pr},
所以
{（σ（i1），…，σ（ir））|∀σ∈Pr}⊂{(σ-1（i1），…，σ-1（ir）)|∀σ∈Pr},
即有
{（σ（i1），…，σ（ir））|∀σ∈Pr}={(σ-1（i1），…，σ-1（ir）)|∀σ∈Pr}.
考虑到σ◦τ∈Pr，故
{（σ◦τ（i1），…，σ◦τ（ir））|∀σ∈Pr}⊂{（σ（i1），…，σ（ir））|∀σ∈Pr}.
另考虑到对∀τ∈Pr，有
（σ（i1），…，σ（ir））=(σ◦τ-1◦τ（i1），…，σ◦τ-1◦τ（ir）),
可有
{（σ（i1），…，σ（ir））|∀σ∈Pr}⊂{（σ◦τ（i1），…，σ◦τ（ir））|∀σ∈Pr},
故
{（σ（i1），…，σ（ir））|∀σ∈Pr}={（σ◦τ（i1），…，σ◦τ（ir））|∀σ∈Pr}.
考虑到τ◦σ∈Pr，于是
{（τ◦σ（i1），…，τ◦σ（ir））|∀σ∈Pr}⊂{（σ（i1），…，σ（ir））|∀σ∈Pr}.
另考虑到对∀σ∈Pr，有
（σ（i1），…，σ（ir））=(τ◦τ-1◦σ（i1），…，τ◦τ-1◦σ（ir）),
则
{（σ（i1），…，σ（ir））|∀σ∈Pr}⊂{（τ◦σ（i1），…，τ◦σ（ir））|∀σ∈Pr},
故
{（σ（i1），…，σ（ir））|∀σ∈Pr}={（τ◦σ（i1），…，τ◦σ（ir））|∀σ∈Pr}.
（3）显然有，对∀σ∈Pr，满足
（σ（i1），…，σ（ir））∈{（i1，…，ir）|i1，…，ir=1，…，m},
即
{（σ（i1），…，σ（ir））|i1，…，ir=1，…，m}⊂{（i1，…，ir）|i1，…，ir=1，…，m}.
另考虑到对i1，…，ir=1，…，m，有
（i1，…，ir）=(σ◦σ-1（i1），…，σ◦σ-1（ir）),
由此即有
{（i1，…，ir）|i1，…，ir=1，…，m}⊂{（σ（i1），…，σ（ir））|i1，…，ir=1，…，m},
故
{（i1，…，ir）|i1，…，ir=1，…，m}={（σ（i1），…，σ（ir））|i1，…，ir=1，…，m}.
同理可得
{（i1，…，ir）|i1，…，ir=1，…，m}⊂{(σ-1（i1），…，σ-1（ir）)|i1，…，ir=1，…，m}.□
值得指出，实际分析/计算中涉及置换运算的操作不外乎上述基本性质．
§2.2.2　线性代数中的若干应用
定义2.2.2（矩阵）　下面的结构被称为矩阵

其中．矩阵A的行数和列数分别为m和n，相应的矩阵可以表示为.
定义2.2.3（矩阵的行列式[3]）　对于任意方阵，

它的行列式记作

可有以下3种等价性定义

如考虑，可有

进一步，可有

根据行列式的置换运算定义，可方便地得到如下行列式的基本性质．
性质2.2.2　交换方阵的行（或列）奇数次，其行列式变号；交换方阵的行（或列）偶数次，其行列式不变号．即

证明　根据行列式的定义，有
□
利用此性质，可得下面的性质．
性质2.2.3　有两行（或列）完全相同的行列式值为零

....