书名：考研数学二十讲（2018版）pdf/doc/txt格式电子书下载

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作者：贺金陵编

出版社：复旦大学出版社

出版时间：2017-06-01

书籍编号：30505782

ISBN：9787309129106

正文语种：中文

字数：145994

版次：1

所属分类：教材教辅-研究生

版权信息

书名：考研数学二十讲（2018版）

作者：贺金陵

出版社：复旦大学出版社

出版时间：2017-06-01

ISBN：9787309129106

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前言　Preface

随着我国高等教育事业的发展，近几年报考硕士研究生的人数越来越多。在2016年考研人数上涨的基础上，2017年报考人数再次上涨，达到了201万人，再创历史记录！考生最关心的问题是：如何在较短的时间内按照考试大纲的要求来提高复习效率，取得理想的考试成绩。考虑到考研数学的特殊性（有数学一、二以及三之分，而且考试内容、难度等均有所差异），在认真总结了多年教学以及考研复习辅导经验、深入研究历年考试题型和考试大纲的基础上，特意编写了《考研数学二十讲》这本书。

本书具有以下几个鲜明特点：

（1）由于硕士研究生入学数学考试有数学一（主要是报考理工科）、数学二（主要是报考农学）以及数学三（主要是报考经济学）之分，考生需要先弄清楚所要考试的种类。考虑到考试内容、难度、侧重点上有比较大的区别，为方便读者高效、合理地使用本书，在内容编排上，特意将大部分共同内容安排在前二十讲，而将一些交叉的知识点（如数学一以及数学二中的曲率）、特有的知识点（如数学三中的一元函数微分学在经济学中的应用）以附录的形式安排在后面，且在标题后面加以标示。因此，读者可以方便地找到所要考试种类相应的知识点。

（2）为了缩短考生复习的时间，帮助考生掌握基本概念、基本理论以及基本解题方法，在每一章的例题或者课后练习题部分均使用了较多的历年硕士研究生入学考试真题（80%以上）。考生可以先做题，接着看参考解答，做每一讲安排的课后练习题，再以思考回顾的方式加强训练。考生只要掌握了一整套基本解题方法以及特殊题型的特殊解法，达到考试大纲规定的要求，便可取得理想的成绩。

（3）每一章例题的题目以及解答是分开的，防止了既有解答对读者的干扰。建议阅读本书时，先独立去思考每一道例题，然后再参阅参考解答，养成良好的学习习惯。读者可以充分利用这部分典型例题以及习题，有针对性地掌握常考知识点部分内容，以提高分析问题、解决问题的能力。

（4）例题部分使用了笔者改编或者引申的新题目，相信对于提高读者的解题能力大有裨益，希望读者在使用本书的时候，带着自己的思维方式去使用它们，不应受到本书解答思路的约束。

（5）在每一章的最后，均编排了课后习题及其参考解答，可以作为例题的补充或者延续。

本书不仅可以作为硕士研究生入学数学考试的辅导用书，也可用作本科阶段学习高等数学、线性代数以及概率论与数理统计等课程的教辅用书。

在本书编写过程中，得到了复旦大学出版社的大力支持，在此表示诚挚的感谢！

由于编者水平和时间的限制，书中一定还有不少错误和不妥之处，恳请广大读者批评指正，欢迎提出您的宝贵意见或者建议！

编者
2017年3月　于同济大学

第一讲　极限与连续（一二三）
重点内容
（1）数列极限与函数极限的定义及其性质。
（2）无穷小的概念及其比较、无穷大。
（3）求证极限的常用方法。
（4）函数连续性的定义以及间断点的定义、分类。
（5）闭区间上连续函数的性质以及应用。
一、基本概念、公式以及定理
1．数列极限及其性质
设有数列xn以及常数a，使得对于任意的正数ε，存在正整数N，当n＞N时，有
|xn-a|＜ε，
则称数列xn以常数a为极限，或称数列xn收敛于常数a，记作；如果这样的常数a不存在，则称数列xn是发散的。
数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列和子列的关系。
①唯一性　若数列xn的极限存在，则极限必唯一。
②有界性　若数列xn的极限存在，则该数列有界。
③保号性　若，则存在N，当n＞N时，都有xn＞0。
④收敛数列和子列的关系　若数列xn收敛于常数a，且是数列xn的任意一个子列，则也收敛于常数a。
2．函数极限及其性质
（1）函数在有限点处的极限
设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，使得对于任意的正数ε，存在正数δ，当0＜|x-x0|＜δ时，有
|f（x）-a|＜ε，
则称常数a为函数f（x）当x→x0时的极限，记为。
（2）自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数a，使得对于任意的正数ε，存在正常数X，使得当|x|＞X时，f（x）都满足
|f（x）-a|＜ε，
则称常数a为函数f（x）当x→∞时的极限，记为。
（3）左右极限
在函数极限定义中，将x→x0改为当x→x0且x＜x0时，所得到的极限称为函数y=f（x）在x0处的左极限，记为；类似地，可得右极限，记为的定义。左右极限统称单侧极限，且有如下命题：
①命题　。
类似地，可得和的定义以及如下命题：
②命题　。
（4）函数极限的性质
有唯一性、有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系（归并原理）。
①唯一性　若函数y=f（x）在点x0处极限存在，则极限必唯一。
②有界性　若函数y=f（x）在点x0处极限存在，则存在点x0的某个去心邻域，函数在该邻域内有界。
③局部保号性　若函数y=f（x）在点x0处的极限，则存在点x0的某个去心邻域，函数在该邻域内总有f（x）＞0。
④归并原理　若函数y=f（x）在点x0处的极限存在，则对于任一收敛于点x0且异于x0的数列xn，总有。
注：其他极限变化趋势下有类似的性质。
3．无穷小与无穷大
（1）无穷小与无穷大的定义
若limf（x）=0，则称函数f（x）是自变量x在某个变化过程中的无穷小量；若limf（x）=∞，则称函数f（x）是自变量x在某个变化过程中的无穷大量。数列也有类似的定义。
（2）无穷小的比较
设α，β为自变量x在某个变化过程中的无穷小，如果，则称β是比α高阶的无穷小，记为β=o（α）；如果，则称β是比α低阶的无穷小；若，则称β与α是同阶无穷小；若，k＞0），则称β是关于α的k阶无穷小；特别地，若，则称α与β是等价无穷小，记为α～β。
（3）等价无穷小替换
若α～α′，β～β′且极限存在，则也存在且。
（4）常见等价无穷小
当x→0时，x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ex-1～ln（1+x），，ax-1～xlna，（1+x）α-1～αx，，，。
4．求证极限的常用方法
（1）换元以及初等变形
（2）等价无穷小替换
（3）极限存在准则
①准则1　设数列xn，yn，zn满足yn≤xn≤zn，，则；
②准则2　设数列xn单调有界，则存在。
（4）洛必达法则
（5）泰勒定理
（6）定积分的定义
（7）利用无穷级数
（8）利用常见结论
5．函数的连续性以及间断点
（1）函数的连续性
若，则称函数f（x）在点x0处连续；若函数f（x）在区间I上每一点处连续，则称函数在区间I上连续。
（2）函数的间断点及其分类
若函数f（x）在点x0处不连续，则称x0为函数f（x）的间断点。
分类　设x0是函数f（x）的间断点，如果极限存在，则称x0为函数f（x）的可去间断点；若与存在但是不相等，则称x0是函数f（x）的跳跃间断点。将可去间断点与跳跃间断点称为第一类间断点；其余间断点称为第二类间断点。如果，则称点x0是函数f（x）的无穷间断点。
6．闭区间上连续函数的性质
（1）有界性定理
设f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，则f（x）在[a，b]上有界。
（2）最大值最小值定理
设f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，则f（x）在闭区间[a，b]上可以取到最大值以及最小值。
（3）零点定理
设f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）f（b）＜0，则存在ξ∈（a，b）使得f（ξ）=0。
（4）介值定理
设f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，M和m分别是函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值，c是介于最大值与最小值之间的任意实数，则存在ξ∈[a，b]使得f（ξ）=c。
二、习题一
1．以下4个命题中正确的是（　　）。
（A）若f′（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界
（B）若f（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界
（C）若f′（x）在（0，1）内有界，则f（x）在（0，1）内有界
（D）若f（x）在（0，1）内有界，则f′（x）在（0，1）内有界
2．函数的间断点个数和渐近线条数分别是（　　）。
（A）1，2
（B）2，2
（C）1，3
（D）2，3
3．下列结论正确的是（　　）。
（A）在（0，+∞）上无界
（B）当x→0时，为无穷大量
（C）在（0，2010]上无界
（D）在（0，+∞）上无界
4．设函数f（x）连续，且f′（0）＞0，则存在δ＞0，使得（　　）。
（A）f（x）在（0，δ）内单调增加
（B）f（x）在（-δ，0）内单调减少
（C）对任意的x∈（0，δ）有f（x）＞f（0）
（D）对任意的x∈（-δ，0）有f（x）＞f（0）
5．函数在下列（　　）区间上有界。
（A）（-1，0）
（B）（0，1）
（C）（1，2）
（D）（2，3）
6．“对任意给定的ε∈（0，1），总存在正数N，当n＞N时，恒有|xn-a|≤2ε”是数列xn收敛于a的（　　）。
（A）充分条件但非必要条件
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
7．设对任意的x总有φ（x）≤f（x）≤g（x），且，则（　　）。
（A）存在且等于于零
（B）存在但不一定为零
（C）一定不存在
（D）不一定存在
8．若，则等于（　　）。
（A）0
（B）6
（C）36
（D）∞
9．设当x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比高阶的无穷小，则正整数n等于（　　）。
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
10．把x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（　　）。
（A）α，β，γ
（B）α，γ，β
（C）β，α，γ
（D）β，γ，α
11．已知当x→0时，函数f（x）=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则（　　）。
（A）k=1，c=4
（B）k=1，c=-4
（C）k=3，c=4
（D）k=3，c=-4
12．当x→0时，用o（x）表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（　　）。
（A）x·o（x2）=o（x3）
（B）o（x）·o（x2）=o（x3）
（C）o（x2）+o（x2）=o（x2）
（D）o（x）+o（x2）=o（x2）
13．函数的可去间断点个数为（　　）。
（A）1
（B）2
（C）3
（D）无穷多个
14．若函数f（x）与g（x）在（-∞，+∞）上各有且仅有3个间断点x1=1，x2=2，x3=3，则复合函数f（g（x））在（-∞，+∞）上（　　）。
（A）有3个间断点
（B）有6个间断点
（C）有9个间断点
（D）可以有无穷多个间断点
15．函数的无穷间断点的个数是（　　）。
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
16．。
17．极限。
18．设函数y=f（x）由方程y-x=ex（1-y）确定，则。
19．当x→0时，α（x）=kx2与是等价无穷小，则常数k=________。
20．设当x→1时，与x-1是等价无穷小，则m=________。
21．求极限。
22．求极限。
23．求极限。
24．当x→0时，1-cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小，求n与a。
25．已知函数，记。
（1）求a的值；
（2）若当x→0时，f（x）-a与xk是同阶无穷小，求常数k的值。
26．试确定常数A，B，C的值，使得ex（1+Bx+Cx2）=1+Ax+o（x3），其中o（x3）是当x→0时比x3高阶的无穷小。
27．设函数f（x）在[0，1]上连续，证明。
28．求极限。
29．设函数f（x）连续，且f（0）≠0，求极限。
30．设0＜x1＜1，，n=1，2，…，证明xn收敛并求极限。
31．当x→0时，函数最多为x的几阶无穷小？
32．设，试补充定义f（0），使得f（x）在上连续。
33．设数列xn满足，证明数列xn收敛并求极限。
34．设数列xn满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn（n=1，2，…）。
（1）证明极限存在并求该极限；（2）计算。
35．求。
36．设函数f（x）在（-∞，+∞）连续，且，证明f（x）在（-∞，+∞）存在最大值。
37．设f（x）在（-∞，+∞）上连续，，证明存在ξ∈（-∞，+∞），使得f（ξ）+ξ=0。
38．设函数f（x）∈C[a，b]，且对任意x∈[a，b]，存在y∈[a，b]，使。试证存在ξ∈[a，b]，使得f（ξ）=0。
39．证明递归数列a1=1，，n=1，2，…收敛，并求极限。
40．若an是正数数列，且，试证明。
41．设x1＞0，，n=1，2，3，…，证明xn收敛并求。
三、习题一的解答与分析
1．解一　直接法　由于f′（x）在（0，1）内有界，不妨设|f′（x）|≤M。对于任意x∈（0，1），由拉格朗日中值定理，则

因而

所以，f（x）在（0，1）内有界，故选（C）。
解二　排除法　令，则。显然，f′（x）和f（x）都在（0，1）内连续，但f（x）在（0，1）内无界，则（A）（B）都不正确。
令，显然f（x）在（0，1）内有界，但在（0，1）内无界，则（D）也不正确，故应选（C）。
2．显然当或者x=0时，函数f（x）没有定义，它们是间断点。
先考虑垂直渐近线，由于，故为其垂直渐近线；而，，故直线x=0不是垂直渐近线。
再考虑水平渐近线，由于，故y=2为曲线y=f（x）的水平渐近线。
最后考虑斜渐近线，由于，故曲线y=f（x）没有斜渐近线。
综上，选择（B）。
注：曲线的渐近线应该考虑垂直、水平，以及斜渐近线。
3．解一　直接法对于（D），记，若取，则有

故在（0，+∞）上无界，选（D）。
解二　排除法对于（A），记，有，且，故在（0，+∞）上有界，排除。
对于（B），记，取，有，故当x→0时，不是无穷大量，排除。
对于（C），记，x∈（0，2010]，则，此时有，导函数在有限区间（0，2010]上有界，由第一题可知在（0，2010]上有界，也排除。
4．由已知条件f′（0）＞0，得，结合函数极限的局部保号性，存在δ＞0。当x∈（0，δ）时，，因而f（x）＞f（0），选（C）。
注：选（A）是一种典型的错误，由f′（0）＞0，得不到一定存在原点的某邻域，在此邻域内f（x）单调增。反例如下：
令，则，满足条件；但是当x≠0时，，若取，，则有

即在点x=0的任何邻域内，既存在导数为正的点，也存在导数为负的点，所以f（x）在x=0的任何邻域内都不会单调增加。
5．由于且，即函数f（x）在点x=1，x=2的任一去心邻域中都无界。所以函数f（x）只是在区间（-1，0）内有界，因此正确答案为（A）。
6．本题主要考查数列极限定义的理解，其定义是“对任意给定的ε＞0，存在N＞0，当n＞N时，恒有|xn-a|＜ε”，这与本题中的说法是等价的，故应选（C）。
7．在此题中，不易直接判别哪一个答案正确，可考虑排除法。若令φ（x）=1-e-|x|，g（x）=1+e-|x|，f（x）=1，则显然有

可排除（A）（C）两个选项；若再取φ（x）=ex-e-|x|，g（x）=e-|x|+ex，f（x）=ex，则显然有

但不存在，因此（B）也可排除，选（D）。
注：由条件，并不能直接推出与存在且相等。
8．解一　利用泰勒公式　则

解二　利用洛必达法则　由

知。
解三　利用函数极限与无穷小之间的关系　由知，当x→0时，xf（x）+sin6x=o（x3），有，此时

解四　排除法　若令xf（x）+sin6x=0，显然有

故应选（C）。
9．因为当x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是x的4阶无穷小，是x的2阶无穷小，xsinxn是x的n+1阶无穷小，因此2＜n+1＜4，n=2，所以选（B）。
10．解一　可直接判别每个无穷小的阶。由于

即当x→0+时，α，β，γ分别为x的1阶，4阶，2阶无穷小，由此选（B）。
解二　由于

且求导前后无穷小之间阶数的高低不会发生变化，因此正确的排序是α，γ，β，故选（B）。
注：解二不需要求出每个无穷小的阶数。
11．解一　利用泰勒公式　由于

因此k=3，c=4。
解二　利用等价无穷小的定义　由于，且

因此k=3，c=4，选（C）。
12．解一　直接法　由于
，故x·o（x2）=o（x3），所以（A）对；
，故o（x）·o（x2）=o（x3），所以（B）对；
类似地，可得（C）对，故选择（D）。
解二　排除法　取，o（x2）=x3，此时

故当x→0时，o（x）+o（x2）≠o（x2），（D）错，选择（D）。
13．容易看出，函数在点x=0，x=±1处没有定义，为间断点。且

所以，点x=0，x=1是函数f（x）的可去间断点，选（B）。
14．本题需要构造函数，令

则可以验证f（g（x））有无穷多个间断点，所以选（D）。
15．显然点x=0，x=±1是函数f（x）的间断点，且

所以，函数f（x）的无穷间断点为x=-1，选择（B）。
16．解一　利用泰勒定理　由于

所以

解二　利用洛必达法则　计算得

17．解一　利用基本极限　计算得

解二　利用基本公式　计算得

18．当x=0时，由已知条件y-x=ex（1-y），可得y=1。在等式两边求导得
y′-1=ex（1-y）（1-y-xy′）。
上式中代入x=0，y=1，有y′（0）=1，因而

19．由等价无穷小的定义，知

所以。
20．由于，所以

计算得m=3。
21．解一

解二

解三

22．利用不等式，当x＞0时，记

其中

且

由夹逼准则得

23．

24．解一　由于

故
1-cosxcos2xcos3x=7x2+o（x2）～7x2。
所以n=2，a=7。
解二　由等价无穷小的定义得

显然当n=2时，有

所以n=2，a=7。
思考：当x→0时，1-cosxcos2xcos3x…cosnx是x的几阶无穷小？
25．（1）因为

所以a=1。
（2）因为

故当k=1时，有，所以k=1。
26．利用泰勒公式　由于

根据已知条件有，解之得
27．因为f（x）在[0，1]上连续，所以f（x）在[0，1]上有界，存在M＞0，使得当x∈[0，1]时，|f（x）|≤M。由于

其中

故。
另一方面，由定积分中值定理，存在，使得。因为，所以，因而。
综上，。
28．作代换，则有

29．先作变量替换，再用洛必达法则。令x-t=u，则有。因为，所以。故

30．先证明0＜xn＜1，当n=1时，显然成立。假设当n=k时成立，即0＜xk＜1，则当n=k+1时，有

结论成立。另一方面，，故xn单调增加。由单调有界收敛定理，故xn收敛。
设，在等式两边取极限，得，a=1，即。
31．利用泰勒公式　由所以

令，解之得，此时。所以当x→0时，函数最多为x的7阶无穷小。
注：泰勒展开式具体到几阶往往是这一类题目的难点。
32．由于

而f（x）在上连续。因此，只需要定义，即可使得f（x）在上连续。
33．构造函数，。当x＜1时，函数单调递减；当x＞1时，函数单调递增。故f（x）的最小值为f（1）=1。
考虑到，xn＜e，数列有上界；另一方面，断言数列xn单调递增。否则，若xn+1＜xn，则有，与已知条件矛盾。由单调有界收敛定理，则数列xn收敛。
设，在两边取极限得，，此时f（a）≤1，而f（a）≥1。所以f（a）=1，a=1，即。
34．（1）显然xn＞0，故xn+1=sinxn＜xn，数列xn单调递减，由单调有界收敛定理，数列xn收敛。记，在等式xn+1=sinxn两边取极限得a=sina，a=0，即。
（2）
35．解一　初等变形　则有

解二　利用泰勒公式　令，则有

36．记f（0）=c，由于，故存在X＞0，对于任意的x，|x|＞X，都有f（x）＜c。
另一方面，f（x）在区间[-X，X]上连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理，存在x0∈[-X，X]，使得，此时有：
（1）当x∈[-X，X]时，f（x）≤M；（2）当|x|＞X时，f（x）＜c=f（0）≤M。综上，对于任意的x，f（x）≤M，即f（x）在（-∞，+∞）可以取到最大值。
37．证一　构造函数F（x）=f（x）+x，显然F（x）为连续函数，此时

由函数极限的保号性，存在点x1＜0，使得F（x1）＜0；同时存在点x2＞0，使得F（x2）＞0。由零点定理，存在ξ∈（x1，x2）⊂（-∞，+∞），使得F（ξ）=0，即为f（ξ）+ξ=0。
证二　反证法　若f（x）+x=0无实根，由于f（x）+x是连续函数，不妨设对于任意的x，f（x）+x＞0。当x＜0时，则有，即。两边取极限，可得，结合已知条件，0≤-1，矛盾。
38．反证法　假设f（x）在[a，b]上没有零点，则|f（x）|在[a，b]上也没有零点。由于f（x）∈C[a，b]，|f（x）|∈C[a，b]，故|f（x）|＞0。由闭区间上连续函数的性质，|f（x）|在[a，b]上可以取得最小值，即存在x1∈[a，b]，使得。由已知条件可知，存在y1∈[a，b]，使得，这与m是最小值矛盾。所以f（x）在[a，b]上至少存在一个零点，即存在ξ∈[a，b]，使得f（ξ）=0。
39．显然an＞1且，所以1＜an＜2，即数列an有界。另一方面，，用数学归纳法不难证明数列an单调增加，因而an单调递增且有上界，所以数列an收敛。
不妨设，在两边同时取极限，可得，解之得或者（舍去）。
综上，得。
40．由均值不等式，，故

即

于是

结合已知条件，，以及，得

由夹逼准则，得

41．由x1＞0，可得。根据数学归纳法，容易证明xn＞0，n=1，2，3，…。
另一方面，当x＞0时，1-e-x＜x，那么，数列xn单调减少且有下界，故存在。
设，对两边取极限，得A=1-e-A，所以A=0。因而

四、自测题一
1．已知当x→0时，e2x-（ax2+2x+1）是x2的高阶无穷小，则a为（　　）。
（A）2
（B）-2
（C）4
（D）0
2．设函数在x=0处连续，则a=________。
3．已知0＜α＜1，试用定义证明。
4．设x1=0，x2=2，且3xn+1-xn-2xn-1=0，n=2，3，…，证明数列收敛并求极限。
5．已知当x→0时，asinx+bxcosx+x与kx5是等价无穷小，求常数k。
6．求极限。
7．已知，求。
8．。
9．设，求a，b的值。
10．求极限。
11．求极限。
12．已知函数y=y（x）是微分方程的解，求。
13．当x→0时，f（x）=esinx-etanx是x的________阶无穷小。
14．求
五、自测题一参考答案
1．（A）。
2．。
3．任取充分小的ε＞0，考虑，只需要，故只需要取。对于任意的n＞N，都有|（n+1）α-nα|＜ε。
4．由已知3xn+1-xn-2xn-1=0，得到
3xn+1+2xn=3xn+2xn-1=3xn-1+2xn-2=…=3x2+2x1=6。
所以

则xn收敛并且极限为。
5．。

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