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作者：颜超,单娟

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2017-08-01

书籍编号：30510924

ISBN：9787115458742

正文语种：中文

字数：104989

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：高等数学（上）

作者：颜超　单娟

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2017-08-01

ISBN：9787115458742

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内容提要

本书是编者在面向21世纪数学系列课程教学内容与课程体系改革方针的指导下，根据多年的教学实践经验和研究成果，结合“高等数学课程教学基本要求”编写而成的。

本套教材分为上、下两册。本书为上册，含函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用等内容。

本书作为高等学校非数学专业“高等数学”课程的教材，也可供各类需要提高数学素质和能力的人员使用。

前言

本套教材分为上、下两册。本书为上册，包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用等内容。

本书是为普通高等学校非数学专业学生编写的，也可供各类需要提高数学素质和能力的人员使用。针对应用型本科专业学生的特点，本书在编写中尽量做到直观地阐述微积分中的基本概念、基本运算，尽量结合实际问题给出相应的例题，同时为学生运用微积分的基本知识进行数学建模给出范例，考虑到微积分基本知识点对理工科和经济管理学科来说是相同的，只是在应用举例上侧重点不同。因此，在编写本书时不分理工或经济管理，而是统一起来编写，在举例中既有理工类的例子，也有经济管理类的例子。这样，可以让学理工的学生了解一些微积分在经济学中的应用，让学经济管理的学生了解一些微积分在自然学科中的应用，对他们来说应该是大有裨益的。

为适应分层次教学的需要，选修内容用*号标出。本书概念、定理及理论叙述准确、精炼，符号使用标准、规范，知识点突出，难点分散，证明和计算过程严谨，例题均经过精选，具有代表性和启发性，课后习题分为两组，其中A组为基础题，B组题目供学有余力的学生加深理解、开拓思维。

本书由颜超副教授、单娟讲师主编，其中第1章由颜超副教授编写，第2章由杜秀清副教授编写，第3章由张超老师编写，第4章由周海青副教授编写，第5、第6章由单娟讲师编写，最后由滕加俊教授统稿；本书的编写得到了南京工业大学浦江学院自编教材项目的支持，在编写过程中也得到了其他教师同仁的大力帮助，在此一并表示感谢！

限于编者的水平，书中难免存在不足之处，我们衷心地希望各位读者能够提出宝贵意见，以期在再版时能进一步完善本书。

编者
2017年8月

第1章 函数、极限与连续

函数是我们研究对象所涉及变量之间关系的数学表达，是高等数学研究的主要对象。和初等数学不同，高等数学研究的是函数随自变量的变化而变化的行为和性质，即我们称之为分析的方法。在这一方法中，函数的极限是非常重要的概念和工具。在高等数学中，几乎所有的概念都建立在“极限”的基础上。连续是函数的一个重要局部性态，它描述了函数在一点周围变化的不间断性。本章主要介绍了函数的定义、基本性态、初等函数以及极限的概念、性质和运算，并在此基础上讨论函数连续性的概念和连续函数的性质。

1.1 集合与函数

本节介绍函数的一般概念、表示方法、性质。

1.1.1 集合、区间和邻域

1. 集合

集合是现代数学中最基本的概念，它已经渗透到现代数学的各个分支。集合不能用更简单的概念来定义，但我们可以通过例子对这个概念加以说明。例如，自然数的全体、一个学校的全体学生等，都是集合。一般地，具有某种确定性质的对象的全体称为集合或简称集，其中的对象称为集合的元素，通常用大写拉丁字母A，B，M等表示集合，而用小写拉丁字母a，b，m等表示集合的元素。若a是A的元素，则记作a∈A（读作a属于A）；若a不是A的元素，则记作a∈A（读作a不属于A）。

集合的表示方法一般有两种，一种是列举法，就是按任意顺序不重复地列出集合的所有元素，并用花括号“｛　｝”括起来。

例如，方程x2－4=0的根所组成的集合S，可表示为S=｛-2，2｝。

还有一种是描述法，它的一般形式是

A=｛x|x具有性质P｝，

其中P是关于x的某个性质，意思是：x∈A的充要条件是x不满足性质P。

例如，全体偶数的集合B，可表示为

B=｛x|x=2n，n为整数｝。

由某些数组成的集合称为数集。例如，全体自然数组成自然数集，常用符号N表示；全体正整数组成正整数集，常用符号N+表示；全体整数组成整数集，常用符号Z表示；全体有理数组成有理数集，常用符号Q表示；全体实数组成实数集，常用符号R表示；等等。

如果集合A的元素都是集合B的元素，即若x∈A，则有x∈B，就说集合A是集合B的子集，记作A⊂B（读作A包含于B），或B⊃A（读作B包含A）。

如果A⊂B，且B⊂A，就说集合A与集合B相等，记作A=B。不包含任何元素的集合称为空集，记作Ø。例如，集合｛x|x∈R，x2=－1｝是空集。

数集是一个常用的集合，即集合中的元素都是数。如果没有特别说明，本书用到的数均指实数。

2. 区间

区间是表示实数集合的一种常用形式。区间根据长度可以分为两大类：有限区间和无限区间（无穷区间）。

设a，b为两个实数，且a＜b。我们定义区间如下。

（a，b）=｛x|a＜x＜b｝为开区间，如图1-1（a）所示。

［a，b］=｛x|a≤x≤b｝为闭区间，如图1-1（b）所示。

图1-1

类似地，定义半开半闭区间：

（a，b］=｛x|a＜x≤b｝和［a，b）=｛x|a≤x＜b｝，

称a，b为区间的端点，b－a为区间的长度。由此可知，以上区间的长度都为有限数，称它们为有限区间。我们还定义了无穷区间：

（－∞，b］=｛x|x≤b｝

（－∞，b）=｛x|x＜b｝

［a，+∞）=｛x|x≥a｝

（a，+∞）=｛x|x＞a｝

R=（－∞，+∞）

如图1-2所示。

图1-2

3. 邻域

下面给出邻域的定义。

定义1　设a与δ是两个实数，且δ＞0，称开区间（a－δ，a+δ）为点a的δ邻域，记作

U（a，δ）=（a－δ，a+δ）=｛x|a－δ＜x＜a+δ｝=｛x|x－a＜δ｝，

即到点a的距离小于δ的点的集合，简称点a的邻域。其中a为该邻域的中心，δ为该邻域的半径，如图1-3所示。

图1-3

在U（a，δ）中去掉中心点a，得到集合

称为点a的去心邻域。

1.1.2 函数的概念

1. 函数

【例1-1】　自由落体运动中，质点下落的距离s与下落时间t之间的关系由下式确定：

其中g≈9.8m/s2为重力作用下自由落体的加速度。由这个关系式可知，对于任意大于零的t值，有唯一的s值与之对应。

【例1-2】　在几何中，圆的面积S由半径r唯一确定，它们之间的关系由下式给出：

S=πr2。

对于每个非负的r值，由此关系式都可以得到唯一的面积S与之对应。

以上两例虽然背景不同，但它们都表达了两个变量之间相互依赖的关系。这个关系由一个对应法则给出，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，根据这个对应法则，另一个变量有唯一确定的值与之对应。两个变量之间的这种对应关系就是函数的概念。

定义2　设非空数集D⊂R，f是一个由D到R的对应法则。若对于任一x∈D，在f的作用下都有唯一一个确定实数y与之相对应，则称f为D上的一个函数，称y为f在点x处的函数值，记作y=f（x）。

函数f可以表示为

f：D→R，x→y，

其中x称为自变量，y称为因变量。自变量x取值的全体即数集D称为函数f的定义域，记作D（f）或Df。函数值的全体称为f的值域，记作R（f）或Rf，也可记作f（D），即

R（f）=f（D）=｛f（x）x∈D｝。

由上述定义可以看出，严格意义上，f和f（x）的含义是不同的。f表示由自变量x确定因变量y的对应法则即函数关系，而f（x）则表示与自变量x对应的函数值。但是为了叙述方便，常将函数简单地表示为y=f（x）（x∈D）。

对于函数y=f（x）（x∈D），任一x∈D都有唯一y=f（x）与之相对应，从而可产生有序数组（x，y）对应于平面内的一点P（x，y）。称点集｛（x，y）y=f（x），x∈D｝形成的轨迹为函数y=f（x）（x∈D）的图像，如图1-4所示。

图1-4

通常用英文字母f，g，h，…，F，G，…和希腊字母φ，ψ，…，Φ，Ψ，…作为函数的记号。

确定函数的两个要素是定义域和对应法则。换言之，一个函数由定义域和对应法则完全确定，而与变量的记号无关。

例如，s=πr2（r＞0）与y=πx2（x＞0）表达的是同一个函数关系；而y=πx2（x＞0）与y=πx2（x∈R）则是两个不同的函数，因为两者的定义域不同。

2. 分段函数

在实际应用中，常遇到这样一类函数：在自变量的变化过程中，在不同区域上，对应法则不同，因而函数表达式也不同，将这种函数称为分段函数。

【例1-3】　符号函数，的图像如图1-5所示。

图1-5

【例1-4】　函数，的图像如图1-6所示。

图1-6

狄里克雷（Dirichlet）函数

其定义域是D=（-∞，+∞），值域是｛0，1｝。因为数轴上有理点与无理点都是稠密的，所以它的图形不能在数轴上准确地描绘出来。

对于分段函数，应注意到：虽然在自变量的不同变化范围内，计算函数值的表达式不同，但这些表达式定义的是一个函数，这个函数的定义域是各个不同表达式所对应的x值的并集。在计算某个函数值时，要先判断自变量的值在哪个表达式所对应的范围内，再按该表达式求值。

【例1-5】　设函数写出它的定义域并求f（1）和f（－1）。

解　它的定义域D（f）=（－2，0）∪｛0｝∪（0，2）=（－2，2）。

由于x=1∈（0，2），所以f（1）=1+1=2；由于x=－1∈（－2，0），所以f（－1）=－1－1=－2。此函数的图形如图1-7所示。

图1-7

3. 函数的运算

函数作为一种数学元素，也可以作加减乘除四则运算。

设有函数f（x）和g（x），它们的定义域分别是D1、D2，且D=D1∩D2≠Ø，我们可以定义这两个函数的下列运算。

和与差f±g：（f±g）（x）=f（x）±g（x），x∈D。

积f•g：（f•g）（x）=f（x）•g（x），x∈D。

商，x∈｛x|x∈D且g（x）≠0｝。

1.1.3 函数的性质

研究函数时，常会用到以下几个特性。

1. 单调性

定义3　设函数f（x）的定义域为D，区间I⊂D。如果对于区间I上任意两点x1和x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）（见图1-8），则称函数f（x）在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1和x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＞f（x2）（见图1-9），则称函数f（x）在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称单调函数，使函数单调的区间称为函数的单调区间。

图1-8

图1-9

函数的单调性不仅和函数表达式有关，也和定义区间有关。一般地，如果函数在整个定义域内不单调，我们可以将定义域分成多个子区间，使函数在各个子区间内单调。例如，函数y=x2在整个定义域（－∞，+∞）内不是单调的，但是在定义域的子区间（－∞，0）上单调减少，而在（0，+∞）上是单调增加的。

2. 有界性

定义4　设函数f（x）在集合D上有定义。如果存在常数M＞0，使得对任意的x∈D恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在D上有界；如果这样的M不存在，即对于任意的正数M，无论它多大，总存在x∈D，使得|f（x）|＞M，则称函数f（x）在D上无界。

如果存在常数M（或m），使得对任意的x∈D，恒有f（x）＜M（或f（x）＞m），则函数f（x）在D上有上界（或有下界）。

从几何上看，在区间［a，b］上的有界函数的图形位于两条x轴的平行线y=M和y=－M之间（见图1-10）。

图1-10

显然，在某区间上有界的函数在此区间上也必有上界和下界；反之，若函数在某区间上既有上界也有下界，则它在此区间上一定是有界的。而无界函数可能是只有上界而没有下界，或者只有下界而没有上界，或者既没有上界也没有下界。

例如，函数在（－∞，+∞）上有界，对于∀x∈R，都有。函数在其定义域（－∞，0）∪（0，+∞）上无界，但是如果我们的研究范围是区间［1，2］，显然对任意的x∈［1，2］，恒有，这就是说，在［1，2］上是有界的。由此可见，一个函数是否有界，与所讨论的区间有关。

3. 奇偶性

定义5　设函数f（x）的定义域为D，其中D关于原点对称，即当x∈D时，有－x∈D。

如果对于任一x∈D，恒有f（－x）=f（x）成立，则称f（x）为偶函数。

如果对于任一x∈D，恒有f（－x）=－f（x）成立，则称f（x）为奇函数。

例如，函数y=x2与y=cosx都是偶函数，函数y=sinx与函数y=x3都是奇函数，而函数y=x2+x是非奇非偶函数。

从定义中可以看出，只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。显然，偶函数的图形关于y轴对称（见图1-11），而奇函数的图形关于原点对称（见图1-12）。

图1-11

图1-12

【例1-6】　证明：任何定义域关于原点对称的函数f（x）都可表示为一个奇函数和一个偶函数的和。

证　令

则

故g（x）为偶函数，h（x）为奇函数。注意到

f（x）=g（x）+h（x），

从而命题得证。

4. 周期性

定义6　设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一x∈D均有（x±T）∈D，且恒有等式

f（x+T）=f（x）

成立，则称函数f（x）为周期函数，正数T称为函数f（x）的周期。

例如，函数y=sinx，y=cosx都是周期为2π的周期函数，而y=tanx是以π为周期的周期函数。周期函数在每个长度为一个周期的区间上都有相同的形状，自然地，也有相同的单调性等特性。

如果正数T是周期函数的周期，那么T的正整数倍也是这个函数的周期，即周期函数的周期不唯一。通常我们所说的周期是指函数的最小正周期，即满足上述等式的最小正数。另外需要指出的是，并不是所有的周期函数都具有最小正周期，比如前述的狄里克雷函数。

【例1-7】　f（x）的周期为T，试求f（kx+b）的周期。

解　令F（x）=f（kx+b），则对于任意的x都有

故f（kx+b）的周期为。

1.1.4 反函数与复合函数

1. 反函数

定义7　设函数y=f（x）的定义域为D（f），值域为R（f）。如果对任一y∈R（f），都有唯一确定的满足y=f（x）的x∈D（f）与之对应，这时x是定义在R（f）上以y为自变量的函数，称这个函数为函数y=f（x）的反函数，记为x=f－1（y）（y∈R（f））。将y=f（x）称为x=f－1（y）的原函数。例如，函数y=x3+1的反函数，通常记作。

由定义可知，反函数的对应法则完全由原函数的对应法则f所确定。另外，为了保证任一自变量y都有唯一确定的x与之对应，要求对应法则f是一一对应的。在这种情形下，x=f－1（y）与y=f（x）互为反函数，而且x=f－1（y）的定义域与值域正好是原函数的值域与定义域。

在反函数x=f－1（y）中，y为自变量，x为因变量。但习惯上，在保持定义域R（f）与对应法则f－1不变的情形下，仍以x记自变量，以y记因变量，将此反函数记为y=f－1（x）（x∈R（f））。所以函数y=f（x）与其反函数y=f－1（x）的图形关于直线y=x对称（见图1-13）。

图1-13

如果y=f（x）在区间I上单调，则其对应法则f是一一对应的，所以存在反函数，而且其反函数单调性与之一致。例如，指数函数y=ex是在（－∞，+∞）内单调增加的，其值域为（0，1）；而它的反函数是对数函数y=lnx，在其定义域（0，+∞）内也是单调增加的。

【例1-8】　求函数的反函数。

解　当x≥0时，由y=x+1，可知x=y－1且y≥1；当x＜0时，由y=x3，可知且y＜0。因此

变量替换得到函数的反函数

2. 复合函数

定义8　已知函数y=f（u）（u∈D（f），y∈R（f））与u=g（x）（x∈D（g），u∈R（g））。如果D（f）∩R（g）≠Ø，则称函数

y=（fog）（x）=f［g（x）］，x∈｛x|g（x）∈D（f）｝

是由函数y=f（u）和u=g（x）复合而成的复合函数。其中x为自变量，y为因变量，u称为中间变量，此复合函数的定义域为｛x|g（x）∈D（f）｝。

【例1-9】　对于函数f（u）=lnu，g（x）=sinx，由于D（f）=（0，+∞），R（g）=［－1，1］，显然D（f）∩R（g）=（0，1］≠Ø，所以这两个函数可以复合成新的函数，其表达式为y=lnsinx，定义域为

D=｛x|sinx∈（0，+∞）｝=｛x|2kπ＜x＜（2k+1）π，k=0，±1，±2，…｝。

可以看出，两个函数要复合成新函数，往往要适当限制原来函数自变量的变化范围才可以。所以，并不是任何两个函数都可以复合成新函数。例如，函数f（u）=ln（u－2）与g（x）=sinx，由于D（f）=（2，+∞）与R（g）=［－1，1］没有公共部分，所以这两个函数不能复合成有意义的新函数。

1.1.5 初等函数

在中学，我们已经学过以下5类基本初等函数。

幂函数：y=xμ（μ是常数）。

指数函数：y=ax（a＞0且a≠1），如图1-14所示。

图1-14

对数函数：y=logax（a＞0且a≠1），如图1-15所示。特别地，当a=e时，记为y=lnx。

图1-15

三角函数：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，。

反三角函数：y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，如图1-16所示。

图1-16

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成并且可以用一个解析式表示的函数，称为初等函数。例如，y=1+sin2x，，y=esinx等都是初等函数。

初等函数是高等数学研究的主要对象。

习题1.1

（A）

1. 求下列函数的定义域。

2. 已知函数求f（2），f（3），f（－4），并作出函数的图形。

3. 讨论下列函数的单调性。

4. 若函数f（x）的定义域是D=［0，1］，求函数f（x2）和f（sinx）的定义域。

5. 求由下列函数复合而成的复合函数。

（1）y=eu，，v=cosx；

（2）y=u2+2u，u=cosx；

（3）y=ln（1+u），u=v2，v=sinx。

6. 写出函数是由哪些基本初等函数复合而成的。

（B）

1. 证明任意一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和。

2. 判断下列函数的奇偶性。

（1）

（2）y=sin|x+2|。

1.2 数列的极限

极限是微积分的基本概念之一，它描述了在某种变化过程中变量的取值趋势。以后章节将要学习的导数和定积分实质上是两类特殊的极限，因此极限是微积分的理论基础。

1.2.1 数列的极限

极限的思想是由求某些实际问题的精确解而产生的，它是微积分的基本思想。例如，数学家刘徽利用圆内接正多边形求圆面积的方法———割圆术，就是极限思想在几何学的应用。又如，早在2000多年前，«庄子•天下篇»中就有这样的说法：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”用数学的语言来说，一尺长的木棍，“日取其半”，第一天剩余部分为，第二天剩余部分为，…，第n天剩余部分为。n越来越大时，剩余部分yn越来越小，但永远不会等于零，即这个过程可以“万世不竭”。显然，随着n的无限增大，yn无限接近于零。事实上，这其中蕴含着朴素的极限思想。这里得到的一组数

就是一个数列。

一般地，按一定顺序排列的一列数

a1，a2，…，an，…

称为数列，简记为｛an｝。数列｛an｝中的每个数称为数列的项，an称为数列的通项或一般项，正整数n称为数列的项数。

【例1-10】　几个数列的例子。

（1）｛（－1）n｝：－1，1，－1，1，…，（－1）n，…。

在初等数学中，我们关心数列的通项公式以及前n项的和，现在我们要研究：当n无限增大时，数列的整体变化趋势。

对于数列（2），当n无限增大时，其通项越来越小，且无限接近于0。

对于数列（3），当n无限增大时，其通项越来越小，且无限接近于0。

对于数列（4），当n无限增大时，其通项虽然有时比1大有时比1小，但到1的距离越来越小，且无限接近于0，因此xn无限接近于1。

以上讨论的3个数列有共同的特性：当n无限增大时，其通项都无限接近某个常数。另一类，如上述数列（1），当n无限增大时，一般项并不趋近于一个固定的常数。这种对于数列一般项的变化趋势的考察，反映了数列极限的思想。

把这种特性抽象出来，就形成了极限的定义。

定义1　｛an｝是一个数列，如果当n无限增大时，an无限接近（或趋近）于某一个确定的常数a，则称常数a是数列｛an｝的极限，或称数列｛an｝收敛于a，记作

如果数列｛an｝有极限，则称数列｛an｝收敛，或说“存在”；如果数列｛an｝没有极限，则称数列｛an｝是发散的，或说“不存在”。

由此定义，可以说“数列收敛于0”或“”；而数列｛（－1）n｝无论n多大，总有奇数项为－1，偶数项为1，故不存在一个常数a，使得当n无限增大时，一般项无限与之接近，所以可以说“数列｛（－1）n｝是发散的”，或说“不存在”。

【例1-11】　考察数列｛an｝的极限，其中。

解　两个数a与b之间的接近程度可以由它们在数轴上对应点之间的距离，也就是两者差的绝对值|a－b|的大小来衡量。|a－b|越小，a与b越接近。所以，“当n无限增大时，an无限接近于a”，等价于“只要n足够大，可以保证|an－a|小于任何给定的很小的正数”。当n无限增大时，an的值无限接近于1，即意味着当n充分大时，an与1的距离可以任意小，要多小有多小，也就是说，只要n足够大，就能使|an－1|小于预先给定的无论多么小的正数。比如，要使与1的距离小于0.1，即要使，只要使n＞10；同样，要使与1的距离小于0.01，只要使，即n＞100.一般地，对于任意给定的正数ε，只要，就有，即第项以后的所有项都满足|an－1＜ε（注：表示不超过正数的最大整数）。

据此给出数列极限的严格数学定义。

定义2　设｛an｝是一个数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式

|an－a|＜ε

都成立，那么称常数a是数列｛an｝的极限，或者称数列｛an｝收敛于a，记为

关于这个定义的几点说明：

（1）定义中的正数ε是任意给定的（既是任意的，也是给定的）。它的任意小可以体现an与a的无限接近。

（2）定义中的N，随ε给定而定，体现了n的无限增大。

（3）此定义的几何解释：

若数列｛an｝的极限为a，将常数a及数列｛an｝的各项在数轴上用它们的对应点表示出来。任意给定正数ε，在以a为中心、以ε为半径的开区间（a－ε，a+ε）（这个开区间称为a的ε邻域）之外至多有N个点a1，a2，…，aN；其他满足n＞N的所有点，由于满足|an－a|＜ε，所以均在此开区间之内（见图1-17）。由此也可以看出，N随着ε的给定而确定。

图1-17

以上给出的极限定义，并未直接提供求数列极限的方法，但常用来证明数列的极限。下面就利用定义证明前述的例子。

【例1-12】　证明数列的极限是1。

证　任意给定正数ε，由于，所以要使|an－1|＜ε，只要，即就可以了。因此可取，则当n＞N时，一定有，从而有|an－1|＜ε。所以有。

【例1-13】　证明.

证　，对于任意给定的ε＞0，要使|an－0|＜ε，只要即可。

所以，对∀ε＞0，取，当n＞N时，就有|an－0|＜ε，即。

【例1-14】　设an≡C（C为常数），证明。

证　对于任意给定的ε＞0，对于一切自然数n，|an－C|=|C－C|=0＜ε成立，所以。

注　常数列的极限等于同一常数。

【例1-15】　证明，其中|q|＜1。

证　任给ε＞0，设ε＜1。

若q=0，则。

若0＜|q|＜1，因为

|xn－0|=|qn－0|=|q|n，

要使|an－0|＜ε，只要|q|n＜ε即可。取自然对数，得nln|q|＜lnε，因|q|＜1，故。

取，则当n＞N时，|qn－0|＜ε，则。

1.2.2 收敛数列的性质

定理1（极限的唯一性）　如果数列｛an｝收敛，则它的极限是唯一的。

证　用反证法。假设同时有an→a及an→b（n→+∞），且a＜b。取。因为，故存在正整数N1，当n＞N1时，不等式

成立。同理，因为，故存在正整数N2，当n＞N2时，不等式

成立。取N=max｛N1，N2｝（这个式子表示N是N1和N2中较大的那个数），则当n＞N时，（1）式及（2）式会同时成立。但由（1）式有，由（2）式有，这是不可能的。这个矛盾证明了本定理。

借助数列极限的几何意义可以更直观地说明定理的正确性：

设an→a及an→b（n→+∞）且a≠b，不妨设a＜b。适当选取ε，如图1-18所示，由几何意义可知，当n充分大时，an既要落在（a－ε，a+ε）内又要落在（b－ε，b+ε）内，这显然是不

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