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作者：颜超,陆海霞

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2018-02-01

书籍编号：30510925

ISBN：9787115478085

正文语种：中文

字数：91183

版次：1

所属分类：教材教辅-大学

版权信息

书名：高等数学（下）

作者：颜超　陆海霞

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2018-02-01

ISBN：9787115478085

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内容提要

本书是编者在面向21世纪数学系列课程教学内容与课程体系改革方针的指导下，根据多年的教学实践经验和研究成果，结合“高等数学课程教学基本要求”编写而成的。

本套教材分为上、下两册。本书为下册，含微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容。

本书可作为高等学校非数学专业“高等数学”课程的教材，也可供各类需要提高数学素质和能力的人员使用。

前言

本套教材分为上、下两册。上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用等内容。下册包括微分方程、向量与空间解析几何、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容。每节和章末均配有习题。

本套教材是为普通高等学校非数学专业学生编写的，也可供各类需要提高数学素质和能力的人员使用。针对应用型本科专业学生的特点，本套教材在编写过程中尽量做到直观地阐述微积分中的基本概念、基本运算，尽量结合实际问题给出相应的例题，同时也为学生运用微积分的基本知识进行数学建模给出范例，考虑到微积分基本知识点对理工科和经济管理学科来说是相同的，只是在应用举例上侧重点不同。因此，在编写本书时不分理工或经济管理，而是统一起来编写，在举例中既有理工类的例子，也有经济管理类的例子。这样，可以让学理工的学生了解一些微积分在经济学中的应用，让学经济管理的学生了解一些微积分在自然学科中的应用，对他们来说应该是大有裨益的。

为适应分层次教学的需要，选修内容用*号标出。本套教材中的概念、定理及理论叙述准确、精炼，符号使用标准、规范，知识点突出，难点分散，证明和计算过程严谨，例题均经过精选，具有代表性和启发性，课后习题分为两组，其中A组为基础题，B组题目供学有余力的同学加深理解，开拓思维。

本书由颜超副教授、陆海霞讲师主编，其中第7章由周海青副教授编写。第8章、第9章由杜秀清副教授编写，第10章由刘艳老师编写，第11章由颜超副教授编写，第12章由陆海霞讲师编写，全书由滕加俊教授统稿。本书的编写得到了南京工业大学浦江学院自编教材项目的支持，在编写过程中也得到了其他教师同仁们的大力帮助，在此一并表示感谢！由于水平所限，书中难免存在不足，我们恳切地希望各位读者能够提出宝贵意见，以期在再版时得到进一步完善。

编者

2018年1月

第7章 微分方程

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究。因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具有重要意义。为了深入研究几何、物理、经济等许多实际问题，常常需要寻求问题中有关变量之间的函数关系。而在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数的导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。微分方程在自然科学、工程技术和经济学等领域中有着广泛的应用。微分方程建立以后，对它进行研究，找出未知函数来，这就是解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法及差分方程。

7.1 微分方程的基本概念

7.1.1 引例

通过例题来说明微分方程的一些基本概念。

例1　已知一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（x，y）处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程。

解　设所求曲线的方程为y=f（x）. 由题意，可知未知函数y=f（x）应满足关系式

把式（1）两端积分，得

y=∫2xdx.

即

其中C是任意常数。

把条件“x=1时，y=2”代入式（3），得

2=12+C.

由此定出C=1. 把C=1代入式（3），得所求曲线方程为

y=x2+1.

例2　列车在平直道路上以20m/s（相当于72km/h）的速度行驶，当制动时列车获得加速度-0.4 m/s2. 问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

解　设列车的行驶速度为v，开始制动后在时间t时行驶了路程s. 根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数s=s（t）应满足关系式

把式（4）两端积分一次，得

把式（6）两端再积分一次，得

这里C1、C2都是任意常数。

把条件v|t=0=20代入式（6），得C1=20. 把条件s|t=0=0代入式（7），得C2=0. 把C1、C2的值代入式（6）及式（7），得

在式（8）中令v=0，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

再把t=50代入式（9），得到列车在制动阶段行驶的路程

s=-0.2×502+20×50=500（m）.

7.1.2 微分方程的一般概念

上述两例的方程都含有未知函数的导数，因此，我们得到下列相关的定义。

微分方程：一般地，含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。

常微分方程：若微分方程中未知函数为一元函数，则称此微分方程为常微分方程。

偏微分方程：若微分方程中未知函数是多元函数，则称此微分方程为偏微分方程。

微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫作微分方程的阶。

例如，x3y‴+x2y″-4xy′=3x2为三阶，y（4）-4y‴+10y″-12y′+5y=2x为四阶，y（n）+1=0为n阶。由于我们仅研究常微分方程，因此，将常微分方程简称为微分方程，有时简称为方程.

例如，下面方程都是微分方程（其中y、v、θ均为未知函数）.

①y′=kx，k为常数；

②（y-2xy）dx+x2dy=0；

③mv′（t）=mg-kv（t）；

④

⑤（g、l为常数）.

例如，方程①-③为一阶微分方程，方程④一⑤为二阶微分方程。

一般n阶微分方程可用以下形式表示：

F（x，y，y′，…，y（n））=0

其中x是自变量，y是未知函数；F（x，y，y′，…，y（n））=0是已知函数，而且一定含有Y（n）.

微分方程的解：代人微分方程能使该方程成为恒等式的函数叫作该微分方程的解。确 切地说，设函数y=φ（x）在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，F［x，φ（x），φ′（x），…，φ（n）（x）］=0，那么函数y=φ（x）就叫作微分方程F（x，y，y′，…，y（0）））=0在区间I上的解。

不难验证，函数y=x2、y=x2+1及y=x2+C（C为任意常数）都是方程y′=2x的解。

若微分方程的解中所含独立的（不能合并的）任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为该微分方程的通解。

若在微分方程的通解中的任意常数取定一组固定常数，则得到的解称为该微分方程的特解。例如，方程y′=2x的解y=x2+C中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是方程的通解；如果求满足条件y（0）=0的解，代人通解y=x2+C中，得C=0，那么y=x2就是微分方程y′=2x的特解。能够从通解中确定特解的条件称为该微分方程的初始（值）条件。通常，一阶微分方程的初始条件是

y|x=x0=y0，即y（x0）=y0

由此可以确定通解中的一个任意常数；二阶微分方程的初始条件是

y|x=x0=y0及y′|x=x0=y′0，即y（x0）=y0与y′（x0）=y′0，由此可以确定通解中的两个任意常数。

一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题。求解某初值问题，就是求方程的特解。

例3　验证函数y=C1ex+C2e-2x是方程y″+y′-2y=0的通解，并求满足初始条件y|x=0=3、y′|x=0=0特解。

解　由y=C1ex+C2e-2x得

y′=C1ex-2C2e-2x，

y″=C1ex+4C2e-2x

将y′与y″代入原方程的左边，有

（C1ex+4C2e-2x）+（C1ex-2C2e-2x）-2（C1ex+C2e-2x）=0

因此，函数y是原方程的解，又函数y中任意常数的个数为2，等于方程的阶数，所以是y=C1ex+C2e-2x方程y″+y′-2y=0的通解。

将初始条件y|x=0=3代入y=C1ex+C2e-2x，得

将初始条件y′|x=0=0代入y′=C1ex-2C2e-2x，得

由式（10）和式（11）解得C1=2，C2=1，故所求特解为y=2ex+e-2x.

习题7.1

A组

1. 指出下列微分方程的阶数。

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解。

（1）xy′=2y，y=5x2；

（2）（x-2y）y′=2x-y，x2-xy+y2=C；

（3）y″-2y′+y=0，y=x2ex；

（4）y″=1+y′2，y=lnsec（x+1）.

3. 验证y=Cx3是方程3y-xy′=0的通解（C为任意常数），并求满足初始条件y（1）的特解。

4. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；

（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分。

B组

1. 验证下列各函数是否为所给微分方程的解，若是，试指出是通解还是特解（其中（C1、C2均为任意常数）.

（1）

（2）y″-2y′+y=0，y=ex+e-x.

2. 在下列各题给出的微分方程的通解中，按照所给的初值条件确定特解。

（1）x2-y2=C，y|x=0=5

（2）y=C1sin（x-C2），y|x=π=1，y′|x=π=0

3. 验证ey+C1=（x+C2）2是方程y″+y′2=2e-y的通解（C1、C2为任意常数），并求满足初始条件的特解。

7.2 一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为

在本节中，我们着重讨论几个简单形式的一阶微分方程的解法。

7.2.1 可分离变量的微分方程

形如

的方程称为可分离变量的微分方程。

一个一阶微分方程能写成g（y）dy=f（x）dx的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含有y和dy，另一端只含有x和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

例如，微分方程可以写成所以微分方程为可分离变量的微分方程。

解法：因为方程中的变量完全地分离到等式两边，所以对于这样的方程，可以两边同时积分，右边对变量x积分，左边对y积分，即

∫g（y）dy=∫f（x）dx，

G（y）=F（x）+C.

其中F（x）、G（y）分别为f（x）、g（y）的原函数。

即只含变量x、y而不含导数（或微分）的等式，就是方程的解。

例1　求微分方程y′=2xy的通解。

解　原方程可化为，

分离变量，得

两端分别积分，得

即

ln|y|=x2+C1.

从而

故原方程的通解为

例2　求方程的通解。

解　将方程整理得

分离变量，得

两边积分，得

故得通解为

例3　求方程dx+xydy=y2dx+ydy满足初始条件y（0）=2的特解。

解　将方程整理得

y（x-1）dy=（y2-1）dx.

分离变量，得

两边积分，得

化简，得

y2-1=C（x-1）2.

将初始条件y（0）=2代入，得C=3. 故所求特解为

y2=3（x-1）2+1.

例4　放射性元素铀由于原子不断地放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫作衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的铀原子的含量M成正比。已知时间t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t变化的规律。

解　因为铀的衰变速度就是M（t）对时间t的导数由题意得

将分离变量，得

两端分别积分，得

所以

lnM=—λt+lnC（以lnC表示任意常数），

故

M=Ce-λt.

又由M|t=0=M0得C=M0，从而所求变化规律为

M=M0e-λt.

7.2.2 齐次微分方程

形如

的微分方程，称为齐次方程。

例如，判断下列方程是不是齐次方程。

（1）

是齐次方程。

（2）不是齐次方程。

解法　引进新的函数代入原方程，得

分离变量，得

两端积分，得

求出积分后，再用代替u，便得所给齐次方程的通解。

例5　求微分方程的通解。

解　原方程可写成

这是齐次方程。令 则

代入上列方程，得

即

分离变量，得

两边积分，得

u-ln|u|=ln|x|+C1，

或写成

ln|xu|=u-C1，

以代入，得

或

例6　求微分方程满足初始条件y|x=1=1的特解。

解　原方程可变形为

令 代入方程得

分离变量，得

两端积分，得

ln|lnu|=ln|x|+lnC，

即

lnu=Cx，

故

将初始条件y|x=1=1代入通解，得1=eC，即C=0.

所以满足初始条件的特解为

y=x.

7.2.3 一阶线性微分方程

形如

的微分方程，称为一阶线性微分方程。

若Q（x）≡0，则称方程

为一阶线性齐次微分方程。

若Q（x）≠0，则称方程

为一阶线性非齐次微分方程。

不难看出，一阶段性齐次方程

是可分离变量方程。分离变量，得

两边积分，得

ln|y|=-∫P（x）dx+lnC

所以方程的通解为

y=Ce-∫P（x）dx

注：这也可以作为一阶线性齐次微分方程的通解公式。

下面我们利用常数变易法来求一阶线性非齐次微分方程的通解。

数变易法，是将齐次线性方程通解中的常数C换成x的未知函数C（x），将

y=C（x）e-∫P（x）dx

代入非齐次线性方程求得

C′（x）e-∫P（x）dx-C（x）P（x）e-∫P（x）dx+P（x）C（x）e-∫P（x）dx=Q（x），

化简得

C′（x）=Q（x）e∫P（x）dx，

C（x）=∫Q（x）e∫P（x）dxdx+C，

于是非齐次线性方程的通解为

或

y=Ce-∫P（x）dx+e-∫P（x）dx∫Q（x）e∫P（x）dxdx.

非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和。

注：上述解法中所用的方法，将常数C变为待定函数C（x），再通过确定C（x）而求得方程解的方法，称为常数变易法。

例7　求方程的通解。

解　方法一

这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次线性方程的通解。

分离变量，得

两端积分，得

ln|y|=2ln|x+1|+C1，

齐次数性方程的通解为

用常数变易法，把C2换成C2（x），即令y=C2（x）（x+1）2，代入所给非齐次线性方程，得

即

两端积分，得

再把上式代入y=C2（x）（x+1）2中，即得所求方程的通解为

方法二

设 由式（1）得所求方程的通解为

例8　求方程xy′+y=sinx满足初始条件的特解。

解　将方程变形为

它是一阶线性微分方程，由公式（1），方程的通解为

即

将初值条件代入，得

于是所求的特解为

经过变量代换，某些方程可以化为可分离变量的方程，或化为已知其求解方法的方程，这是解微分方程最常用的方法。

例9　解方程

解　方法一

若把所给方程变形为

即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解。

方法二

令x+y=u，则代入原方程得

分离变量，得

两端积分，得

u-ln|u+1|=x+C1，

以u=x+y代入上式，得

7.2.4 伯努利方程

形如

的方程叫作伯努利方程。

下列方程是什么类型方程？

（1）是伯努利方程。

（2）是伯努利方程。

（3）是线性方程，不是伯努利方程。

伯努利方程的解法：方程两边除以yn，得

令z=y1-n，得线性方程

求出这方程的通解后，以y1-n代z便得到伯努利方程的通解。

例10　求方程的通解。

解　方程的两边除以y2，得

即

令z=y-1，则上述方程成为

这是一个线性方程，它的通解为

以y-1代z，得所求方程的通解为

习题7.2

A组

1. 求下列微分方程的通解。

（1）2x2yy′=y2+1；

（2）（1+ex）yy′=ex；

（3）y′=e2x-y，

（4）ydx+（x2-4x）dy=0.

2. 求下列齐次方程的通解。

（1）

（2）

（3）（x2+y2）dx-xydy=0；

（4）（x3+y3）dx-3xy2dy=0.

3. 求下列一阶线性微分方程的通解。

（1）

（2）（2ylny+y+x）dy-ydx=0；

（3）y′+y=x2ex；

（4）（xcosy+sin2y）y′=1.

4. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解。

（1）

（2）

（3）xy′+y=y（lnx+lny）；

（4）y（xy+1）dx+x（1+xy+x2y2）dy=0.

5. 求解下列初值问题。

6. 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。

7. 求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x，y）处的切线斜率等于2x+y.

B组

1. 求下列齐次方程的通解。

（1）（x2+y2）dx-xydy=0

（2）

2. 求下列一阶线性微分方程的通解。

（1）（2ylny+y+x）dy-ydx=0

（2）（xcosy+sin2y）y′=1

（3）

（4）y′=1+x+y2+xy2

3. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解。

（1）y′-ytanx=secx，y|x=0=0

（2）

（3）

（4）

4. 求下列伯努利方程的通解。

5. 一质量为m的物体沿倾角为α的斜面由静止开始下滑，摩擦力为kv+lP，其中P为物体对斜面的正压力，v为运动速度，k、l为正常数。试求物体下滑速度的变化规律。

7.3 可降阶的高阶微分方程

二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。对于有些高阶微分方程，我们可以通过代换将它化成较低阶的方程来求解，这种类型的方程就称为可降价的方程。相应的求解方法也就称为降阶法。

下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法。

7.3.1 y（n）=f（x）型微分方程

解法　对这类方程只需要进行n次积分就可得到方程含有n个任意常数的通解。设F1（x）是f（x）的一个原函数，则

y（n-1）∫f（x）dx=F1（x）+C1

y（n-2）=∫（F1（x）+C1）dx=∫F1（x）dx+C1x，

……

以此继续下去，连续积分n次，便得方程的含有n个任意常数的通解。

例1　求微分方程

y‴=e2x-cosx

的通解。

解　对所给方程接连积分三次，得

这就是所求的通解。

7.3.2 y″=f（x，y′）型微分方程

解法　因方程中不显含y，故令y′=p（x），则原方程化为

p′=f（x，p）.

设p′=f（x，p）的通解为p=φ（x，C1），则

所以原方程的通解为y=∫φ（x，C1）dx+C2.

例2　求微分方程xy″-2y′=x3+x的通解。

解　所给方程中不显含y，设y′=p，则原方程化为

xp′-2p=x3+x，

整理得

它是一阶线性微分方程，其通解为

于是

故得通解　

例3　求微分方程（1+x2）y″=2xy′，满足初始条件y|x=0=1，y′|x=0=3的特解。

解　所给方程中不显含y，设y′=p，则y″=p′，代入方程并分离变量后，有

两边积分，得

ln|p|=ln（1+x2）+C，

即

p=y′=C1（1+x2）（其中C1=±eC），

由条件y′|x=0=3，得C1=3. 所以

y′=3（1+x2），

两边再积分，得

y=x3+3x+C2，

又由条件y|x=0=1，得C2=1. 于是所求的特解为

y=x3+3x+1.

7.3.3 y″=f（y，y′）型微分方程

解　因方程中不显含x，故令y′=p（x），则原方程化为

这是一个关于变量p、y的一阶微分方程，设它的通解为

y′=p=φ（y，C1）

分离变量并积分，即可得原方程的通解

C1、C2为任意常数。

例4　求二阶微分方程

2yy″=1+y′2

满足初值条件

y|x=0=1，y′|x=0=1

的通解。

解　方程不显含x，令y′=p（x），则代入方程并分离变量，得

两边积分，得

ln（1+p2）=ln|y|+C.

即

1+p2=C1y（C1=±eC）.

用初值条件y|x=0=1，y′|x=0=1即p|y=1=1代入上式，得

C1=2，

即

由于要求的是满足初值条件y′|x=0=1的解，所以取正的一支。即

分离变量并两边积分，得

用y|x=0=1代入，解得C2=1.

从而所求特解为

习题7.3

A组

1. 求下列各微分方程的通解。

（1）y″=x+sinx

（2）y‴=xex

（3）

（4）y″=1+y′2

2. 求下列各微分方程满足所给初值条件的特解。

（1）y‴=eax，y|x=1=y′|x=1=y″|x=1=0

（2）y″-ay′=0，y|x=0=0，y′|x=0=-1

3. 试求y″=x的经过点M（x，y）且在此点与直线相切的积分曲线。

B组

1. 求下列各微分方程的通解。

（1）y″=y′+x

（2）xy″+y′=0

（3）y3y″-1=0

（4）y″=（y′）3+y′

2. 求下列各微分方程满足所给初值条件的特解。

（1）（1-x2）y″-xy′=0，y|x=0=0，y′|x=0=1

（2）y|x=0=1，y′|x=0=2

7.4 二阶线性微分方程

形如

y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）

的微分方程称为二阶线性微分方程。

当f（x）≠0时，

称为二阶非齐次线性微分方程。

当f（x）=0时，

称为二阶齐次线性微分方程。

当系数p（x）、q（x）分别为常数p和q时，上述方程分别为

称之为二阶常系数非齐次线性微分方程和二阶常系数齐次线性微分方程。

以二阶线性微分方程为例，我们可得到关于线性微分方程解的结构。有如下定理。关于n阶线性微分方程的解的定理类似可得。

7.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构

定理1　设函数y1、y2是二阶齐次线性微分方程（2）的解，则函数y=C1y1+C2y2（C1、C2为任意常数），也是该方程（2）的解。

这里要提醒的是函数y=C1y1+C2y2虽然是方程的解，且从形式上看其含有两个任意常数，但它却不一定是方程的通解。因为当（常数）时，

y=C1y1+C2y2=C1ky2+C2y2=（C1k+C2）y2，

而C1k+C2实际上是一个常数，故y=C1y1+C2y2也不是所求方程的通解。为更清楚地阐明二阶线性微分方程解的结构，我们引进一个新的概念，函数的线性相关与线性无关。

定义　若则称y1、y2为线性相关；若则称y1、y2为线性无关。

注　判别两个函数线性相关性的方法：对于两个函数，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比为常数，那么它们就线性相关；否则就线性无关。例如e-x与e2x线性无关，cos2x与cos2x+1线性相关。

下面给出二阶齐次线性微分方程通解的结构。

定理2　设函数y1、y2是二阶齐次线性微分方程方程（2）的两个线性无关的特解，则函数y=C1y1+C2y2（C1、C2为任意常数）是方程（2）的通解。

例如y=C1e3x+C2e-2x（C1、C2为任意常数）是微分方程y″-y′-6y=0的通解，可验证y1=e3x、y2=e-2x是方程y″-y′-6y=0的两个特解，而不是常数，即y1、y2线性无关的，故由定理2知，y=C1e3x+C2e-2x（C1、C2为任意常数）是微分方程y″-y′-6y=0的通解。

7.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构

定理3　设函数y*是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解，函数Y是其对应的二阶齐次线性微分方程（2）的通解，则y=Y+y*是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。

证明　因为y*和Y分别是方程（1）与（2）的特解和通解，故有

（y*）n+p（x）（y*）′+q（x）y*=f（x），

y″+p（x）Y′+q（x）Y=0，

将y=Y+y*代入方程（1），得

左边=（Y+y*）″+p（x）（Y+y*）′+q（x）（Y+y*）

=［Y″+p（x）Y′+q（x）Y］+［（y*）″+p（x）（y*）′+q（x）y*］

=0+f（x）=f（x）=右边

因此，y=Y+y*是方程（1）的解，又Y是方程（2）的通解，必含有两个独立的任意常数，于是y=Y+y*中也含有两个独立的任意常数，由通解的定义知，y=Y+y*是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。

习题7.4

A组

1. 判断下列函数组在其定义区间内的线性相关与线性无关性。

（1）x，x2，

（2）x，2x；

（3）e2x，3e2x；

（4）e-x，ex；

（5）cos2x，sin2x；

（6）

（7）sin2x，cosxsinx；

（8）excos2x，exsin2x；

2. 验证函数y1=cosωx及y2=sinωx是方程y″+ω2y=0的解，并写出该方程的通解。

3. 已知y1=e2x、y2=e-x是微分方程y″+py′+qy=0的两个特解，试写出方程的通解，并求满足初始条件的特解。

B组

1. 验证函数及都是方程y″-4xy′+（4x2-2）y=0的解，并写出该方程的通解。

2. 验证函数y1=sin3x、y2=2sin3x是方程y″+9y=0的两个解，能否说y=C1y1+C2y2是该方程的通解？又y3=cos3x满足方程，则y=C1y1+C2y3是该方程的通解吗？为什么？

7.5 二阶常系数线性微分方程

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程

方程

y″+py′+qy=0

称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、q均为常数。

由7.4节的定理2知，要求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，关键是找出其两个线性无关的特解。由于y″+py′+qy=0中p、q均为常数。而形如y=erx的指数函数及其各阶导数都是自身的倍数，故我们设想方

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